Olimpíada Brasileira de Matemática 2004 — Nível 3 — Fase 3

Incircles of four triangles in convex quadrilateral share a point iff rhombus

Let $ABCD$ be a convex quadrilateral. Prove that the incircles of triangles $ABC$, $BCD$, $CDA$, and $DAB$ have a common point if and only if $ABCD$ is a rhombus.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

I cerchi di quattro triangoli in quadrilaterali convexi condividono un punto di rombo

Che $ABCD$ sia un quadrilaterale convex. Prova che gli incircoli dei triangoli $ABC$, $BCD$, $CDA$ e $DAB$ hanno un punto comune se e solo se $ABCD$ è un rombo.

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Find all n for which a triangle can be divided into n triangles with equal vertex degree

Determine all values of $n$ for which it is possible to divide a triangle into $n$ triangles such that no three vertices are collinear and every vertex is incident to the same number of segments.

We show such a division for $n=7$: observe that in each of the six vertices exactly four segments are incident.

Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Casework, Induzione Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF

Ricerca tutte le n per le quali un triangolo può essere diviso in n triangoli con uguale grado di vertice

Determinare tutti i valori di $n$ per i quali è possibile dividere un triangolo in triangoli $n$ in modo tale che non ci siano tre vertici collineari e che ogni vertice incida sullo stesso numero di segmenti.

Mostriamo una tale divisione per $n=7$: osserviamo che in ciascuno dei sei vertici ci sono esattamente quattro segmenti incidenti.

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Sequence of integers with cubic recurrence: can more than half the terms be negative?

Let $x_1,x_2,\dots ,x_{2004}$ be a sequence of integers satisfying $x_{k+3}=x_{k+2}+x_{k+1}{x}_k$ for $1\le k\le 2001$.

Is it possible for more than half of its terms to be negative?

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Invarianti Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Sequenza di numeri interi con ricorrenza cubica: più della metà dei termini può essere negativa?

$x_1,x_2,\dots ,x_{2004}$ sia una sequenza di integri che soddisfi $x_{k+3}=x_{k+2}+x_{k+1}{x}_k$ per $1\le k\le 2001$.

È possibile che più della metà dei suoi termini siano negativi?

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10x10 table with digits 0–9 each 10 times; largest n guaranteeing a row/column with ≥n distinct digits

Consider all ways of placing the digits $0,1,2,\dots ,9$ in the cells of a $10\times 10$ table such that each digit appears exactly ten times.

Find the largest integer $n$ with the property that, in every such placement, some row or some column contains at least $n$ distinct digits.

Topic: Combinatoria Metodo: Estremalità, Casework, Inclusione-esclusione Abilita: Conteggio sistematico, Modellizzazione, Stima Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

10x10 tabella con cifre 09 ogni 10 volte; più grande n garantendo una riga/colonna con ≥n cifre distinte

Considerate tutti i modi di inserire le cifre $0,1,2,\dots ,9$ nelle celle di una tabella $10\times 10$ in modo che ciascuna cifra appaia esattamente dieci volte.

Trovare il più grande intero $n$ con la proprietà che, in ogni posizionamento, una riga o una colonna contiene almeno $n$ cifre distinte.

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Sequence with a_n·a_{n+4}=a_{n+1}a_{n+3}+a_{n+2}^2 and initial 1s; show all terms are integers

Consider the sequence $(a_n{)}_{n\ge 0}$ with $a_0=a_1=a_2=a_3=1$ and $a_n{a}_{n+4}=a_{n+1}{a}_{n+3}+a_{n+2}^2.$ Show that all terms of this sequence are integers.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Induzione, Ricorsione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Sequenza con a_n·a_{n+4}=a_{n+1}a_{n+3}+a_{n+2}^2 e 1s iniziali; mostrare tutti i termini sono interi

Considerate la sequenza $(a_n{)}_{n\ge 0}$ con $a_0=a_1=a_2=a_3=1$ e $a_n{a}_{n+4}=a_{n+1}{a}_{n+3}+a_{n+2}^2.$ Mostra che tutti i termini di questa sequenza sono numeri interi.

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Periodic points of a planar map; prove A_b has a minimum and find it

Let $a$ and $b$ be real numbers. Consider the function $f_{a,b}:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$ defined by $f_{a,b}(x,y)=(a-by-x^2,x).$ For $P=(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$, define $f_{a,b}^0(P)=P$ and $f_{a,b}^{k+1}(P)=f_{a,b}\left(f_{a,b}^k(P)\right)$ for each non-negative integer $k$.

The set $\mathrm{per}(a,b)$ of periodic points of $f_{a,b}$ is the set of all points $P\in {\mathbb{R}}^2$ for which there exists a positive integer $n$ such that $f_{a,b}^n(P)=P$.

Fix a real number $b$. Prove that the set $A_b=\{a\in \mathbb{R}\mid \mathrm{per}(a,b)\ne \varnothing \}$ has a minimum element. Calculate this minimum element.

Topic: Algebra, Insiemi e funzioni Metodo: Estremalità, Induzione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Modellizzazione, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Punti periodici di una mappa piana; dimostrare che A_b ha un minimo e trovarlo

Lasciate che $a$ e $b$ siano numeri reali. Considerare la funzione $f_{a,b}:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$ definita da $f_{a,b}(x,y)=(a-by-x^2,x).$ Per $P=(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$, definire $f_{a,b}^0(P)=P$ e $f_{a,b}^{k+1}(P)=f_{a,b}\left(f_{a,b}^k(P)\right)$ per ogni intero non negativo $k$.

L’insieme $\mathrm{per}(a,b)$ dei punti periodici **** di $f_{a,b}$ è l’insieme di tutti i punti $P\in {\mathbb{R}}^2$ per i quali esiste un intero positivo $n$ tale che $f_{a,b}^n(P)=P$.

Fissare un numero reale $b$. Provare che l’insieme $A_b=\{a\in \mathbb{R}\mid \mathrm{per}(a,b)\ne \varnothing \}$ ha un elemento minimo. Calcola questo elemento minimo.

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