Olimpíada Brasileira de Matemática 2005 — Nível 2 — Fase 3

Count right triangles with legs parallel to board edges on 5x5 grid

On a $5\times 5$ board, three identical buttons are to be placed, each at the center of a cell, determining a triangle. In how many ways can the buttons be placed to form a right triangle with legs parallel to the sides of the board?

Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF

Contare i triangoli rettangolari con gambe parallele ai bordi della lavagna su griglia 5x5

Su una tavola $5\times 5$ devono essere posizionati tre pulsanti identici, ciascuno al centro di una cella, determinando un triangolo. In quanti modi si possono posizionare i pulsanti per formare un triangolo rettangolo con gambe parallele ai lati della tavola?

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Right triangle, midpoint of hypotenuse, perpendicularity and quadrilateral area

In right triangle $ABC$, the legs $AB$ and $BC$ measure 3 cm and 4 cm respectively. Let $M$ be the midpoint of the hypotenuse $AC$, and let $D$ be a point, distinct from $A$, such that $BM=MD$ and $AB=BD$.

a) Prove that $BM$ is perpendicular to $AD$.

b) Calculate the area of quadrilateral $ABDC$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo retto, punto medio dell’ipotenusa, perpendicularità e area quadrilaterale

Nel triangolo rettangolo $ABC$, le gambe $AB$ e $BC$ misurano rispettivamente 3 cm e 4 cm. $M$ sia il punto medio dell’ipotenusa $AC$, e $D$ sia un punto distinto da $A$, tale da $BM=MD$ e $AB=BD$.

a) dimostrare che $BM$ è perpendicolare a $AD$.

b) Calcolare l’area del quadrilaterale $ABDC$.

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Given product ratio equals 1/11, find cyclic sum of a/(a+b)

Given that $\frac{(a-b)(b-c)(c-a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}=\frac{1}{11},$ what is the value of $\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}?$

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

*Dato che il rapporto del prodotto è uguale a 1/11, trovi la somma ciclica di a/(a+b) *

Dato che $\frac{(a-b)(b-c)(c-a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}=\frac{1}{11},$ qual è il valore di $\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}?$

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Swimmer and log problem: time for log to travel from A to B

In his daily swimming training, Esmeraldinho swims several times between two points $A$ and $B$ situated on the same bank of a river, with a constant stroke rate. The current of the river flows from $A$ to $B$, and the current in the opposite direction is against Esmeraldinho. A log carried by the current passes point $A$ at the exact moment that Esmeraldinho sets off from $A$. Esmeraldinho reaches $B$ and immediately returns toward $A$. On the return trip, he crosses the log 6 minutes after leaving $A$. Esmeraldinho then reaches $A$ and immediately sets off again toward $B$, reaching $B$ 5 minutes after passing the log for the second time while going from $B$ to $A$. How many minutes does the log take to travel from $A$ to $B$?

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Casework, Backward Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Problema del nuotatore e del registro: tempo per il registro di viaggio da A a B

Nella sua allenamento quotidiano di nuoto, Esmeraldinho nuota più volte tra due punti $A$ e $B$ situati sulla stessa riva di un fiume, con un tasso di accumulo costante. La corrente del fiume scorre da $A$ a $B$, e la corrente nella direzione opposta è contro Esmeraldinho. Un registro trasportato dal punto di passaggio corrente $A$ al momento esatto in cui Esmeraldinho parte da $A$. Esmeraldinho raggiunge $B$ e ritorna immediatamente verso $A$. Nel viaggio di ritorno, attraversa il tronco 6 minuti dopo aver lasciato il$A$. Esmeraldinho raggiunge quindi $A$ e immediatamente parte di nuovo verso $B$, raggiungendo $B$ 5 minuti dopo aver superato il registro per la seconda volta mentre passa da $B$ a $A$. Quanti minuti ci vogliono per spostare il registro da $A$ a $B$?

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Prove 1^2005 + 2^2005 + … + 2005^2005 is divisible by 1+2+…+2005

Prove that the number $1^{2005}+2^{2005}+3^{2005}+\cdots +2005^{2005}$ is a multiple of $1+2+3+\cdots +2005$.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Congruenze, Simmetria, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Prova 1^2005 + 2^2005 + … + 2005^2005 è divisibile per 1+2+…+2005

Provare che il numero $1^{2005}+2^{2005}+3^{2005}+\cdots +2005^{2005}$ è un multiple di $1+2+3+\cdots +2005$.

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Angle bisectors and external bisector: prove angle APM = 30 degrees

The measure of angle $B$ of triangle $ABC$ is $120^{\circ }$. Let $M$ be a point on side $AC$ and $K$ a point on the extension of side $AB$ beyond $B$, such that $BM$ is the internal bisector of angle $\angle ABC$ and $CK$ is the external bisector corresponding to angle $\angle ACB$. The segment $MK$ intersects $BC$ at point $P$. Prove that $\angle APM=30^{\circ }$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Bissettori d’angolo e bisettori esterni: prova angolo APM = 30 gradi

La misura dell’angolo $B$ del triangolo $ABC$ è $120^{\circ }$. Il $M$ deve essere un punto sul lato $AC$ e $K$ un punto sull’estensione del lato $AB$ oltre $B$, in modo tale che $BM$ sia il bisettore interno dell’angolo $\angle ABC$ e $CK$ sia il bisettore esterno corrispondente all’angolo $\angle ACB$. Il segmento $MK$ si interseca con $BC$ al punto $P$. Prove che $\angle APM=30^{\circ }$.

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