Olimpíada Brasileira de Matemática 2005 — Nível 3 — Fase 3

Palindrome products of repunit numbers

A natural number is called a palindrome if it reads the same forwards and backwards. For example, 481184, 131, and 2 are palindromes.

Find all pairs of positive integers $(m,n)$ such that $\underset{m\text{ ones}}{\underbrace{111\dots 1}}\cdot \underset{n\text{ ones}}{\underbrace{111\dots 1}}$ is a palindrome.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Prodotti palindromici di numero di punito

Un numero naturale si chiama palindromo se si legge lo stesso avanti e indietro. Ad esempio, 481184, 131 e 2 sono palindromi.

Trova tutte le coppie di integri positivi $(m,n)$ in modo tale che $\underset{m\text{ ones}}{\underbrace{111\dots 1}}\cdot \underset{n\text{ ones}}{\underbrace{111\dots 1}}$ sia un palindromo.

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Smallest constant C in symmetric power inequality for five variables

Find the smallest real number $C$ for which the inequality $C\left(x_1^{2005}+x_2^{2005}+x_3^{2005}+x_4^{2005}+x_5^{2005}\right)\ge x_1{x}_2{x}_3{x}_4{x}_5{\left(x_1^{125}+x_2^{125}+x_3^{125}+x_4^{125}+x_5^{125}\right)}^{16}$ holds for all positive real numbers $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$.

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

La minima costante C nell’inequità di potenza simmetrica per cinque variabili

Trova il numero reale più piccolo $C$ per il quale l’ineguaglianza $C\left(x_1^{2005}+x_2^{2005}+x_3^{2005}+x_4^{2005}+x_5^{2005}\right)\ge x_1{x}_2{x}_3{x}_4{x}_5{\left(x_1^{125}+x_2^{125}+x_3^{125}+x_4^{125}+x_5^{125}\right)}^{16}$ si applica a tutti i numeri reali positivi $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$.

src_obm_2005_n3_f3__Q02

Largest square fitting inside a unit cube

We say that a square is contained in a cube if all of its points lie on the faces or in the interior of the cube. Find the largest value $\ell >0$ such that there exists a square of side $\ell$ contained in a cube of edge length $1$.

Topic: Geometria solida Metodo: Estremalità, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Stima Area: Geometria Fonte: apri PDF

L’apparecchio quadrato più grande all’interno di un cubo unitario

Diciamo che un quadrato è contenuto in un cubo se tutti i suoi punti si trovano sulle facce o all’interno del cubo. Trova il valore più grande $\ell >0$ tale che esista un quadrato di lato $\ell$ contenuto in un cubo di lunghezza di bordo $1$.

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Minimum trials to guarantee radio works with unknown batteries

We have four charged batteries, four uncharged batteries, and a radio that requires two charged batteries to work. Suppose we do not know which batteries are charged and which are uncharged. Find the minimum number of trials sufficient to guarantee that the radio functions, where a trial consists of placing two batteries in the radio and checking whether it works.

Topic: Combinatoria, Logica Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Casework accurato, Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Minimum di prove per garantire la radiooperazione con batterie sconosciute

Abbiamo quattro batterie cariche, quattro non cariche e una radio che richiede due batterie cariche per funzionare. Supponiamo di non sapere quali batterie sono cariche e quali non. Trovare il numero minimo di prove sufficiente a garantire il funzionamento della radio, in cui una prova consiste nel posizionare due batterie nella radio e verificare se funziona.

src_obm_2005_n3_f3__Q04

Euler lines of three sub-triangles at Fermat point are concurrent

Let $ABC$ be an acute triangle and $F$ its Fermat point, that is, the interior point of triangle $ABC$ such that the three angles $\widehat{AFB}$, $\widehat{BFC}$, and $\widehat{CFA}$ each measure $120^{\circ }$. For each of the triangles $ABF$, $ACF$, and $BCF$, trace its Euler line (the line joining its circumcenter and its centroid). Prove that these three lines are concurrent.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Le linee di Euler di tre subtriangoli al punto Fermat sono simultanee

Che $ABC$ sia un triangolo acuto e $F$ il suo punto Fermat, cioè il punto interno del triangolo $ABC$ in modo tale che i tre angoli $\widehat{AFB}$, $\widehat{BFC}$ e $\widehat{CFA}$ misurino $120^{\circ }$. Per ciascuno dei triangoli $ABF$, $ACF$ e $BCF$, tracciare la sua linea di Euler (la linea che unisce il suo circoncentro e il suo centroide). Prove che queste tre linee sono contemporanee.

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Existence of positive integer x with a^x + x ≡ b (mod c)

Given positive integers $a$ and $c$ and an integer $b$, prove that there exists a positive integer $x$ such that $a^x+x\equiv b(\mathrm{mod}c),$ that is, there exists a positive integer $x$ such that $c$ divides $a^x+x-b$.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Congruenze, Induzione, Ricorsione Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Astrazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

*Esistenza di un intero positivo x con a^x + x b (mod c) *

Dato un intero positivo $a$ e $c$ e un intero $b$, dimostrare che esiste un intero positivo $x$ tale che $a^x+x\equiv b(\mathrm{mod}c),$, cioè esiste un intero positivo $x$ tale che $c$ divide $a^x+x-b$.

src_obm_2005_n3_f3__Q06