Olimpíada Brasileira de Matemática 2006 — Nível 1 — Fase 2

Sum of digits of a 101-digit number with 0s and 1s

The number $N=10100100100101\dots$ contains only the digits $0$ and $1$, with the property that between two consecutive digits $1$ there is alternately one or two zeros. The number $N$ has exactly $101$ digits. What is the sum of all digits of $N$?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Summa di numeri a 101 cifre con 0s e 1s

Il numero $N=10100100100101\dots$ contiene solo le cifre $0$ e $1$, con la proprietà che tra due cifre consecutive $1$ ci sono alternativamente uno o due zero. Il numero $N$ ha esattamente $101$ cifre. Qual è la somma di tutte le cifre di $N$?

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Area of shaded region after folding a 20×15 cm sheet

A sheet of paper is $20\text{cm}$ long and $15\text{cm}$ wide. We fold the sheet along its length. We then make a double rectangular fold so that two opposite vertices coincide. When unfolded, the creases of the second fold divide the sheet into two parts, as shown in the figure. What is the area of the shaded part, in ${\text{cm}}^2$?

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

*L’area di regione ombrata dopo il ripiegamento di un foglio da 20 cm ×15 cm *

Un foglio di carta è lungo $20\text{cm}$ e largo $15\text{cm}$. Pieghiamo il foglio lungo la sua lunghezza. Quindi facciamo una doppia piega rettangolare in modo che due vertici opposti coincidano. Una volta svolto, le pieghe del secondo piego dividono il foglio in due parti, come mostrato nella figura. Qual è la superficie della parte ombrata, in ${\text{cm}}^2$?

src_obm_2006_n1_f2__Q02

Find A/223 from a telescoping sum pattern

Observe the following equalities: $1=1$ $1+2+1=4$ $1+2+3+2+1=9$ $1+2+3+4+3+2+1=16$ $⋮$ $1+2+3+\cdots +2006+2007+2006+\cdots +3+2+1=A$

What is the value of $\frac{A}{223}$?

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Telescoping Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca A/223 da un modello di somma telescopica

Osservare le seguenti equazioni: $1=1$ $1+2+1=4$ $1+2+3+2+1=9$ $1+2+3+4+3+2+1=16$ $⋮$ $1+2+3+\cdots +2006+2007+2006+\cdots +3+2+1=A$

Qual è il valore di $\frac{A}{223}$?

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Perimeter of original cardboard before diagonal cuts yielding perimeter 129

A rectangular cardboard sheet is cut along its diagonal. From the remaining pieces, two right triangles are formed by cuts parallel to the shorter sides of each triangle. In the end, a rectangle with perimeter $129\text{cm}$ remains. The figure below shows the sequence of cuts.

In centimetres, what is the perimeter of the original sheet before the cuts?

Topic: Geometria piana, Teoria dei Numeri Metodo: Backward Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Lettura attenta Area: Geometria, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Perimetro del cartone originale prima dei tagli diagonali con il perimetro 129

Un foglio di cartone rettangolare è tagliato lungo la sua diagonale. Dai pezzi rimanenti, due triangoli rettangolari sono formati da tagli paralleli ai lati più brevi di ciascun triangolo. Alla fine rimane un rettangolo con perimetro $129\text{cm}$. La figura seguente mostra la sequenza dei tagli.

In centimetri, qual è il perimetro del foglio originale prima dei tagli?

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Water height in cubic tank after placing 25 wooden blocks

A cubic reservoir has internal side length $2\text{m}$ and contains water up to half its height. Into the reservoir are placed $25$ rectangular wooden blocks, each with dimensions $20\times 50\times 160\text{cm}$. Knowing that $80\%$ of the volume of each block remains submerged in the water, calculate, in centimetres, the height reached by the water in the reservoir.

Topic: Geometria solida, Teoria dei Numeri Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica Area: Geometria, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Altazza dell’acqua nel serbatoio cubico dopo aver collocato 25 blocchi di legno

Un serbatoio cubo ha una lunghezza laterale interna $2\text{m}$ e contiene acqua fino alla metà della sua altezza. Nel serbatoio sono inseriti blocchi di legno rettangolari $25$, ciascuno delle quali ha dimensioni $20\times 50\times 160\text{cm}$. Sapendo che $80\%$ del volume di ciascun blocco rimane immerso nell’acqua, calcolare, in centimetri, l’altezza raggiunta dall’acqua nel serbatoio.

src_obm_2006_n1_f2__Q05

Find a^b after correcting one digit in a wrong addition

The following addition is incorrect. However, if we replace only one digit $a$ wherever it appears with another digit $b$, the addition becomes correct. What is the value of $a^b$? $\begin{array}{r}742586\\ +829430\\ 1212016\end{array}$

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Lettura attenta, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca a^b dopo aver corretto una cifra in un’aggiunta sbagliata

L’aggiunta seguente non è corretta. Tuttavia, se si sostituisce solo una cifra $a$ ovunque appare con un’altra cifra $b$, l’aggiunta diventa corretta. Qual è il valore di $a^b$? $\begin{array}{r}742586\\ +829430\\ 1212016\end{array}$

src_obm_2006_n1_f2__Q06

Areas of triangles ABF and ADF in square with midpoint and line

The area of square $ABCD$ is $300{\text{cm}}^2$. In the figure, $M$ is the midpoint of $CD$ and the point $F$ lies on line $BC$.

a) What is the area of triangle $ABF$?

b) What is the area of triangle $ADF$?

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Aree di triangoli ABF e ADF in quadrato con punto medio e linea

L’area quadrata $ABCD$ è $300{\text{cm}}^2$. Nella figura $M$ è il punto medio di $CD$ e il punto $F$ si trova sulla linea $BC$.

a) Qual è la superficie del triangolo $ABF$?

b) Qual è la superficie del triangolo $ADF$?

src_obm_2006_n1_f2__Q07

Maximum number of distinct total masses from six discs of 1–6 kg

Esmeralda bought six iron discs to use with a gymnastics apparatus. The discs have masses $1,2,3,4,5,$ and $6$ kilograms, respectively. Esmeralda can combine them to obtain other masses; for example: $1\text{ disc of }2\text{kg}+1\text{ disc of }6\text{kg}=8\text{kg}.$ What is the greatest number of different masses she can obtain?

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Nombre massimo di masse totali distinte da sei dischi di 16 kg

Esmeralda ha comprato sei dischi di ferro da usare con un apparecchio di ginnastica. I dischi hanno massa $1,2,3,4,5,$ e $6$ chilogrammi, rispettivamente. Esmeralda può combinarli per ottenere altre masse; ad esempio: $1\text{ disc of }2\text{kg}+1\text{ disc of }6\text{kg}=8\text{kg}.$ Qual è il maggior numero di masse diverse che può ottenere?

src_obm_2006_n1_f2__Q08

Diagonal sums in a 10×10 grid; sum mod 100 for diagonal 2007

Consider a $10\times 10$ grid in which each cell in row $i$ (from the top, $i=0,1,\dots ,9$) and column $j$ (from the left, $j=0,1,\dots ,9$) contains the value $(i+j)\mathrm{mod}10$. The diagonals are numbered $1,2,3,\dots$ as indicated in the figure.

a) What is the sum of the elements of diagonal $9$?

b) What is the remainder when the sum of the elements of diagonal $2007$ is divided by $100$?

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Conteggio, Congruenze, Ricorsione Abilita: Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Summa diagonale in una griglia di 10×10; somma mod 100 per la diagonale 2007

Considera una griglia $10\times 10$ in cui ogni cella della riga $i$ (da sopra, $i=0,1,\dots ,9$) e della colonna $j$ (da sinistra, $j=0,1,\dots ,9$) contiene il valore $(i+j)\mathrm{mod}10$. Le diagonali sono numerate $1,2,3,\dots$ come indicato nella figura.

a) Qual è la somma degli elementi della diagonale $9$?

b) Qual è il rimanente quando la somma degli elementi di diagonale $2007$ è divisa da $100$?

src_obm_2006_n1_f2__Q09