Olimpíada Brasileira de Matemática 2005 — Nível 3 — Fase 2

Angle in regular pentagon with internal equilateral triangle point

In the figure, $ABCDE$ is a regular pentagon and $AEF$ is an equilateral triangle. Let $P$ be a point on segment $BF$, in the interior of $ABCDE$, such that the angle $\widehat{PEA}$ measures $12^{\circ }$, as shown in the figure below. Find the measure, in degrees, of angle $\widehat{PAC}$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Angolo in pentagono regolare con punto triangolare equilaterale interno

Nella figura, $ABCDE$ è un pentagono regolare e $AEF$ è un triangolo equilaterale. Il segmento $P$ deve essere un punto sul segmento $BF$, all’interno di $ABCDE$, in modo tale che l’angolo $\widehat{PEA}$ misura $12^{\circ }$, come mostrato nella figura seguente. Trova la misura, in gradi, dell’angolo $\widehat{PAC}$.

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Smallest positive integer multiple conditions modulo 5,7,9,11

Let $a$ be a positive integer such that $a$ is a multiple of $5$, $a+1$ is a multiple of $7$, $a+2$ is a multiple of $9$, and $a+3$ is a multiple of $11$. Determine the smallest value that $a$ can take.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

La più piccola cifra integrale positiva multiplice modulo 5,7,9,11

Che $a$ sia un intero positivo tale che $a$ sia un multiple di $5$, $a+1$ sia un multiple di $7$, $a+2$ sia un multiple di $9$, e $a+3$ sia un multiple di $11$. Determinare il valore più piccolo che $a$ può assumere.

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Area of fourth lot when quadrangular land divided into four lots

A quadrangular plot of land was divided into four smaller lots by two straight lines joining the midpoints of opposite sides of the plot. The areas of three of the lots are indicated in the figure (in square meters on the map): $250$, $200$, and $210$. What is the area of the fourth lot, represented by the shaded region in the figure?

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

L’area del quarto lotto quando il terreno quadrangolare è diviso in quattro lotti

Un terreno quadrangolare fu diviso in quattro lotti più piccoli da due linee rette che univano i punti di mezzo di lati opposti del terreno. Le aree di tre dei lotti sono indicate nella figura (in metri quadrati sulla mappa): $250$, $200$ e $210$. Qual è l’area del quarto lotto, rappresentato dalla regione ombrata nella figura?

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Functional equation f(x+f(y))=x+f(f(y)), find f(2005)

A function $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ satisfies $f(x+f(y))=x+f(f(y))$ for all real numbers $x$ and $y$. Given that $f(2)=8$, find the numerical value of $f(2005)$.

Topic: Insiemi e funzioni, Equazioni funzionali Metodo: Backward Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

*Equazione funzionale f(x+f(y))=x+f(f(y)), ritrovare f(2005) *

Una funzione $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ soddisfa $f(x+f(y))=x+f(f(y))$ per tutti i numeri reali $x$ e $y$. Poiché $f(2)=8$, trovare il valore numerico di $f(2005)$.

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Minimum questions to determine polynomial with positive integer coefficients

You want to determine a polynomial $p(x)$ with positive integer coefficients by asking questions of the form “What is the numerical value of $p(k)$?”, where $k$ is an integer of your choice. What is the minimum number of questions sufficient to guarantee that the polynomial is determined?

Topic: Algebra, Combinatoria Metodo: Backward, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta, Stima Area: Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Questioni minime per determinare polinomi con coefficienti interi positivi

Si desidera determinare un polinomio $p(x)$ con coefficienti interi positivi facendo domande della forma “Qual è il valore numerico di $p(k)$?”, dove $k$ è un intero di vostra scelta. Qual è il numero minimo di domande sufficiente a garantire che il polinomio sia determinato?

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All integer pairs (x,y) satisfying 9xy - x^2 - 8y^2 = 2005

Determine all pairs of integers $(x,y)$ such that $9xy-x^2-8y^2=2005$.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Tutte le coppie di numeri interi (x,y) che soddisfano 9xy - x^2 - 8y^2 = 2005

Determinare tutte le coppie di integri $(x,y)$ in modo tale che $9xy-x^2-8y^2=2005$.

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Cross-section of right prism with equilateral triangle base cut by plane

A prism is right and has an equilateral triangle as its base. A plane cuts the prism but does not cut any of its bases, determining a triangular cross-section with sides $a$, $b$, and $c$. Find the side of the base of the prism as a function of $a$, $b$, and $c$.

Topic: Geometria solida Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Sezione trasversale del prisma retto con base triangolare equilaterale tagliata a piano

Un prisma è retto e ha un triangolo equilaterale come base. Un piano taglia il prisma ma non taglia nessuna delle sue basi, determinando una sezione trasversale triangolare con lati $a$, $b$ e $c$. Trova il lato della base del prisma come funzione di $a$, $b$ e $c$.

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Ordered sequences of Flamengo results with 20 points, no defeat

In a soccer championship, each victory is worth three points, each draw is worth one point, and each defeat is worth zero points. It is known that Flamengo suffered no defeat and finished with $20$ points, but the number of games played is unknown. Representing a victory by $V$, a draw by $E$, and a defeat by $D$, two possibilities are $(V,E,V,E,V)$ and $(E,V,V,V,E,V)$. How many ordered sequences of results can Flamengo have obtained?

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Sequenze ordinate di Flamengo con 20 punti, nessuna sconfitta

In un campionato di calcio, ogni vittoria vale tre punti, ogni pareggio vale un punto e ogni sconfitta vale zero punti. È noto che il Flamengo non ha subito alcuna sconfitta e ha finito con $20$ punti, ma il numero di partite giocate è sconosciuto. Rappresentando una vittoria da $V$, un pareggio da $E$ e una sconfitta da $D$, due possibilità sono $(V,E,V,E,V)$ e $(E,V,V,V,E,V)$. Quante sequenze ordinate di risultati ha ottenuto Flamengo?

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Smallest possible maximum term of AP with six distinct prime terms

Determine the smallest possible value of the maximum term of an arithmetic progression with all six terms $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6$ being distinct positive prime numbers.

Curiosity: In the past, former Olympians Terence Tao (Australia, gold at IMO 1988) and Ben Green (United Kingdom, silver at IMO 1994) proved that there exist arbitrarily long arithmetic progressions with all terms prime. This question dates back to the eighteenth century and appears in the research of Lagrange and Waring.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Congruenze Abilita: Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Termino massimo minimo possibile di AP con sei termini primari distinti

Determinare il minimo valore possibile del termine massimo di una progressione aritmetica con tutti e sei i termini $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6$ che sono numeri primi positivi distinti.

In passato, gli ex olimpici Terence Tao (Australia, oro all’IMO 1988) e Ben Green (Regno Unito, argento all’IMO 1994) hanno dimostrato che esistono progressioni aritmetiche arbitrariamente lunghe con tutti i termini prim. Questa domanda risale al diciottesimo secolo e appare nella ricerca di Lagrange e Waring.

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