Olimpíada Brasileira de Matemática 2005 — Nível 2 — Fase 2

Skipping digits 1 and 3: last page number written

Natasha is superstitious and, when numbering the 200 pages of her diary starting from 1, she skipped all page numbers containing the digits 1 or 3 (in any order). For example, the numbers 31 and 137 do not appear, but 103 does appear. What is the number Natasha wrote on the last page of her diary?

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

*Salto dei numeri 1 e 3: ultimo numero di pagina scritto *

Natasha è superstiziosa e, quando numerò le 200 pagine del suo diario a partire da 1, ha saltato tutti i numeri di pagina contenenti i numeri 1 o 3 (in qualsiasi ordine). Per esempio, i numeri 31 e 137 non appaiono, ma 103 appaiono. Qual è il numero che Natasha ha scritto sull’ultima pagina del suo diario?

src_obm_2005_n2_f2__Q01

Four equal triangular pieces form two squares; find side of third square

Four equal pieces, each in the shape of a triangle, were arranged in two different ways, as shown in the figures below. The squares $ABCD$ and $EFGH$ have sides equal to $3\text{cm}$ and $9\text{cm}$, respectively. Determine the side length of square $IJKL$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Quattro pezzi triangolari uguali formano due quadrati; trovare lato del terzo quadrato

Quattro pezzi uguali, ognuno a forma di triangolo, erano disposti in due modi diversi, come mostrato nelle figure di seguito. I quadrati $ABCD$ e $EFGH$ hanno lati uguali rispettivamente a $3\text{cm}$ e $9\text{cm}$. Determinare la lunghezza laterale del quadrato $IJKL$.

src_obm_2005_n2_f2__Q02

Staircase grid of numbered squares; count tape strips used

Juliana was writing positive integers in paper squares glued side by side in a staircase pattern, where each column (from left to right) has one more square than the previous column. A strip of tape is placed along each interior edge shared by two adjacent squares. She wrote up to the number $105$ and stopped. How many strips of tape did she use?

(The figure shows the staircase arrangement: column $1$ has $1$ square, column $2$ has $2$ squares, column $3$ has $3$ squares, and so on, with the squares numbered $1,2,3,\dots$ from top to bottom within each column and columns ordered left to right.)

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Conteggio, Ricorsione Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern, Modellizzazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Griglia delle scale di quadrati numerati; nastri di nastro di conteggio utilizzati

Juliana stava scrivendo numeri interi positivi in quadrati di carta incollati fianco a fianco in un modello di scala, dove ogni colonna (da sinistra a destra) ha un quadrato in più rispetto alla colonna precedente. Una striscia di nastro viene posizionata lungo ogni bordo interno condiviso da due quadrati adiacenti. Ha scritto al numero $105$ e si è fermata. Quante strisce di nastro ha usato?

(La figura mostra la disposizione delle scale: la colonna $1$ ha $1$ quadrato, la colonna $2$ ha $2$ quadrati, la colonna $3$ ha $3$ quadrati e così via, con i quadrati numerati $1,2,3,\dots$ dall’alto in basso all’interno di ciascuna colonna e colonne ordinate da sinistra a destra.)

src_obm_2005_n2_f2__Q03

Quadrilateral land divided into four lots; find area of fourth lot

A quadrilateral plot of land was divided into four smaller lots by two straight lines connecting the midpoints of opposite sides. The areas of three of the four lots are indicated in the map below (in square meters): $200$, $210$, and $250$. What is the area of the fourth lot (represented by the dark region on the map)?

Topic: Geometria piana, Geometria analitica Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Terra quadrilaterale suddivisa in quattro lotti; trovare superficie del quarto lotto

Un terreno quadrilaterale era diviso in quattro lotti più piccoli da due linee rette che collegavano i punti di mezzo di lati opposti. Le aree di tre dei quattro lotti sono indicate nella mappa di seguito (in metri quadrati): $200$, $210$ e $250$. Qual è l’area del quarto lotto (representato dalla regione oscura sulla mappa)?

src_obm_2005_n2_f2__Q04

Smallest positive integer satisfying four divisibility conditions

Let $a$ be a positive integer such that $a+1$ is a multiple of $5$, $a+2$ is a multiple of $7$, $a+3$ is a multiple of $9$, and $a+3$ is a multiple of $11$. Determine the smallest value that $a$ can assume.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Il numero intero positivo più piccolo che soddisfa quattro condizioni di divisibilità

Che $a$ sia un intero positivo tale che $a+1$ sia un multiple di $5$, $a+2$ sia un multiple di $7$, $a+3$ sia un multiple di $9$, e $a+3$ sia un multiple di $11$. Determinare il valore più piccolo che $a$ può assumere.

src_obm_2005_n2_f2__Q05

Find total percentage of correct answers on a three-subject exam

Gabriel solved a mathematics exam containing questions on algebra, geometry, and logic. After checking his result, Gabriel observed that he answered correctly $50\%$ of the algebra questions, $70\%$ of the geometry questions, and $80\%$ of the logic questions. Gabriel also noticed that he answered correctly exactly $62\%$ of the algebra and logic questions combined, and $74\%$ of the geometry and logic questions combined. What percentage of all questions on Gabriel’s exam did he answer correctly?

(Note: this is Parte B, Problema 1, worth 10 points each.)

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Modellizzazione, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca la percentuale totale di risposte corrette in un esame di tre soggetti

Gabriel risolve un esame di matematica contenente domande sull’algebra, la geometria e la logica. Dopo aver verificato il suo risultato, Gabriel osservò che aveva risposto correttamente $50\%$ delle domande di algebra, $70\%$ delle domande di geometria e $80\%$ delle domande di logica. Gabriel notò anche che rispose correttamente esattamente $62\%$ delle domande di algebra e logica combinate, e $74\%$ delle domande di geometria e logica combinate. Quale percentuale di tutte le domande dell’esame di Gabriel ha risposto correttamente?

(Nota: questo è Parte B, Problema 1, vale 10 punti ciascuno.)

src_obm_2005_n2_f2__Q06

Triangle cut from square cardboard; find sum of two marked angles

A right triangle is cut from a square piece of cardboard. The sum of the lengths of the two legs of the cut triangle equals the side length of the square. Find the value of the sum of the angles $\alpha +\beta$ marked in the figure, where the triangle has a $27^{\circ }$ angle and $\alpha$, $\beta$ are angles formed between the sides of the triangle and the sides of the remaining cardboard.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo tagliato da cartone quadrato; trovare la somma di due angoli segnati

Un triangolo rettangolo viene tagliato da un pezzo quadrato di cartone. La somma delle lunghezze delle due gambe del triangolo tagliato è uguale alla lunghezza laterale del quadrato. Trova il valore della somma degli angoli $\alpha +\beta$ indicati nella figura, dove il triangolo ha un angolo $27^{\circ }$ e $\alpha$, $\beta$ sono angoli formati tra i lati del triangolo e i lati del resto della cartone.

src_obm_2005_n2_f2__Q07

Factor polynomial; find all integer pairs satisfying quadratic equation

(a) Factor the expression $x^2-9xy+8y^2$.

(b) Determine all pairs of integers $(x,y)$ such that $9xy-x^2-8y^2=2005$.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Fattore polinomio; trovare tutte le coppie di numeri interi che soddisfano l’equazione quadrata

(a) Factor l’espressione $x^2-9xy+8y^2$.

b) Determinare tutte le coppie di integri $(x,y)$ tali da $9xy-x^2-8y^2=2005$.

src_obm_2005_n2_f2__Q08

Domino sequences with houses 1-3: count arrangements, explain impossibility for 1-4

Each piece of a domino game has two numbered houses. Consider the $6$ pieces formed using only the numbers $1$, $2$, and $3$:

(a) In how many ways is it possible to arrange all $6$ such pieces in a sequence so that the right house of each piece equals the left house of the next piece? Two examples are shown below.

(b) Explain why it is not possible to do the same with all $10$ pieces formed using only the numbers $1$, $2$, $3$, and $4$.

Topic: Combinatoria, Logica Metodo: Grafi, Casework, Invarianti Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Riconoscimento di pattern, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Sequenze di domino con case 1-3: ordini di conteggio, spiegazione dell’impossibilità di 1-4

Ogni gioco di domino ha due case numerate. Considerare i pezzi $6$ formati utilizzando solo i numeri $1$, $2$ e $3$:

(a) In quanti modi è possibile organizzare tutti questi pezzi in una sequenza in modo che la casa destra di ciascun pezzo sia uguale alla casa sinistra del pezzo successivo? Qui di seguito sono riportati due esempi.

b) Spiega perché non sia possibile fare lo stesso con tutti i pezzi $10$ formati utilizzando solo i numeri $1$, $2$, $3$ e $4$.

src_obm_2005_n2_f2__Q09