Olimpíada Brasileira de Matemática 2005 — Nível 2 — Fase 1

Equivalent percentage discount of a buy-one-get-one-half-price offer

A soap store runs a promotion with the slogan “Buy one and take another at half price”. Another promotion the store could make offering the same percentage discount is: A) “Take two and pay one” B) “Take three and pay one” C) “Take three and pay two” D) “Take four and pay three” E) “Take five and pay four”

Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Lettura attenta, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: D Fonte: apri PDF

Sconto percentuale equivalente di un’offerta di acquisto a prezzo uno-ottenere uno-mezza-prezzo

Un negozio di saponi fa una promozione con lo slogan “Coscrivi uno e prendi un altro a metà prezzo”. Un’altra promozione che il negozio potrebbe fare offrendo lo stesso sconto percentuale è: A) “Prenditi due e paga uno” B) “Prenditi tre e paga uno” C) “Prenditi tre e paga due” D) “Prenditi quattro e paga tre” E) “Prenditi cinque e paga quattro”

Risposta: D src_obm_2005_n2_f1__Q01

Film of 70% transparency over glass of 90%: total reduction of radiation

$Insulfilm$ films are used on building windows and vehicle glass to reduce solar radiation. The films are classified according to their degree of transparency, that is, the percentage of solar radiation they let through. Placing a film of $70\%$ transparency over a glass with $90\%$ transparency, one obtains a $\text{reduction}$ of solar radiation equal to: A) $3\%$ \quad B) $37\%$ \quad C) $40\%$ \quad D) $63\%$ \quad E) $160\%$

Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Lettura attenta, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: B Fonte: apri PDF

Filma di trasparenza del 70% sul vetro del 90%: riduzione totale delle radiazioni

I film $Insulfilm$ sono utilizzati sulle finestre edili e sul vetro dei veicoli per ridurre la radiazione solare. I film sono classificati in base al grado di trasparenza, cioè alla percentuale di radiazioni solari che trasmettono. Mettendo un film di trasparenza $70\%$ su un vetro con trasparenza $90\%$, si ottiene un $\text{reduction}$ di radiazioni solari uguale a: A) $3\%$ \quad B) $37\%$ \quad C) $40\%$ \quad D) $63\%$ \quad E) $160\%$

Risposta: B src_obm_2005_n2_f1__Q02

Six identical rectangles form a larger rectangle of height 21 cm; find area

Six identical rectangles are joined to form a larger rectangle as indicated in the figure. What is the area of this larger rectangle? (The vertical side of the larger rectangle measures $21\text{cm}$.) A) $210{\text{cm}}^2$ \quad B) $280{\text{cm}}^2$ \quad C) $430{\text{cm}}^2$ \quad D) $504{\text{cm}}^2$ \quad E) $588{\text{cm}}^2$

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: E Fonte: apri PDF

Sei rettangoli identici formano un rettangolo più grande di 21 cm di altezza; trovare area

Sei rettangoli identici sono uniti per formare un rettangolo più grande come indicato nella figura. Qual è l’area di questo rettangolo più grande? (Il lato verticale del rettangolo più grande misura $21\text{cm}$.) A) $210{\text{cm}}^2$ \quad B) $280{\text{cm}}^2$ \quad C) $430{\text{cm}}^2$ \quad D) $504{\text{cm}}^2$ \quad E) $588{\text{cm}}^2$

Risposta: E src_obm_2005_n2_f1__Q03

Difference between a billion as a million-of-millions vs a thousand-of-millions

When asked, Arnaldo says that $1$ billion is the same as one million millions. Professor Piraldo corrected him and said that $1$ billion is the same as a thousand millions. What is the difference between these two answers? A) $1000$ \quad B) $999000$ \quad C) $1000000$ \quad D) $999000000$ \quad E) $999000000000$

Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: E Fonte: apri PDF

La differenza tra un miliardo di milioni e mille di milioni

Alla domanda, Arnaldo dice che $1$ miliardi è uguale a un milione di milioni. Il professor Piraldo lo ha corretto e ha detto che $1$ miliardo è lo stesso di mille milioni. Qual è la differenza tra queste due risposte? A) $1000$ \quad B) $999000$ \quad C) $1000000$ \quad D) $999000000$ \quad E) $999000000000$

Risposta: E src_obm_2005_n2_f1__Q04

600-page book printed blank on pages whose number is a multiple of 3 or 4; count printed pages

Due to a printing defect, a $600$-page book has blank all the pages whose numbers are multiples of $3$ or of $4$. How many pages are printed? A) $100$ \quad B) $150$ \quad C) $250$ \quad D) $300$ \quad E) $430$

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Inclusione-esclusione, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: D Fonte: apri PDF

libro di 600 pagine stampato in bianco su pagine il cui numero è un multiple di 3 o 4; contare le pagine stampate

A causa di un difetto di stampa, un libro di $600$ pagine ha in bianco tutte le pagine i cui numeri sono multipli di $3$ o di $4$. Quante pagine sono stampate? A) $100$ \quad B) $150$ \quad C) $250$ \quad D) $300$ \quad E) $430$

Risposta: D src_obm_2005_n2_f1__Q05

Volume of all platinum produced in 50 years (density 21.45 g/cm3, 110 t/year); closest object

Platinum is a very rare metal, even rarer than gold. Its density is $21.45{\text{g/cm}}^3$. Suppose that the world production of platinum was about $110$ tonnes in each of the last $50$ years, and negligible before that. Indicate the alternative with the object whose volume is closest to the volume of platinum produced in the world in all of history. A) a shoe box B) a swimming pool C) a ten-storey building D) Mount Pascoal E) the Moon

Topic: Geometria solida, Teoria dei Numeri Abilita: Stima, Modellizzazione Area: Geometria, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: B Fonte: apri PDF

*Volume di tutto il platino prodotto in 50 anni (densità 21,45 g/cm3, 110 t/anno); oggetto più vicino *

Il platino è un metallo molto raro, anche più raro dell’oro. La densità è $21.45{\text{g/cm}}^3$. Supponiamo che la produzione mondiale di platino fosse di circa $110$ tonnellate in ciascuno degli ultimi $50$ anni, e trascurabile prima di allora. Indicare l’alternativa con l’oggetto il cui volume è più vicino al volume di platino prodotto nel mondo in tutta la storia. A) una scatola di scarpe B) una piscina C) un edificio di dieci piani D) il Monte Pascoal E) la Luna

Risposta: B src_obm_2005_n2_f1__Q06

Sequence where each term from the third is the sum of the two preceding; given 2nd=1, 5th=2005, find 6th

In a sequence, each term, starting from the third, is the sum of the two nearest preceding terms. The second term equals $1$ and the fifth term equals $2005$. What is the sixth term? A) $3002$ \quad B) $3008$ \quad C) $3010$ \quad D) $4002$ \quad E) $5004$

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Ricorsione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: B Fonte: apri PDF

Sequenza in cui ogni termine dal terzo è la somma dei due precedenti; data 2nd=1, 5th=2005, trova 6th

In una sequenza, ogni termine, a partire dal terzo, è la somma dei due termini precedenti più vicini. Il secondo termine è $1$ e il quinto termine è $2005$. Qual è il sesto mandato? A) $3002$ \quad B) $3008$ \quad C) $3010$ \quad D) $4002$ \quad E) $5004$

Risposta: B src_obm_2005_n2_f1__Q07

Balance puzzle: equal-shaped figures have equal mass; how many squares balance the last scale

Figures with the same shape represent objects of the same mass. How many squares are needed for the last balance to be in equilibrium? A) $7$ \quad B) $8$ \quad C) $9$ \quad D) $10$ \quad E) $12$

Topic: Algebra, Logica Metodo: Casework Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Puzzle di equilibrio: le figure di forma uguale hanno massa uguale; quanti quadrati bilanciano l’ultima scala

Le figure con la stessa forma rappresentano oggetti della stessa massa. Quanti quadrati sono necessari per che l’ultimo equilibrio sia in equilibrio? A) $7$ \quad B) $8$ \quad C) $9$ \quad D) $10$ \quad E) $12$

src_obm_2005_n2_f1__Q08

Thirteen nonzero reals, more positive than negative; 22 of the 78 pairwise products are negative; how many are negative

Among thirteen nonzero reals there are more positive numbers than negative ones. Among the $\frac{13\times 12}{2}=78$ products of two of the thirteen numbers, $22$ are negative. How many of the thirteen given numbers are negative? A) $2$ \quad B) $7$ \quad C) $8$ \quad D) $9$ \quad E) $10$

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: A Fonte: apri PDF

Treici reali non-zero, più positivi che negativi; 22 dei 78 prodotti in coppia sono negativi; quanti sono negativi

Tra i tredici reali non-zero ci sono più numeri positivi di quelli negativi. Tra i prodotti $\frac{13\times 12}{2}=78$ di due dei tredici numeri, $22$ sono negativi. Quanti dei tredici numeri dati sono negativi? A) $2$ \quad B) $7$ \quad C) $8$ \quad D) $9$ \quad E) $10$

Risposta: A src_obm_2005_n2_f1__Q09

Folded cardboard net forms a rectangular box; find its volume

The drawing alongside shows a piece of cardboard that will be folded and glued along the edges to form a rectangular box. The angles at the corners of the cardboard are all right angles. What will be the volume of the box, in ${\text{cm}}^3$? A) $1500$ \quad B) $3000$ \quad C) $4500$ \quad D) $6000$ \quad E) $12000$

Topic: Geometria solida Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione Area: Geometria Risposta: C Fonte: apri PDF

Rete pieghevole di cartone costituisce una scatola rettangolare; trova il suo volume

Il disegno di fianco mostra un pezzo di cartone che verrà piegato e incollato lungo i bordi per formare una scatola rettangolare. Gli angoli degli angoli della cartone sono tutti angoli retti. Qual è il volume della scatola, in ${\text{cm}}^3$? A) $1500$ \quad B) $3000$ \quad C) $4500$ \quad D) $6000$ \quad E) $12000$

Risposta: C src_obm_2005_n2_f1__Q10

When is addition distributive over multiplication: a+(bc)=(a+b)(a+c)

Let $a$, $b$ and $c$ be real numbers. By the distributive property of multiplication with respect to addition, it is true that $a\times (b+c)=(a\times b)+(a\times c)$. The distributivity of addition with respect to multiplication, that is, $a+(b\times c)=(a+b)\times (a+c)$, is not always true, but it holds if and only if: A) $a=b=c=\frac{1}{3}$ or $a=0$ B) $a=b=c$ C) The equality never occurs D) $a+b+c=1$ or $a=0$ E) $a+b+c=0$

Topic: Algebra Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Algebra e Analisi Risposta: D Fonte: apri PDF

Quando l’addizione è distributiva sulla moltiplicazione: a+(bc)=(a+b)(a+c)

$a$, $b$ e $c$ siano numeri reali. Per la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione, è vero che $a\times (b+c)=(a\times b)+(a\times c)$. La distributività dell’addizione rispetto alla moltiplicazione, cioè $a+(b\times c)=(a+b)\times (a+c)$, non è sempre vera, ma vale solo se: A) $a=b=c=\frac{1}{3}$ o $a=0$ B) $a=b=c$ C) L’uguaglianza non si verifica mai D) $a+b+c=1$ o $a=0$ E) $a+b+c=0$

Risposta: D src_obm_2005_n2_f1__Q11

Paulistas/Baianos cross-claims of origin; among all, 20% claim Paulista; find true % of Paulistas

In a certain city an interesting fact happens. Ten percent of the Baianos say they are Paulistas and ten percent of the Paulistas say they are Baianos. All the other Paulistas and Baianos assume their true origin. Among the Paulistas and Baianos, $20\%$ say they are Paulistas. What percentage do the real Paulistas represent among the Paulistas and Baianos? A) $12.5\%$ \quad B) $18\%$ \quad C) $20\%$ \quad D) $22\%$ \quad E) $22.5\%$

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: A Fonte: apri PDF

Dicerture incrociate di origine di Paulistas/Baianos; tra tutte, il 20% afferma di Paulista; trova la percentuale vera di Paulistas

In una certa città accade un fatto interessante. Il 10% dei Baianos dice di essere Paulista e il 10% dei Paulista dice di essere Baiano. Tutti gli altri Paulistas e Baianos assumono la loro vera origine. Tra i Paulistas e i Baianos, $20\%$ dicono di essere Paulistas. Che percentuale rappresentano i veri Paulistas tra i Paulistas e i Baianos? A) $12.5\%$ \quad B) $18\%$ \quad C) $20\%$ \quad D) $22\%$ \quad E) $22.5\%$

Risposta: A src_obm_2005_n2_f1__Q12

Two equilateral triangles standing on a line with base angles 75 and 65; find top angle x

In the figure, the two triangles are equilateral. What is the value of the angle $x$? (The triangles stand on a horizontal line, making angles of $75^{\circ }$ and $65^{\circ }$ with it; $x$ is the angle at their intersection at the top.) A) $30^{\circ }$ \quad B) $40^{\circ }$ \quad C) $50^{\circ }$ \quad D) $60^{\circ }$ \quad E) $70^{\circ }$

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: E Fonte: apri PDF

Due triangoli equilaterali in piedi su una linea con angoli di base 75 e 65; trovare angolo superiore x

Nella figura, i due triangoli sono equilaterali. Qual è il valore dell’angolo $x$? (I triangoli si trovano su una linea orizzontale, formando angoli di $75^{\circ }$ e $65^{\circ }$ con esso; $x$ è l’angolo al loro incrocio in alto.) A) $30^{\circ }$ \quad B) $40^{\circ }$ \quad C) $50^{\circ }$ \quad D) $60^{\circ }$ \quad E) $70^{\circ }$

Risposta: E src_obm_2005_n2_f1__Q13

Integers O,B,M with three product/sum equations; find O+B+M

The letters $O$, $B$ and $M$ represent integers. If $O\times B\times M=240$, $O\times B+M=46$ and $O+B\times M=64$, what is the value of $O+B+M$? A) $19$ \quad B) $20$ \quad C) $21$ \quad D) $24$ \quad E) $36$

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: B Fonte: apri PDF

Integri O,B,M con tre equazioni prodotto/somma; trovare O+B+M

Le lettere $O$, $B$ e $M$ rappresentano numeri interi. Se $O\times B\times M=240$, $O\times B+M=46$ e $O+B\times M=64$, qual è il valore di $O+B+M$? A) $19$ \quad B) $20$ \quad C) $21$ \quad D) $24$ \quad E) $36$

Risposta: B src_obm_2005_n2_f1__Q14

Locksmith welds equal S-shaped pieces (10,5,5,10 cm) using 20 m of rod; which drawing is the panel’s end

A locksmith welds metal rods to produce equal pieces that will be joined to form the panel below. The drawing alongside shows the measurements, in centimetres, of one of these pieces (an S/zig-zag shape with segments $10$, $5$, $5$, $10$). The locksmith uses exactly $20$ metres of rod to do his work. Which of the drawings below represents the end of the panel? (Options A-E are drawings.)

Topic: Geometria piana, Combinatoria Metodo: Conteggio Abilita: Ragionamento geometrico, Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico Area: Geometria, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Saldi di serratore uguali a pezzi a forma di S (10,5,5,10 cm) utilizzando 20 m di bastone; il cui disegno è l’estremità del pannello

Un serratore salda le barre di metallo per produrre pezzi uguali che saranno uniti per formare il pannello di sotto. Il disegno laterale mostra le misure, in centimetri, di uno di questi pezzi (forma di zigzag S/zig con segmenti $10$, $5$, $5$, $10$). Il serratore utilizza esattamente $20$ metri di bastone per svolgere il suo lavoro. Quale dei disegni di seguito rappresenta la fine del pannello? (Le opzioni A-E sono disegni.)

src_obm_2005_n2_f1__Q15

Maximum number of months in a year that can have five Sundays

In one year, at most how many months have five Sundays? A) $3$ \quad B) $4$ \quad C) $5$ \quad D) $6$ \quad E) $7$

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: C Fonte: apri PDF

Nombre massimo di mesi in un anno che possono avere cinque domeniche

In un anno, quante mesi hanno cinque domeniche al massimo? A) $3$ \quad B) $4$ \quad C) $5$ \quad D) $6$ \quad E) $7$

Risposta: C src_obm_2005_n2_f1__Q16

Count numbers between 10 and 13000 made of consecutive digits in increasing order

How many numbers between $10$ and $13000$, when read from left to right, are formed by consecutive digits in increasing order? For example, $456$ is one such number, but $7890$ is not. A) $10$ \quad B) $13$ \quad C) $18$ \quad D) $22$ \quad E) $25$

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Numeri di conteggio compresi tra 10 e 13000 di cifre consecutive in ordine crescente

Quanti numeri tra $10$ e $13000$, quando si leggono da sinistra a destra, sono formati da cifre consecutive in ordine crescente? Ad esempio, $456$ è uno di tali numeri, ma $7890$ non lo è. A) $10$ \quad B) $13$ \quad C) $18$ \quad D) $22$ \quad E) $25$

src_obm_2005_n2_f1__Q17

Rally driver: legs 240,300,400 km at speeds 40,75,80 km/h in unknown order; guaranteed total time

A driver covered three legs of a rally, of lengths $240\text{km}$, $300\text{km}$ and $400\text{km}$, respectively. The average speeds on the three legs were $40\text{km/h}$, $75\text{km/h}$ and $80\text{km/h}$, but not necessarily in this order. We can guarantee that the total time, in hours, spent by the driver on the three legs is: A) less than or equal to $13$ hours B) greater than or equal to $13$ hours and less than or equal to $16$ hours C) greater than or equal to $14$ hours and less than or equal to $17$ hours D) greater than or equal to $15$ hours and less than or equal to $18$ hours E) greater than or equal to $18$ hours

Topic: Teoria dei Numeri, Disuguaglianze Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Stima, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: C Fonte: apri PDF

Rally driver: gambe 240,300,400 km a velocità di 40,75,80 km/h in ordine sconosciuto; tempo totale garantito

Un conducente ha percorso tre gambe di rally, rispettivamente $240\text{km}$, $300\text{km}$ e $400\text{km}$. Le velocità medie sulle tre gambe erano $40\text{km/h}$, $75\text{km/h}$ e $80\text{km/h}$, ma non necessariamente in questo ordine. Possiamo garantire che il tempo totale, in ore, trascorso dal conducente sulle tre gambe sia: A) inferiore o uguale a $13$ ore B) superiore o uguale a $13$ ore e inferiore o uguale a $16$ ore C) superiore o uguale a $14$ ore e inferiore o uguale a $17$ ore D) superiore o uguale a $15$ ore e inferiore o uguale a $18$ ore E) superiore o uguale a $18$ ore

Risposta: C src_obm_2005_n2_f1__Q18

Smaller circles of equal radius r, centres at vertices of a square, inside larger circle; ratio of grey areas a/b

In the figure, all the smaller circles have the same radius $r$ and the centres of the circles that touch the larger circle are the vertices of a square. Let $a$ and $b$ be the grey areas indicated in the figure. Then the ratio $\frac{a}{b}$ equals: A) $\frac{1}{2}$ \quad B) $\frac{2}{3}$ \quad C) $1$ \quad D) $\frac{3}{2}$ \quad E) $2$

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: C Fonte: apri PDF

Circoli più piccoli di uguale raggio r, centri a vertici di un quadrato, all’interno di un cerchio più grande; rapporto di aree grigie a/b

Nella figura, tutti i cerchi più piccoli hanno lo stesso raggio $r$ e i centri dei cerchi che toccano il cerchio più grande sono i vertici di un quadrato. Le zone grigie indicate nella figura sono $a$ e $b$. Quindi il rapporto $\frac{a}{b}$ è uguale: A) $\frac{1}{2}$ \quad B) $\frac{2}{3}$ \quad C) $1$ \quad D) $\frac{3}{2}$ \quad E) $2$

Risposta: C src_obm_2005_n2_f1__Q19

Class of 9 students, >=1 Brazilian; any 4 share a nationality, any 5 have <=3 of one; how many Brazilians

An English teacher gives private lessons to a class of $9$ students, at least one of whom is Brazilian. If the teacher chooses $4$ students to do a presentation, the group will have at least two students of the same nationality; if he chooses $5$ students, he will have at most three students of the same nationality. How many Brazilians are there in the class? A) $1$ \quad B) $2$ \quad C) $3$ \quad D) $4$ \quad E) $5$

Topic: Combinatoria, Logica Metodo: Principio dei cassetti, Casework Abilita: Casework accurato, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: C Fonte: apri PDF

Classe di 9 studenti, >=1 brasiliano; ogni 4 condividono una nazionalità, ogni 5 hanno <=3 di uno; quanti brasiliani

Un insegnante di inglese dà lezioni private a una classe di studenti $9$, almeno uno dei quali è brasiliano. Se l’insegnante sceglie gli studenti $4$ per fare una presentazione, il gruppo avrà almeno due studenti della stessa nazionalità; se sceglie gli studenti $5$, avrà al massimo tre studenti della stessa nazionalità. Quanti brasiliani ci sono in classe? A) $1$ \quad B) $2$ \quad C) $3$ \quad D) $4$ \quad E) $5$

Risposta: C src_obm_2005_n2_f1__Q20

Clock makes a plim each time a hand overtakes another; count plins between 12h00m01s and 23h59m59s

A clock, with hour, minute and second hands, makes a $plim$ every time one hand overtakes another on the dial. The number of $plins$ registered in a certain day, in the period between $12$ hours and $1$ second and $23$ hours, $59$ minutes and $59$ seconds, is: A) $732$ \quad B) $1438$ \quad C) $1440$ \quad D) $1446$ \quad E) $1452$

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Modellizzazione, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: B Fonte: apri PDF

L’orologio fa un plim ogni volta che una mano supera un’altra; conta i plini tra le 12h00m01 e le 23h59m59

Un orologio, con ore, minuti e seconde mani, fa un $plim$ ogni volta che una mano supera un’altra sul quadrante. Il numero di $plins$ registrati in un determinato giorno, nel periodo compreso tra $12$ ore e $1$ seconde e $23$ ore, $59$ minuti e $59$ secondi, è: A) $732$ \quad B) $1438$ \quad C) $1440$ \quad D) $1446$ \quad E) $1452$

Risposta: B src_obm_2005_n2_f1__Q21

Line PQ tangent at N to circle through L,M,N; LM meets PQ at R; LM=LN, angle PNL=alpha<60; find angle LRP

In the figure, the line $PQ$ touches at $N$ the circle that passes through $L$, $M$ and $N$. The line $LM$ cuts the line $PQ$ at $R$. If $LM=LN$ and the measure of the angle $PNL$ is $\alpha$, $\alpha <60^{\circ }$, what is the measure of the angle $LRP$? A) $3\alpha -180^{\circ }$ \quad B) $180^{\circ }-2\alpha$ \quad C) $180^{\circ }-\alpha$ \quad D) $90^{\circ }-\alpha /2$ \quad E) $\alpha$

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: B Fonte: apri PDF

Linea PQ tangente a N per circolare attraverso L,M,N; LM incontra PQ a R; LM=LN, angolo PNL=alfa<60; trova angolo LRP

Nella figura, la linea $PQ$ tocca a $N$ il cerchio che attraversa $L$, $M$ e $N$. La linea $LM$ taglia la linea $PQ$ a $R$. Se $LM=LN$ e la misura dell’angolo $PNL$ è $\alpha$, $\alpha <60^{\circ }$, qual è la misura dell’angolo $LRP$? A) $3\alpha -180^{\circ }$ \quad B) $180^{\circ }-2\alpha$ \quad C) $180^{\circ }-\alpha$ \quad D) $90^{\circ }-\alpha /2$ \quad E) $\alpha$

Risposta: B src_obm_2005_n2_f1__Q22

Positive integers x,y satisfying a nested-radical equation; find a possible value of y

The positive integers $x$ and $y$ satisfy the equation $\sqrt{x+\frac{1}{2}\sqrt{y}}-\sqrt{x-\frac{1}{2}\sqrt{y}}=1.$ Which of the alternatives presents a possible value of $y$? A) $5$ \quad B) $6$ \quad C) $7$ \quad D) $8$ \quad E) $9$

Topic: Algebra Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: D Fonte: apri PDF

insieri interi positivi x,y che soddisfano un’equazione radicale nidificata; trovare un possibile valore di y

I numeri interi positivi $x$ e $y$ soddisfano l’equazione $\sqrt{x+\frac{1}{2}\sqrt{y}}-\sqrt{x-\frac{1}{2}\sqrt{y}}=1.$ Quale delle alternative presenta un possibile valore di $y$? A) $5$ \quad B) $6$ \quad C) $7$ \quad D) $8$ \quad E) $9$

Risposta: D src_obm_2005_n2_f1__Q23

Place chosen numbers from 1..10 in white circles so neighbours sum to a perfect square; 2 given; find total sum

Among the numbers $1,2,3,4,5,6,7,8,9$ and $10$, choose some and place them in the white circles so that the sum of the numbers in two neighbouring circles is always a perfect square. Note: the $2$ has already been placed in one of the circles, and repeated numbers are not allowed; moreover, circles separated by the black rectangle are not neighbours. The sum of the numbers placed in all the white circles is: A) $36$ \quad B) $46$ \quad C) $47$ \quad D) $49$ \quad E) $55$

Topic: Combinatoria, Logica Metodo: Casework, Grafi Abilita: Casework accurato, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Posizionare i numeri scelti da 1,10 in cerchi bianchi in modo che la somma dei vicini sia un quadrato perfetto; 2 dato; trovare la somma totale

Tra i numeri $1,2,3,4,5,6,7,8,9$ e $10$, selezionate alcuni e inseriteli nei cerchi bianchi in modo che la somma dei numeri in due cerchi vicini sia sempre un quadrato perfetto. Nota: il $2$ è già stato inserito in uno dei cerchi e non sono ammessi numeri ripetuti; inoltre, i cerchi separati dal rettangolo nero non sono vicini. La somma dei numeri inseriti in tutti i cerchi bianchi è: A) $36$ \quad B) $46$ \quad C) $47$ \quad D) $49$ \quad E) $55$

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1x2x3 block rolled on an 8x8 board with faces X,Y,Z turned down in order; how many distinct cells touched

A block of dimensions $1\times 2\times 3$ is placed on an $8\times 8$ board, as the figure shows, with a face $X$ of dimensions $1\times 2$ turned downward. We roll the block around one of its edges so that face $Y$ is turned downward. Then we roll it again, this time so that face $Z$ is turned downward. We roll the block more times, in various directions on the board, so that the faces $X$, $Y$ and $Z$ are turned downward, always in this order. How many different little squares of the board can be in contact with the block? A) $18$ \quad B) $19$ \quad C) $20$ \quad D) $21$ \quad E) $22$

Topic: Combinatoria, Geometria solida Metodo: Casework, Invarianti Abilita: Casework accurato, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF

• blocco 1x2x3 laminato su una tavola 8x8 con le facce X, Y, Z in ordine verso il basso; quante cellule distinte sono state toccate*

Un blocco di dimensioni $1\times 2\times 3$ è posizionato su una tavola $8\times 8$, come mostra la figura, con una faccia $X$ di dimensioni $1\times 2$ rivolta verso il basso. Rotoliamo il blocco attorno a uno dei suoi bordi in modo che la faccia $Y$ sia girata verso il basso. Poi lo rotoliamo di nuovo, questa volta in modo che la faccia $Z$ sia girata verso il basso. Rotoliamo il blocco più volte, in varie direzioni sulla lavagna, in modo che le facce $X$, $Y$ e $Z$ siano girate verso il basso, sempre in questo ordine. Quanti piccoli quadrati della lavagna possono essere in contatto con il blocco? A) $18$ \quad B) $19$ \quad C) $20$ \quad D) $21$ \quad E) $22$

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