Olimpíada Brasileira de Matemática 2005 — Nível 1 — Fase 3

Number of small cubes needed to form a single face of a large hollow cube

Esmeraldinha has some small wooden cubes with edge $2$ cm. She wants to build a large cube with edge $10$ cm, but since she does not have enough small cubes, she glues small cubes with edge $2$ cm so as to form only one face of the cube, which is hollow.

What is the number of small cubes that she will need?

Topic: Teoria dei Numeri, Geometria solida Metodo: Conteggio Abilita: Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Geometria Fonte: apri PDF

Numero di piccoli cubetti necessari per formare una singola faccia di un grande cubo vuoto

Esmeraldinha ha alcuni piccoli cubetti di legno con bordo $2$ cm. Lei vuole costruire un grande cubo con bordo $10$ cm, ma poiché non ha abbastanza cubetti piccoli, incolla piccoli cubetti con bordo $2$ cm in modo da formare solo una faccia del cubo, che è vuota.

Quanti cubetti avrà bisogno?

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Count right triangles with legs parallel to grid edges on a 5x5 board

On a square board $5\times 5$, three identical buttons will be placed, each one in the center of a cell, determining a triangle.

In how many ways can the buttons be placed forming a right triangle whose legs are parallel to the sides of the board?

\textit{Observation:} A right triangle is any triangle that has a $90^{\circ }$ angle. The sides that form this angle are called legs (catetos).

Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF

Contare i triangoli rettangolari con gambe parallele ai bordi della griglia su una tabella 5x5

Su una tabella quadrata $5\times 5$, saranno posizionati tre pulsanti identici, ciascuno al centro di una cella, determinando un triangolo.

In quanti modi possono essere posizionati i pulsanti formando un triangolo rettangolo le cui gambe sono parallele ai lati della tavola?

Un triangolo rettangolo è qualsiasi triangolo che abbia un angolo $90^{\circ }$. I lati che formano questo angolo sono chiamati gambe (catetos).

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Numbers written in diagonal pattern on a 100x100 board starting at line 1 column 50; find n and position of 2005

Starting from the cell located at line $1$ and column $50$ of a $100\times 100$ board, the numbers $1,2,3,4,\dots ,n$ will be written, as in the figure that follows, which presents a part of the board and shows how the numbers must be placed. The number $n$ will occupy the cell at line $1$, column $100$.

a) Determine $n$.

b) In which line and column will the number $2005$ appear?

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Lettura attenta, Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico, Modellizzazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Numeri scritti in diagonale su una lavagna da 100x100 a partire dalla riga 1 colonna 50; trovare n e posizione del 2005

A partire dalla cella situata alla riga $1$ e alla colonna $50$ di una tavola $100\times 100$, i numeri $1,2,3,4,\dots ,n$ verranno scritti, come nella figura seguente, che presenta una parte della tavola e mostra come devono essere posizionati i numeri. Il numero $n$ occuperà la cella nella riga $1$, nella colonna $100$.

a) Determinare $n$.

b) In quale riga e colonna apparirà il numero $2005$?

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Rectangle ABCD with diagonals; triangle BME with ME=MB and BE=BA; find its area and prove BD parallel EC

In the rectangle $ABCD$, with diagonals $AC$ and $BD$, the sides $AB$ and $BC$ measure, respectively, $13$ cm and $14$ cm. Let $M$ be the intersection of the diagonals; consider the triangle $BME$, such that $ME=MB$ and $BE=BA$, with $E\ne A$.

a) Calculate the area of triangle $BME$.

b) Show that segment $BD$ is parallel to segment $EC$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Rectangle ABCD con diagonali; triangolo BME con ME=MB e BE=BA; trovare la sua superficie e dimostrare BD parallela EC

Nel rettangolo $ABCD$, con diagonali $AC$ e $BD$, i lati $AB$ e $BC$ misurano rispettivamente $13$ cm e $14$ cm. Si consideri il triangolo $BME$, in modo tale che $ME=MB$ e $BE=BA$, con $E\ne A$.

a) Calcolare l’area del triangolo $BME$.

b) Indicare che il segmento $BD$ è parallelo al segmento $EC$.

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Property P (perfect number) defined as sum of positive divisors equal to 2n; prove no perfect square has property P

A positive integer $n$ has property P if the sum of its positive divisors is equal to $2n$. For example: $6$ has property P, since $1+2+3+6=2\cdot 6$, but $10$ does not have property P, since $1+2+5+10\ne 2\cdot 10$.

Show that no perfect square has property P.

\textit{Observation:} A positive integer is a perfect square if it is equal to the square of an integer. For example, $1=1^2$, $4=2^2$ and $9=3^2$ are perfect squares.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Astrazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Proprietà P (numero perfetto) definita come somma di divisori positivi uguali a 2n; dimostrare che nessun quadrato perfetto ha proprietà P*

Un intero positivo $n$ ha la proprietà P se la somma dei suoi divisori positivi è uguale a $2n$. Ad esempio: $6$ ha la proprietà P, dal momento che $1+2+3+6=2\cdot 6$, ma $10$ non ha la proprietà P, dal momento che $1+2+5+10\ne 2\cdot 10$.

Mostrare che nessun quadrato perfetto ha la proprietà P.

Un intero positivo è un quadrato perfetto se è uguale al quadrato di un intero. Ad esempio, $1=1^2$, $4=2^2$ e $9=3^2$ sono quadrati perfetti.

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