Olimpíada Brasileira de Matemática 2004 — Nível Universitário — Fase 1

Compute A^2004 for a given complex matrix

Consider the complex matrix $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& i\\ 0& 0& 0\\ i& 0& 1\end{array}\right)$. Compute $A^{2004}$.

Topic: Algebra Metodo: Fattorizzazione, Induzione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Calcolo A^2004 per una determinata matrice complessa

Considera la matrice complessa $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& i\\ 0& 0& 0\\ i& 0& 1\end{array}\right)$. Calcolare $A^{2004}$.

src_obm_2004_nu_f1__Q01

Evaluate an improper integral with arctan-like integrand

Evaluate the integral ${\int }_1^{+\infty }\frac{x^{2004}}{1+x^{2004}}dx$.

Topic: Insiemi e funzioni Metodo: Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Evaluare un’integrale impropria con un’integrazione arctana

Valutare l’integrale ${\int }_1^{+\infty }\frac{x^{2004}}{1+x^{2004}}dx$.

src_obm_2004_nu_f1__Q02

Find tangent line to a curve at two distinct points

Determine the equation of the line that is tangent to the curve $y=3x^2-4x^3$ at two distinct points.

Topic: Algebra, Geometria analitica Metodo: Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi, Geometria Fonte: apri PDF

Trovare la linea tangente di una curva a due punti distinti

Determinare l’equazione della linea tangente alla curva $y=3x^2-4x^3$ in due punti distinti.

src_obm_2004_nu_f1__Q03

Count ordered triples of subsets with given intersection conditions

How many ordered triples $(A,B,C)$ of subsets of $\{1,2,\dots ,n\}$ satisfy $A\cap B\cap C=\varnothing$, $A\cap B\ne \varnothing$, and $A\cap C\ne \varnothing$?

Topic: Combinatoria, Insiemi e funzioni Metodo: Inclusione-esclusione, Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Conta i triples ordinati di sottoinsiemi con determinate condizioni di intersezione

Quanti triplici ordinati $(A,B,C)$ di sottoinsiemi di $\{1,2,\dots ,n\}$ soddisfano $A\cap B\cap C=\varnothing$, $A\cap B\ne \varnothing$ e $A\cap C\ne \varnothing$?

src_obm_2004_nu_f1__Q04

Matrix with a_{ij}=m(i-1)+j; find lambda for limit of phi(n)/n^lambda

Consider an $n\times n$ matrix $A$ defined by $a_{ij}=m(i-1)+j$ for all $1\le i,j\le n$. Let $\phi (n)$ be the sum of the determinants of all $k\times k$ submatrices of $A$ (over all choices of $k$ rows and $k$ columns of $A$).

(a) Determine a real number $\lambda$ such that $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\phi (n)}{n^{\lambda }}$ exists and is nonzero.

(b) Determine the value of the limit found in part (a).

Topic: Algebra, Combinatoria Metodo: Induzione, Doppio conteggio Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico, Astrazione Area: Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

matrice con a_{ij}=m(i-1) + j; trovare lambda per il limite di phi(n)/n^lambda

Considera una matrice $n\times n$ $A$ definita da $a_{ij}=m(i-1)+j$ per tutte le $1\le i,j\le n$. La $\phi (n)$ è la somma dei determinanti di tutte le $k\times k$ sottomatrici di $A$ (sopra tutte le scelte delle righe $k$ e delle colonne $k$ di $A$).

(a) Determinare un numero reale $\lambda$ tale che $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\phi (n)}{n^{\lambda }}$ esista e non sia zero.

b) Determinare il valore del limite di cui alla lettera a).

src_obm_2004_nu_f1__Q05

Compute a telescoping sum involving cubic-like factors

Compute $\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{(3k+1)(3k+2)(3k+3)}$.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Telescoping, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Calcolare una somma di telescopio che coinvolge fattori simili a cubi

Calcolare $\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{(3k+1)(3k+2)(3k+3)}$.

src_obm_2004_nu_f1__Q06