Olimpíada Brasileira de Matemática 2004 — Nível Universitário — Fase 2

Find f(3) for differentiable function satisfying tangent midpoint condition

The differentiable function $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ has the following properties:

a) $f(0)=0$ and $f(2)=2$.

b) For every $a\in \mathbb{R}\setminus \{0\}$, the tangent line to the graph of $f$ at the point $P=(a,f(a))$ cuts the $x$-axis at a point $A$ and the $y$-axis at a point $B$ such that $A$ is the midpoint of segment $BP$.

Compute $f(3)$.

Topic: Algebra, Insiemi e funzioni Metodo: Ricorsione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca f(3) per la funzione differenziabile che soddisfa la condizione di punto medio tangente

La funzione differenziabile $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ ha le seguenti proprietà:

a) $f(0)=0$ e $f(2)=2$.

b) Per ogni $a\in \mathbb{R}\setminus \{0\}$, la linea tangente al grafico di $f$ al punto $P=(a,f(a))$ taglia l’asse $x$ a un punto $A$ e l’asse $y$ a un punto $B$ in modo tale che $A$ sia il punto medio del segmento $BP$.

Calcolare $f(3)$.

src_obm_2004_nu_f2__Q01

Prove no subset of R^2 has finite columns and countable rows

Prove that there is no set $A\subseteq {\mathbb{R}}^2$ such that:

• For every $x\in \mathbb{R}$, the set $\{y\in \mathbb{R}:(x,y)\in A\}$ is finite.

• For every $y\in \mathbb{R}$, the set $\{x\in \mathbb{R}:(x,y)\in A\}$ is countable (enumerable).

Remark: A set $E$ is called enumerable if $E=\varnothing$ or there exists a surjective function $f:\mathbb{N}\to E$.

Topic: Insiemi e funzioni, Logica Metodo: Invarianti Abilita: Astrazione, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Prove che nessun sottoinsieme di R^2 ha colonne finite e righe contabili

Provare che non esiste un insieme $A\subseteq {\mathbb{R}}^2$ che:

• Per ogni $x\in \mathbb{R}$, l’insieme $\{y\in \mathbb{R}:(x,y)\in A\}$ è finito.

• Per ogni $y\in \mathbb{R}$, l’insieme $\{x\in \mathbb{R}:(x,y)\in A\}$ è contabile (numeroso).

*Rimarca: * Un insieme $E$ si chiama numerable se $E=\varnothing$ o se esiste una funzione surgettiva $f:\mathbb{N}\to E$.

src_obm_2004_nu_f2__Q02

Prove sub-multiplicative inequality for matrix norm and dilation factor

Let $A$ be a real invertible matrix of order $n$ and $A^t$ its transpose. Let ${\lambda }_1\ge {\lambda }_2\ge \cdots \ge {\lambda }_n>0$ be the eigenvalues of $A^{t}A$. Define the norm of $A$ by $\Vert A\Vert =\sqrt{{\lambda }_1}$ and the dilation factor of $A$ by $d(A)=\sqrt{\frac{{\lambda }_1}{{\lambda }_n}}$.

Prove that, for any two real invertible matrices $A$ and $B$, $d(AB)\le \frac{\Vert AB\Vert }{\Vert A\Vert \cdot \Vert B\Vert }d(A)\cdot d(B).$

Topic: Algebra Metodo: Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Demonstra la disuguaglianza sub-multiplicativa per la norma di matrice e il fattore di dilatazione

Che $A$ sia una matrice invertibile reale dell’ordine $n$ e $A^t$ la sua trasposizione. ${\lambda }_1\ge {\lambda }_2\ge \cdots \ge {\lambda }_n>0$ siano i valori propri di $A^{t}A$. Definire la norma ** di $A$ con $\Vert A\Vert =\sqrt{{\lambda }_1}$ e il fattore di dilatazione ** di $A$ con $d(A)=\sqrt{\frac{{\lambda }_1}{{\lambda }_n}}$.

Prova che, per due matrici invertibili reali $A$ e $B$, $d(AB)\le \frac{\Vert AB\Vert }{\Vert A\Vert \cdot \Vert B\Vert }d(A)\cdot d(B).$

src_obm_2004_nu_f2__Q03

Construct integer polynomial vanishing at P_j but not divisible by p at Q

Let ${\mathbb{Z}}^k=\{(x_1,x_2,\dots ,x_k):x_1,x_2,\dots ,x_k\in \mathbb{Z}\}$. Let $p$ be a prime, $k$ a positive integer, and $P_1,P_2,\dots ,P_n,Q\in {\mathbb{Z}}^k$ such that for all $j$, $1\le j\le k$, $\frac{P_j-Q}{p}\in {\mathbb{Z}}^k.$

Prove that there exists a polynomial $f(x_1,\dots ,x_k)$ with integer coefficients such that $f(P_j)=0$ for all $j$, $1\le j\le k$, and $\frac{f(Q)}{p}\notin \mathbb{Z}$.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Construire un polinomio intero che scompare a P_j ma non è divisibile da p a Q

Let ${\mathbb{Z}}^k=\{(x_1,x_2,\dots ,x_k):x_1,x_2,\dots ,x_k\in \mathbb{Z}\}$. Che $p$ sia un primo, $k$ un intero positivo, e $P_1,P_2,\dots ,P_n,Q\in {\mathbb{Z}}^k$ tale che per tutti $j$, $1\le j\le k$, $\frac{P_j-Q}{p}\in {\mathbb{Z}}^k.$

Prova che esiste un polinomio $f(x_1,\dots ,x_k)$ con coefficienti interi come $f(P_j)=0$ per tutti $j$, $1\le j\le k$ e $\frac{f(Q)}{p}\notin \mathbb{Z}$.

src_obm_2004_nu_f2__Q04

Compute limit of ratio of winning positions in floor-division game

Let $m\ge 2$ be an integer. Arnaldo and Bernaldo play the following game: each player, alternately, receives a positive integer $N_i$ and passes to the other player either $N_{i+1}=N_i-1$ or $N_{i+1}=\lfloor N_i/m\rfloor$. Whoever receives a positive integer $N_0$ and passes zero wins the game.

Let $A_m$ (resp. $B_m$) be the set of values of $N_0$, $N_0<n$, for which Arnaldo (resp. Bernaldo) has a winning strategy.

Compute $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{|A_m|}{|B_m|}$ as a function of $m$.

Topic: Combinatoria Metodo: Ricorsione, Casework, Invarianti Abilita: Riconoscimento di pattern, Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Limite di calcolo del rapporto di posizioni vincenti in gioco di divisione a pavimento

$m\ge 2$ sia un numero intero. Arnaldo e Bernaldo giocano la seguente partita: ogni giocatore, a turno, riceve un intero positivo $N_i$ e passa all’altro giocatore o $N_{i+1}=N_i-1$ o $N_{i+1}=\lfloor N_i/m\rfloor$. Chi riceve un numero intero positivo $N_0$ e passa lo zero vince la partita.

Lasciate che $A_m$ (resp. $B_m$) è l’insieme dei valori di $N_0$, $N_0<n$, per il quale Arnaldo (resp. Bernaldo) ha una strategia vincente.

Calcolare $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{|A_m|}{|B_m|}$ come funzione di $m$.

src_obm_2004_nu_f2__Q05

Prove chord inequality for unit-speed simple closed curve

Let $\gamma :[0,2\pi ]\to {\mathbb{R}}^2$ be a differentiable function with continuous derivative, $|{\gamma }^{\prime }(t)|=1$ for all $t$, whose image is a simple closed curve; that is, $\gamma (t_1)=\gamma (t_2),t_1<t_2⟹t_1=0,t_2=2\pi .$

Prove that there exist $0\le t_0<t_1<2\pi$ such that $|\gamma (t_1)-\gamma (t_0)|\le \frac{1}{\pi }\min \{t_1-t_0,2\pi +t_0-t_1\}.$

Topic: Geometria piana, Insiemi e funzioni Metodo: Estremalità, Disuguaglianze Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Geometria, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Prove la disuguaglianza di accordi per una curva chiusa semplice a velocità unità

Che $\gamma :[0,2\pi ]\to {\mathbb{R}}^2$ sia una funzione differenziabile con derivata continua, $|{\gamma }^{\prime }(t)|=1$ per tutte le $t$, la cui immagine è una curva chiusa semplice; cioè, $\gamma (t_1)=\gamma (t_2),t_1<t_2⟹t_1=0,t_2=2\pi .$

Prove che esiste $0\le t_0<t_1<2\pi$ tale che $|\gamma (t_1)-\gamma (t_0)|\le \frac{1}{\pi }\min \{t_1-t_0,2\pi +t_0-t_1\}.$

src_obm_2004_nu_f2__Q06