Olimpíada Brasileira de Matemática 2004 — Nível 3 — Fase 2

Count integer values of a sum expression given root constraints

Each of the numbers $x_1,x_2,\dots ,x_{2004}$ can equal $\sqrt{2}-1$ or $\sqrt{2}+1$. How many distinct integer values can the sum $S={\sum }_{k=1}^{2003}{x}_{2k-1}{x}_{2k}=x_1{x}_2+x_3{x}_4+x_5{x}_6+\cdots +x_{2003}{x}_{2004}$ assume?

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Contare i valori interi di un’espressione di somma data le restrizioni di radice

Ogni numero $x_1,x_2,\dots ,x_{2004}$ può essere uguale a $\sqrt{2}-1$ o $\sqrt{2}+1$. Quanti valori interi distinti può assumere la somma $S={\sum }_{k=1}^{2003}{x}_{2k-1}{x}_{2k}=x_1{x}_2+x_3{x}_4+x_5{x}_6+\cdots +x_{2003}{x}_{2004}$?

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Find maximum ratio CD/AD in right-trapezoid with perpendicular diagonal

Let $ABCD$ be a right trapezoid with bases $AB$ and $CD$, with right angles at $A$ and $D$. Given that the shorter diagonal $BD$ is perpendicular to side $BC$, find the maximum possible value of the ratio $\frac{CD}{AD}$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Estremalità Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Trovare il rapporto massimo CD/AD nel trapezoide destro con diagonale perpendicolare

Il $ABCD$ deve essere un trapezoide retto con basi $AB$ e $CD$, con angoli retto a $A$ e $D$. Poiché la diagonale più breve $BD$ è perpendicolare al lato $BC$, trovare il valore massimo possibile del rapporto $\frac{CD}{AD}$.

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Count distinct soccer teams formed across a school year

The twelve students of a class began to play soccer every day after school, forming two teams of 6 players each and playing among themselves. Each day they formed teams different from those of the previous two days. At the end of the year, they verified that every 5 students had played together on the same team at least once. How many different teams were formed throughout the year?

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Doppio conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Modellizzazione, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Conta le diverse squadre di calcio formate durante l’anno scolastico

I dodici studenti di una classe iniziarono a giocare a calcio ogni giorno dopo la scuola, formando due squadre di 6 giocatori ciascuno e giocando tra loro. Ogni giorno formavano squadre diverse da quelle dei due giorni precedenti. Alla fine dell’anno, hanno verificato che ogni 5 studenti avevano giocato insieme nella stessa squadra almeno una volta. Quante diverse squadre sono state formate nel corso dell’anno?

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Find all natural number solutions to an exponential Diophantine equation

Determine all solutions of the equation $n\cdot 2^{n+1}+1=m^2$ with $n$ and $m$ natural numbers.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Congruenze, Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca tutte le soluzioni dei numeri naturali per un’equazione diofantina esponenziale

Determinare tutte le soluzioni dell’equazione $n\cdot 2^{n+1}+1=m^2$ con $n$ e $m$ numeri naturali.

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Find all 4-digit sinister numbers (sum of primes equals sum of exponents)

We say that a positive integer is sinister if the sum of its prime factors equals the sum of the exponents in its prime factorization. Find all sinister four-digit numbers.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

*Trova tutti i numeri sinistri a 4 cifre (la somma delle prime è uguale alla somma degli esponenti) *

Diciamo che un intero positivo è sinister se la somma dei suoi fattori primi è uguale alla somma degli esponenti nella sua fattorizzazione primaria. Trova tutti i numeri sinistri a quattro cifre.

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Determine angles of triangle given orthocenter, incenter, circumcenter collinearity condition

Let $H$, $I$, and $O$ be the orthocenter, the incenter, and the circumcenter of triangle $ABC$, respectively. The line $CI$ cuts the circumcircle of $ABC$ at the point $L$, distinct from $C$. It is given that $AB=IL$ and $AH=OH$. Determine the angles of triangle $ABC$.

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Trigonometria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Determine gli angoli del triangolo dato la condizione di collinearietà dell’ortocentro, dell’incentro, del circumcentro

Che $H$, $I$ e $O$ siano rispettivamente l’ortocentro, l’incentro e il circoncentro del triangolo $ABC$. La linea $CI$ taglia il circoncircolo di $ABC$ al punto $L$, distinto da $C$. È dato che $AB=IL$ e $AH=OH$. Determinare gli angoli del triangolo $ABC$.

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