Olimpíada Brasileira de Matemática 2005 — Nível 3 — Fase 1

Count integers between 10 and 13000 whose digits are consecutive and increasing

How many numbers between $10$ and $13000$, read from left to right, are formed by consecutive digits in increasing order? For example, $456$ is one of these numbers, but $7890$ is not. (A) $10$ (B) $13$ (C) $18$ (D) $22$ (E) $25$

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

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Contare i numeri interi tra 10 e 13000 i cui numeri sono consecutivi e in aumento

Quanti numeri tra $10$ e $13000$, letti da sinistra a destra, sono formati da cifre consecutive in ordine crescente? Ad esempio, $456$ è uno di questi numeri, ma $7890$ non lo è. (A) $10$ (B) $13$ (C) $18$ (D) $22$ (E) $25$

src_obm_2005_n3_f1__Q01

Angle LMN where L, M, N are midpoints of edges of a cube

$L$, $M$ and $N$ are midpoints of edges of the cube, as the figure shows. What is the measure of the angle $L\hat{M}N$? (A) $90^{\circ }$ (B) $105^{\circ }$ (C) $120^{\circ }$ (D) $135^{\circ }$ (E) $150^{\circ }$

Topic: Geometria solida Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Astrazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

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Angolo LMN dove L, M, N sono punti di mezzo dei bordi di un cubo

$L$, $M$ e $N$ sono i punti di mezzo dei bordi del cubo, come mostra la figura. Qual è la misura dell’angolo $L\hat{M}N$? (A) $90^{\circ }$ (B) $105^{\circ }$ (C) $120^{\circ }$ (D) $135^{\circ }$ (E) $150^{\circ }$

src_obm_2005_n3_f1__Q02

Angle LRP with PQ tangent at N to circle through L,M,N and LM=LN

In the figure, the line $PQ$ touches at $N$ the circle that passes through $L$, $M$ and $N$. The line $LM$ cuts the line $PQ$ at $R$. If $LM=LN$ and the measure of the angle $P\hat{N}L$ is $\alpha$, with $\alpha <60^{\circ }$, what is the measure of the angle $L\hat{R}P$? (A) $3\alpha -180^{\circ }$ (B) $180^{\circ }-2\alpha$ (C) $180^{\circ }-\alpha$ (D) $90^{\circ }-\frac{\alpha }{2}$ (E) $\alpha$

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

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Angolo LRP con tangente PQ a N per circolare attraverso L, M, N e LM=LN

Nella figura, la linea $PQ$ tocca a $N$ il cerchio che attraversa $L$, $M$ e $N$. La linea $LM$ taglia la linea $PQ$ a $R$. Se $LM=LN$ e la misura dell’angolo $P\hat{N}L$ è $\alpha$, con $\alpha <60^{\circ }$, qual è la misura dell’angolo $L\hat{R}P$? (A) $3\alpha -180^{\circ }$ (B) $180^{\circ }-2\alpha$ (C) $180^{\circ }-\alpha$ (D) $90^{\circ }-\frac{\alpha }{2}$ (E) $\alpha$

src_obm_2005_n3_f1__Q03

Find O+B+M given OBM=240, OB+M=46, O+BM=64

The letters $O$, $B$ and $M$ represent integer numbers. If $O\times B\times M=240$, $O\times B+M=46$ and $O+B\times M=64$, then $O+B+M$ is equal to: (A) $19$ (B) $20$ (C) $21$ (D) $24$ (E) $36$

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

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Trova O+B+M dato OBM=240, OB+M=46, O+BM=64

Le lettere $O$, $B$ e $M$ rappresentano numeri interi. Se $O\times B\times M=240$, $O\times B+M=46$ e $O+B\times M=64$, allora $O+B+M$ è uguale a: (A) $19$ (B) $20$ (C) $21$ (D) $24$ (E) $36$

src_obm_2005_n3_f1__Q04

Find digit n: a multiple of 7 flanked by 2004 and a number of 2005 digits

Esmeralda correctly typed a multiple of $7$ greater than one billion, with $4010$ digits. To its left she wrote the number $2004$ and to its right, $1$, obtaining new numbers $2004\dots 1$ with a digit $n$, and $2005$ digits. What is the value of $n$? (A) $3$ (B) $4$ (C) $5$ (D) $6$ (E) $7$

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

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Trova la cifra n: un moltiplo di 7 fiancheggiato dal 2004 e un numero di cifre del 2005

Esmeralda ha digitato correttamente un multiple di $7$ superiore a un miliardo, con cifre $4010$. Alla sua sinistra ha scritto il numero $2004$ e alla sua destra, $1$, ottenendo nuovi numeri $2004\dots 1$ con una cifra $n$ e $2005$. Qual è il valore di $n$? (A) $3$ (B) $4$ (C) $5$ (D) $6$ (E) $7$

src_obm_2005_n3_f1__Q05

Possible value of y in nested-radical equation equal to 1

The positive integers $x$ and $y$ satisfy the equation $\sqrt{x+\frac{1}{2}\sqrt{y}}-\sqrt{x-\frac{1}{2}\sqrt{y}}=1.$ Which of the alternatives presents a possible value of $y$? (A) $5$ (B) $6$ (C) $7$ (D) $8$ (E) $9$

Topic: Algebra Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

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Il valore possibile di y nell’equazione radicale nidificata è uguale a 1

I numeri interi positivi $x$ e $y$ soddisfano l’equazione $\sqrt{x+\frac{1}{2}\sqrt{y}}-\sqrt{x-\frac{1}{2}\sqrt{y}}=1.$ Quale delle alternative presenta un possibile valore di $y$? (A) $5$ (B) $6$ (C) $7$ (D) $8$ (E) $9$

src_obm_2005_n3_f1__Q06

Count distinct board squares touched by a 1x2x3 block rolled around an 8x8 board

A block of dimensions $1\times 2\times 3$ is placed on an $8\times 8$ board, as the figure shows, with one of its faces in contact with the lower left corner of the board. We roll the block, turning it over its edges around the board until it returns to the position it started from. In this way the block, rolling over its faces $X$, $Y$ and $Z$, occupies several squares of the board. How many different squares of the board were in contact with the block? (A) $18$ (B) $19$ (C) $20$ (D) $21$ (E) $22$

Topic: Combinatoria, Geometria solida Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF

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Contare i quadrati distinti della lavagna toccati da un blocco 1x2x3 rotolato attorno a una lavagna 8x8

Un blocco di dimensioni $1\times 2\times 3$ è posizionato su una lavagna $8\times 8$, come mostra la figura, con una delle sue facce in contatto con l’angolo inferiore sinistro della lavagna. Rotoliamo il blocco, girandolo intorno ai bordi della lavagna finché non ritorna alla posizione da cui ha iniziato. In questo modo il blocco, che ruota sulle sue facce $X$, $Y$ e $Z$, occupa diversi quadrati della lavagna. Quanti quadrati della lavagna erano in contatto con il blocco? (A) $18$ (B) $19$ (C) $20$ (D) $21$ (E) $22$

src_obm_2005_n3_f1__Q07

Equivalent buy-N-pay-M offer for buy-one-get-second-at-half-price

A soap shop runs a promotion with the announcement “Buy one and take another for half the price”. Another promotion the shop could make to offer the same percentage discount is: (A) “Take two and pay one” (B) “Take three and pay one” (C) “Take three and pay two” (D) “Take four and pay three” (E) “Take five and pay four”

Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Stima, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

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Offerta equivalente di acquisto-N-pay-M per acquisto-one-get-second-at-half-price

Un negozio di saponi fa una promozione con l’annuncio: “Acquistate uno e prendete un altro a metà prezzo”. Un’altra promozione che il negozio potrebbe fare per offrire lo stesso sconto percentuale è: (A) “Prenditi due e paga uno” (B) “Prenditi tre e paga uno” (C) “Prenditi tre e paga due” (D) “Prenditi quattro e paga tre” (E) “Prenditi cinque e paga quattro”

src_obm_2005_n3_f1__Q08

Estimate volume of all platinum produced in history via density and tonnage

Platinum is a very rare metal, rarer and dearer than gold. Its density is $21.45{\text{g/cm}}^3$. Suppose the world production of platinum in the last $50$ years was about $110$ tonnes per year, and that before that it was negligible. Mark the alternative whose volume is closest to the volume of platinum produced in human history: (A) a shoebox (B) a swimming pool (C) a ten-storey building (D) Mount Pascoal (E) the Moon

Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Stima, Modellizzazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

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Volume stimato di tutto il platino prodotto nella storia per densità e tonnellata

Il platino è un metallo molto raro, più raro e costoso dell’oro. La densità è $21.45{\text{g/cm}}^3$. Supponiamo che la produzione mondiale di platino negli ultimi anni fosse di circa $110$ tonnellate all’anno, e che prima fosse trascurabile. Indicare l’alternativa il cui volume è più vicino al volume di platino prodotto nella storia umana: (A) una scatola da scarpe (B) una piscina (C) un edificio di dieci piani (D) il Monte Pascoal (E) la Luna

src_obm_2005_n3_f1__Q09

Shortest path through all 14 vertices of cube wire network with face diagonals

The figure shows a cube of edge $1$ in which all twelve face diagonals were drawn. With this, a network with $14$ vertices ($8$ vertices of the cube and $6$ centers of faces) and $36$ edges (the $12$ edges of the cube and $4$ on each face, totalling $24$ on the $6$ faces) was created. What is the length of the shortest path, formed by edges of the network, that passes through all $14$ vertices? (A) $1+6\sqrt{2}$ (B) $4+2\sqrt{2}$ (C) $6$ (D) $8+6\sqrt{2}$ (E) $12+12\sqrt{2}$

Topic: Geometria solida, Combinatoria Metodo: Grafi, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico Area: Geometria, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

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Costo percorso attraverso tutte e 14 le vertici della rete di fili cubici con diagonali facciali

La figura mostra un cubo di bordo $1$ in cui sono stati disegnati tutti i dodici diagonali di faccia. Con questo, è stata creata una rete con vertici $14$ (vertici $8$ del cubo e $6$ centri di facce) e bordi $36$ (le bordi $12$ del cubo e $4$ su ciascuna faccia, il totale $24$ sulle facce $6$). Qual è la lunghezza del percorso più corto, formato dai bordi della rete, che attraversa tutti i vertici $14$? (A) $1+6\sqrt{2}$ (B) $4+2\sqrt{2}$ (C) $6$ (D) $8+6\sqrt{2}$ (E) $12+12\sqrt{2}$

src_obm_2005_n3_f1__Q10

Minimum number of edges of a polyhedron having a regular hexagon face

One of the faces of a polyhedron is a regular hexagon. What is the minimum quantity of edges this polyhedron can have? (A) $7$ (B) $9$ (C) $12$ (D) $15$ (E) $18$

Topic: Geometria solida Metodo: Estremalità Abilita: Ragionamento geometrico, Astrazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

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Numero minimo di bordi di un poliedro con faccia esagonale regolare

Una delle facce di un poliedro è un esagono regolare. Qual è la quantità minima di bordi che questo poliedro può avere? (A) $7$ (B) $9$ (C) $12$ (D) $15$ (E) $18$

src_obm_2005_n3_f1__Q11

Maximum number of months in a year having five Sundays

In a year, at most how many months have five Sundays? (A) $3$ (B) $4$ (C) $5$ (D) $6$ (E) $7$

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Congruenze Abilita: Casework accurato, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

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Nombre massimo di mesi in un anno con cinque domeniche

In un anno, quante mesi hanno cinque domeniche al massimo? (A) $3$ (B) $4$ (C) $5$ (D) $6$ (E) $7$

src_obm_2005_n3_f1__Q12

Length CD in triangle ABC with D on BC, AB=AD=2, BD=1, angle bisector condition

$D$ is a point belonging to side $BC$ of triangle $ABC$. Knowing that $AB=AD=2$, $BD=1$ and the angles $B\hat{A}D$ and $C\hat{A}D$ are congruent, then the measure of segment $CD$ is: (A) $\frac{3}{2}$ (B) $\frac{4}{3}$ (C) $\frac{5}{4}$ (D) $\frac{6}{5}$ (E) $\frac{7}{6}$

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

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Lunghezza del CD in triangolo ABC con D su BC, AB=AD=2, BD=1, condizione del bisettore angolare

$D$ è un punto appartenente al lato $BC$ del triangolo $ABC$. Sapendo che $AB=AD=2$, $BD=1$ e gli angoli $B\hat{A}D$ e $C\hat{A}D$ sono congruenti, la misura del segmento $CD$ è: (A) $\frac{3}{2}$ (B) $\frac{4}{3}$ (C) $\frac{5}{4}$ (D) $\frac{6}{5}$ (E) $\frac{7}{6}$

src_obm_2005_n3_f1__Q13

Numbers 1..12 around a circle with neighbor sums triangular; find number opposite 12

Esmeralda adores the triangular numbers (i.e., the numbers $1$, $3$, $6$, $10$, $15$, $21$, $28$, …), so much so that she decided to place the numbers $1$, $2$, $3$, …, $12$ around a circle in such a way that the sum of each pair of neighboring numbers is a triangular number. She left $12$ out at first. The number opposite to $12$ in her arrangement (the original number) is: (A) $1$ (B) $4$ (C) $3$ (D) $6$ (E) $10$

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework Abilita: Casework accurato, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

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Numeri 1..12 attorno a un cerchio con somme vicine triangolare; trovare numero opposto 12

Esmeralda adora i numeri triangolari (cioè i numeri $1$, $3$, $6$, $10$, $15$, $21$, $28$, …), tanto che ha deciso di posizionare i numeri $1$, $2$, $3$, …, $12$ attorno a un cerchio in modo tale che la somma di ogni coppia di numeri vicini sia un numero triangolare. All’inizio ha lasciato $12$ fuori. Il numero opposto a $12$ nella sua disposizione (il numero originale) è: (A) $1$ (B) $4$ (C) $3$ (D) $6$ (E) $10$

src_obm_2005_n3_f1__Q14

Sequence with a_{n+1}=a_{n+2}(a_{n+1}+a_n), given a_5=35 find a_4

The terms $a_n$ of a sequence of positive integers satisfy the relation $a_{n+1}=a_{n+2}(a_{n+1}+a_n)\text{for }n=1,2,3,\dots$ If $a_5=35$, what is $a_4$? (A) $1$ (B) $3$ (C) $5$ (D) $7$ (E) $9$

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Ricorsione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

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Sequenza con a_{n+1}=a_{n+2}(a_{n+1}+a_n), data a_5=35 trovare a_4

I termini $a_n$ di una sequenza di numeri interi positivi soddisfano la relazione $a_{n+1}=a_{n+2}(a_{n+1}+a_n)\text{for }n=1,2,3,\dots$ Se $a_5=35$, cosa è $a_4$? (A) $1$ (B) $3$ (C) $5$ (D) $7$ (E) $9$

src_obm_2005_n3_f1__Q15

Condition for addition to distribute over multiplication: a+(bc)=(a+b)(a+c)

Let $a$, $b$ and $c$ be real numbers. By the distributive property of multiplication over addition, it is true that $a\times (b+c)=(a\times b)+(a\times c)$. The distributivity of addition over multiplication, that is, $a+(b\times c)=(a+b)\times (a+c)$, is not always true, but it occurs, that is, it is verified, if and only if: (A) $a=b=c$ or $a+\frac{1}{3}=0$ (B) $a=b=c$ (C) the equality never occurs (D) $a+b+c=1$ or $a=0$ (E) $a=b=c=0$

Topic: Algebra Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

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Condizione per l’aggiunta per la distribuzione per moltiplicazione: a+(bc)=(a+b)(a+c)

$a$, $b$ e $c$ siano numeri reali. Per la proprietà distributiva della moltiplicazione sull’addizione, è vero che $a\times (b+c)=(a\times b)+(a\times c)$. La distributività dell’addizione sulla moltiplicazione, cioè $a+(b\times c)=(a+b)\times (a+c)$, non è sempre vera, ma si verifica, cioè si verifica, se e solo se: (A) $a=b=c$ o $a+\frac{1}{3}=0$ (B) $a=b=c$ (C) l’uguaglianza non si verifica mai (D) $a+b+c=1$ o $a=0$ (E) $a=b=c=0$

src_obm_2005_n3_f1__Q16

Ratio a/b of two gray areas in a configuration of equal circles with centers at a square’s vertices

In the figure, the circles have the same radius $r$ and their centers are vertices of a square. The circles touch a circle of larger radius whose center is at the center of the square, which has vertices at… Let $a$ and $b$ be the gray areas indicated in the figure. Then the ratio $\frac{a}{b}$ is equal to: (A) $\frac{1}{2}$ (B) $\frac{2}{3}$ (C) $1$ (D) $\frac{3}{2}$ (E) $2$

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

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Ratio a/b di due aree grigie in una configurazione di cerchi uguali con centri alle vertici di un quadrato

Nella figura, i cerchi hanno lo stesso raggio $r$ e i loro centri sono vertici di un quadrato. I cerchi toccano un cerchio di raggio maggiore il cui centro è al centro del quadrato, che ha vertici a… Le aree grigie indicate nella figura sono $a$ e $b$. Il rapporto $\frac{a}{b}$ è quindi uguale a: (A) $\frac{1}{2}$ (B) $\frac{2}{3}$ (C) $1$ (D) $\frac{3}{2}$ (E) $2$

src_obm_2005_n3_f1__Q17

How many of 13 nonzero reals are negative given 22 negative pairwise products and more positives

Among thirteen nonzero real numbers there are more positive numbers than negative ones. Among the $\frac{13\times 12}{2}=78$ products of pairs of the thirteen numbers, $22$ are negative. How many of the thirteen given numbers are negative? (A) $2$ (B) $7$ (C) $8$ (D) $9$ (E) $10$

Topic: Combinatoria, Algebra Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

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Quanti dei 13 reali non-zero sono negativi dati 22 prodotti in coppia negativa e più positivi

Tra i tredici numeri reali non zero ci sono più numeri positivi di quelli negativi. Tra i prodotti $\frac{13\times 12}{2}=78$ di coppie di 13 numeri, $22$ sono negativi. Quanti dei tredici numeri dati sono negativi? (A) $2$ (B) $7$ (C) $8$ (D) $9$ (E) $10$

src_obm_2005_n3_f1__Q18

Angle of a parallelogram such that perpendiculars to its sides form another parallelogram with equal angles

Drawing four lines perpendicular to the sides of a parallelogram, we obtain a region bounded by these four lines which is also a parallelogram. We can state that one of the angles of the original parallelogram, in order for the two parallelograms to have equal angles, is: (A) $30^{\circ }$ (B) $45^{\circ }$ (C) $60^{\circ }$ (D) $75^{\circ }$ (E) $90^{\circ }$

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

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angolo di un parallelo tale che le perpendicolari ai suoi lati formino un altro parallelo con angoli uguali

Tracciando quattro linee perpendicolari ai lati di un parallelo, otteniamo una regione delimitata da queste quattro linee che è anche un parallelo. Possiamo affermare che uno degli angoli del parallelogramma originale, in modo che i due parallelogrammi abbiano angoli uguali, è: (A) $30^{\circ }$ (B) $45^{\circ }$ (C) $60^{\circ }$ (D) $75^{\circ }$ (E) $90^{\circ }$

src_obm_2005_n3_f1__Q19

Classify (2+sqrt2)^3(3-sqrt2)^4 + (2-sqrt2)^3(3+sqrt2)^4

The number $(2+\sqrt{2}{)}^3(3-\sqrt{2}{)}^4+(2-\sqrt{2}{)}^3(3+\sqrt{2}{)}^4$ is: (A) an odd integer (B) an even integer (C) a non-integer rational (D) a positive irrational (E) a negative irrational

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

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Classifica (2+sqrt2) ^3(3-sqrt2) ^4 + (2-sqrt2) ^3(3+sqrt2)

Il numero $(2+\sqrt{2}{)}^3(3-\sqrt{2}{)}^4+(2-\sqrt{2}{)}^3(3+\sqrt{2}{)}^4$ è: (A) un numero intero imparato (B) un numero intero pari (C) un non intero razionale (D) un positivo irrazionale (E) un negativo irrazionale

src_obm_2005_n3_f1__Q20

Order three large/exotic powers A, B, C by size

Let $A=10^{(16/2005{)}^2}$, $B=2005^2$ and $C=2^{\sqrt{2005}}$. Then: (A) $A<B<C$ (B) $A<C<B$ (C) $B<A<C$ (D) $B<C<A$ (E) $C<A<B$

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze Abilita: Stima, Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

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Ordina tre grandi/esotiche potenze A, B, C per dimensioni

Per esempio, $A=10^{(16/2005{)}^2}$, $B=2005^2$ e $C=2^{\sqrt{2005}}$. Poi: (A) $A<B<C$ (B) $A<C<B$ (C) $B<A<C$ (D) $B<C<A$ (E) $C<A<B$

src_obm_2005_n3_f1__Q21

Bound total time over three road segments given average-speed ranges

A pilot covers three segments of a road, of lengths $240$ km, $300$ km and $400$ km, respectively. The average speeds on these three segments are between $40$ km/h, $75$ km/h and $80$ km/h. We can guarantee that the total time, in hours, spent by the pilot on the three segments is: (A) at least $13$ hours (B) at least $13$ hours and at most $18$ hours (C) at least $14$ hours and at most $18$ hours (D) at least $15$ hours and at most $18$ hours (E) at least $18$ hours

Topic: Teoria dei Numeri, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze Abilita: Stima, Lettura attenta, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

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Total time bound over three road segments given average speed ranges

Un pilota copre tre segmenti di strada, rispettivamente $240$ km, $300$ km e $400$ km. Le velocità medie su questi tre segmenti sono comprese tra $40$ km/h, $75$ km/h e $80$ km/h. Possiamo garantire che il tempo totale, in ore, trascorso dal pilota sui tre segmenti sia: (A) almeno $13$ ore (B) almeno $13$ ore e al massimo $18$ ore (C) almeno $14$ ore e al massimo $18$ ore (D) almeno $15$ ore e al massimo $18$ ore (E) almeno $18$ ore

src_obm_2005_n3_f1__Q22

Identify which pair is NOT ‘primanos’ (in a 3-term all-prime AP)

Two integer numbers are called $\text{primanos}$ when they belong to an arithmetic progression of three prime terms. For example, the numbers $41$ and $59$ are primanos, because they belong to the arithmetic progression $(41,47,53,59)$ which contains only prime numbers. Among the alternatives below, the two numbers that are $\text{not}$ primanos are: (A) $7$ and $11$ (B) $13$ and $53$ (C) $41$ and $131$ (D) $31$ and $43$ (E) $23$ and $41$

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Casework accurato, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

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*Identificare quale coppia NON è ‘primanos’ (in un AP a tre termini) *

Due numeri interi sono chiamati $\text{primanos}$ quando appartengono a una progressione aritmetica di tre termini primi. Ad esempio, i numeri $41$ e $59$ sono primani, perché appartengono alla progressione aritmetica $(41,47,53,59)$ che contiene solo numeri primi. Tra le alternative di seguito, i due numeri che sono $\text{not}$ primanos sono: (A) $7$ e $11$ (B) $13$ e $53$ (C) $41$ e $131$ (D) $31$ e $43$ (E) $23$ e $41$

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Count/timing of overlaps of clock hands within a day (statement garbled)

A clock has hands for hours, minutes and seconds. Considering the moments between $12$ hours and $1$ second and $23$ hours, $59$ minutes and $59$ seconds during which certain hands overlap, the answer is: (A) $1430$ (B) $1438$ (C) $1440$ (D) $1446$ (E) $1452$

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Conteggio Abilita: Modellizzazione, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Estratto/tradotto da verificare con la fonte.

*Conteggio/timamento delle sovrapposizioni di mani di orologio entro un giorno (dichiarazione distorta) *

Un orologio ha le mani per ore, minuti e secondi. Considerando i momenti tra $12$ ore e $1$ seconde e $23$ ore, $59$ minuti e $59$ secondi durante i quali alcune mani si sovrappongono, la risposta è: (A) $1430$ (B) $1438$ (C) $1440$ (D) $1446$ (E) $1452$

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Maximum number of Brazilian students in a class of 9 under grouping constraints (statement garbled)

An English teacher gives a private lesson to a class of $9$ students, of which at most two have the same age. The teacher knows that three students of the same nationality and of distinct ages can form a group, and she chooses students so that at most three of them have the same nationality. How many Brazilian students exist in the class? (A) $1$ (B) $2$ (C) $3$ (D) $4$ (E) $5$

Topic: Combinatoria, Logica Metodo: Principio dei cassetti, Casework Abilita: Casework accurato, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Estratto/tradotto da verificare con la fonte.

*Nombre massimo di studenti brasiliani in una classe di 9 con vincoli di raggruppamento (dichiarazione confusa) *

Un insegnante di inglese dà una lezione privata a una classe di studenti $9$, di cui al massimo due hanno la stessa età. L’insegnante sa che tre studenti della stessa nazionalità e di diverse età possono formare un gruppo, e sceglie gli studenti in modo che al massimo tre di loro abbiano la stessa nazionalità. Quanti studenti brasiliani ci sono nella classe? (A) $1$ (B) $2$ (C) $3$ (D) $4$ (E) $5$

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