Olimpíada Brasileira de Matemática 2005 — Nível Universitário — Fase 2

Count possible determinant values of matrix satisfying cubic equation

Determine, as a function of $n$, the number of possible values for the determinant of $A$, given that $A$ is a real $n\times n$ matrix such that $A^3-A^2-3A+2I=0$, where $I$ denotes the $n\times n$ identity matrix and $0$ denotes the $n\times n$ zero matrix.

Topic: Algebra Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Astrazione Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Contare possibili valori determinanti di matrice che soddisfano l’equazione cubica

Determinare, come funzione di $n$, il numero di valori possibili per il determinante di $A$, dato che $A$ è una matrice $n\times n$ reale, tale che $A^3-A^2-3A+2I=0$, dove $I$ indica la matrice di identità $n\times n$ e $0$ indica la matrice zero $n\times n$.

src_obm_2005_nu_f2__Q01

Prove a sequence of integrals is increasing and divergent

Let $f$ and $g$ be distinct continuous functions from $[0,1]$ to $(0,+\infty )$ such that ${\int }_0^{1}f(x)dx={\int }_0^{1}g(x)dx$. For $n\ge 0$, define $y_n={\int }_0^1\frac{f(x{)}^{n+1}}{g(x{)}^n}dx.$ Prove that the sequence $(y_n{)}_{n\ge 0}$ is increasing and divergent.

Topic: Insiemi e funzioni, Algebra Metodo: Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Prove che una sequenza di integrali è crescente e divergente

Lasciate che $f$ e $g$ siano funzioni continue distinte da $[0,1]$ a $(0,+\infty )$ in modo tale che ${\int }_0^{1}f(x)dx={\int }_0^{1}g(x)dx$. Per $n\ge 0$, definire $y_n={\int }_0^1\frac{f(x{)}^{n+1}}{g(x{)}^n}dx.$ Prove che la sequenza $(y_n{)}_{n\ge 0}$ è in aumento e divergente.

src_obm_2005_nu_f2__Q02

Find permutation bounding all partial vector sums by sqrt(5)

Let $v_1,v_2,\dots ,v_n$ be vectors in ${\mathbb{R}}^2$ such that $|v_i|\le 1$ for $1\le i\le n$ and ${\sum }_{i=1}^n{v}_i=0$. Prove that there exists a permutation $\sigma$ of $\{1,2,\dots ,n\}$ such that $\left|{\sum }_{j=1}^k{v}_{\sigma (j)}\right|\le \sqrt{5}$ for every $k$ with $1\le k\le n$. (Note: if $v=(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$, then $|v|=\sqrt{x^2+y^2}$ denotes the Euclidean norm of $v$.)

Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Astrazione, Ragionamento geometrico, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF

*Ricerca la permutazione che limita tutte le somme parziali dei vettori da sqrt(5) *

$v_1,v_2,\dots ,v_n$ siano vettori in ${\mathbb{R}}^2$ tali da $|v_i|\le 1$ per $1\le i\le n$ e ${\sum }_{i=1}^n{v}_i=0$. Prova che esiste una permutazione $\sigma$ di $\{1,2,\dots ,n\}$ tale che $\left|{\sum }_{j=1}^k{v}_{\sigma (j)}\right|\le \sqrt{5}$ per ogni $k$ con $1\le k\le n$. (Nota: se $v=(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$, allora $|v|=\sqrt{x^2+y^2}$ indica la norma euclidica di $v$.)

src_obm_2005_nu_f2__Q03

Prove convergence of series involving a recursively defined sequence

Consider the sequence $(a_n{)}_{n\ge 1}$ defined by $a_1=1$, $a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n^{2005}}$, for all $n\ge 1$. Prove that the series $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n\cdot a_n}$ converges.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Telescoping, Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Prova la convergenza di serie che coinvolgono una sequenza definita in modo ricorrente

Si consideri la sequenza $(a_n{)}_{n\ge 1}$ definita da $a_1=1$, $a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n^{2005}}$, per tutte le $n\ge 1$. Provare che la serie $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n\cdot a_n}$ converge.

src_obm_2005_nu_f2__Q04

Prove that sum of 1/n^n equals integral of x^{-x}

Prove that ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^n}={\int }_0^1{x}^{-x}dx.$

Topic: Algebra, Insiemi e funzioni Metodo: Ricorsione Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Prove che la somma di 1/n^n è uguale all’integrale di x

Provare che ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^n}={\int }_0^1{x}^{-x}dx.$

src_obm_2005_nu_f2__Q05

Prove invertibility of binomial coefficient matrix for two index sequences

Prove that for any non-negative integers $0\le i_1<i_2<\cdots <i_k$ and $0\le j_1<j_2<\cdots <j_k$, the $k\times k$ matrix $A=(a_{rs}{)}_{1\le r,s\le k}$ defined by $a_{rs}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{i_r+j_s}{i_r}\right)=\frac{(i_r+j_s)!}{i_r!j_s!},1\le r,s\le k,$ is invertible.

Topic: Combinatoria, Algebra Metodo: Induzione, Doppio conteggio Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Prove l’inversibilità della matrice di coefficienti binomiali per due sequenze di indici

Prove che per tutti gli integri non negativi $0\le i_1<i_2<\cdots <i_k$ e $0\le j_1<j_2<\cdots <j_k$, la matrice $k\times k$ $A=(a_{rs}{)}_{1\le r,s\le k}$ definita da $a_{rs}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{i_r+j_s}{i_r}\right)=\frac{(i_r+j_s)!}{i_r!j_s!},1\le r,s\le k,$ è invertibile.

src_obm_2005_nu_f2__Q06