Olimpíada Brasileira de Matemática 2005 — Nível Universitário — Fase 1

Find area of triangle formed by tangent lines to cubic

Let $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ defined by $f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$, where $a$, $b$, $c$ are integers. It is known that $f(1)=f(-1)=0$. The tangent lines to the graph of $f$ at the points $A=(-1,0)$ and $B=(1,0)$ intersect at point $C$. Compute the area of triangle $ABC$, knowing that this area is an integer.

Topic: Algebra, Geometria analitica Metodo: Coordinate, skill_manipolazione_algebrica Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Geometria Fonte: apri PDF

Ricerca l’area del triangolo formato da linee tangenti a cubo

$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ definito da $f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$, dove $a$, $b$, $c$ sono numeri interi. È noto che $f(1)=f(-1)=0$. Le linee tangenti al grafico di $f$ nei punti $A=(-1,0)$ e $B=(1,0)$ si incrociano al punto $C$. Calcolare l’area del triangolo $ABC$, sapendo che quest’area è un numero intero.

src_obm_2005_nu_f1__Q01

Evaluate a definite integral involving ln(1+tg x)

Compute the integral ${\int }_0^{\pi /4}\ln (1+\tan x)dx.$

Topic: Insiemi e funzioni Metodo: Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

*Evaluare un’integrale definita che coinvolge ln(1+tg x) *

Calcolare l’integrale ${\int }_0^{\pi /4}\ln (1+\tan x)dx.$

src_obm_2005_nu_f1__Q02

Maximize volume of tetrahedron inscribed in an ellipsoid

Find the largest possible volume of a tetrahedron inscribed in the ellipsoid with equation $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{16}+\frac{z^2}{25}=1.$

Topic: Geometria solida, Disuguaglianze Metodo: Estremalità, Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Stima Area: Geometria, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Maximizzare il volume del tetraedro inciso in un ellissoide

Trova il più grande volume possibile di un tetraedro inserito nell’ellipsoide con l’equazione $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{16}+\frac{z^2}{25}=1.$

src_obm_2005_nu_f1__Q03

Real square matrices satisfying (A+B)^k = A^k + B^k for all positive integers k

Let $A$ and $B$ be real square matrices of the same dimension such that, for every positive integer $k$, $(A+B{)}^k=A^k+B^k.$ Prove that if $A$ is invertible then $B$ is the zero matrix.

Topic: Algebra Metodo: Induzione, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Matrici quadrate reali che soddisfano (A+B) ^ k = A^k + B^k per tutti gli integri positivi k

Lasciate che $A$ e $B$ siano matrici quadrate reali della stessa dimensione in modo tale che, per ogni intero positivo $k$, $(A+B{)}^k=A^k+B^k.$ dimostri che se $A$ è invertibile allora $B$ è la matrice zero.

src_obm_2005_nu_f1__Q04

Find all alpha making a cosine matrix have zero determinant

Determine all values of $\alpha$ for which the matrix $A=(a_{ij}{)}_{n\times n}$, defined by $a_{ij}=\cos ((i-1)\cdot j\alpha ),$ for $1\le i,j\le n$, has determinant equal to zero.

Topic: Algebra Metodo: Fattorizzazione, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Trova tutte le alfa che fanno una matrice cosina hanno determinante zero

Determinare tutti i valori di $\alpha$ per i quali la matrice $A=(a_{ij}{)}_{n\times n}$, definita da $a_{ij}=\cos ((i-1)\cdot j\alpha ),$ per $1\le i,j\le n$, ha determinante uguale a zero.

src_obm_2005_nu_f1__Q05

Prove fewer than 2005 distinct 27th powers with n digits exist for any digit permutation

Prove that there exist fewer than 2005 distinct 27th powers (i.e., numbers of the form $n^{27}$, where $n$ is a positive integer), all having the same number of digits, such that any one of them can be obtained from any other by a permutation of its digits.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Conteggio, Estremalità Abilita: Stima, Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Prove che per qualsiasi permutazione di cifre esistono meno di 27 potenze distinte del 2005 con n cifre

Prove che esistono meno di 27 potenze distinte del 2005 (cioè numeri della forma $n^{27}$, dove $n$ è un numero intero positivo), tutti con lo stesso numero di cifre, in modo che uno di essi possa essere ottenuto da qualsiasi altro mediante una permutazione delle sue cifre.

src_obm_2005_nu_f1__Q06