Two digit-shifting sequences: find terms, last term, period
Consider the following sequences.
: , in which the units digit of one term becomes the leftmost digit of the next term (the units digit shifts to the front).
: , in which the units digit of one term becomes the leftmost digit of the next term, and the tens digit of one term becomes the second digit from the left of the next term.
(a) Find the fifth term of and the fourth term of .
(b) The sequence has terms. What is the last term?
(c) The sequence terminates when the first term repeats. How many terms does have?
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Invarianti, skill_riconoscimento_pattern Abilita: Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF
Sequenze di spostamento a due cifre: trovare termini, ultimo termine, periodo
Considerate le seguenti sequenze.
: , in cui la cifra di unità di un termine diventa la cifra più sinistra del termine successivo (la cifra di unità si sposta in avanti).
: , in cui la cifra unità di un termine diventa la cifra più sinistra del termine successivo, e la cifra decina di un termine diventa la seconda cifra dalla sinistra del termine successivo.
(a) Trovare il quinto termine di e il quarto termine di .
b) La sequenza ha i termini . Qual è l’ultimo termine?
c) La sequenza termina quando si ripete il primo termine. Quanti termini ha?
Cryptarithmetic addition: find value of each symbol
In the addition below, each symbol represents a unique digit and different symbols represent different digits.
Determine the value of each symbol; that is, find these values and show that no other possibilities exist.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Casework accurato, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF
Aggregazione aritmetica dei criptogrammi: trovare il valore di ogni simbolo
Nell’aggiunta di seguito, ogni simbolo rappresenta una cifra unica e diversi simboli rappresentano diversi numeri.
Determinare il valore di ciascun simbolo; cioè trovare questi valori e dimostrare che non esistono altre possibilità.
Dartboard scoring: count distinct scores with 2 arrows, then participants with 3 arrows
An archer shoots arrows at the target shown on the right. The numbers indicate the score obtained in each region hit by an arrow (if the arrow hits a line exactly, the score is the lesser of the two adjacent regions). Note that the rectangle region scores points.
The target has concentric circular regions scored , , , , from outermost to innermost circle (with the rectangle worth ).
(a) In a competition, each participant shoots arrows. How many different total scores can be obtained?
(b) In another competition, each participant shoots arrows. Curiously, there were no ties and all possible scores were achieved. How many participants were there in this competition?
Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF
Punto di scorciatura: contare i punteggi distinti con 2 frecce, quindi i partecipanti con 3 frecce
Un arciere tira frecce al bersaglio mostrato a destra. I numeri indicano il punteggio ottenuto in ogni regione colpita da una freccia (se la freccia colpisce esattamente una linea, il punteggio è il minore delle due regioni adiacenti). Si noti che la regione rettangolare punta punti.
L’obiettivo ha regioni circolari concentriche con punteggi , , , , dal cerchio più esterno al cerchio più interno (con il rettangolo di valore ).
(a) In una competizione, ogni partecipante spara frecce . Quanti punti totali possono essere ottenuti?
b) In un’altra gara, ogni partecipante sparerà frecce . Curiosamente, non ci sono stati rapporti e tutti i punteggi possibili sono stati raggiunti. Quanti partecipanti c’erano in questa competizione?
Maximum collinear vertices of a 12-gon; prove optimality
Among the polygons with sides, the maximum number of vertices that are collinear (lying on a single straight line) is three, as shown in the figure.
What is the maximum number of collinear vertices that a polygon with sides can have?
\textbf{Note:} besides drawing a -gon with the maximum number of collinear vertices, remember to show that no other -gon can have more collinear vertices than this one.
Topic: Geometria piana, Combinatoria Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Stima Area: Geometria, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF
Vincenti collineari massimi di un 12-gon; dimostrare l’ottimalità
Tra i poligoni con lati , il numero massimo di vertici collineari (legati su una singola linea retta) è di tre, come mostrato nella figura.
Qual è il numero massimo di vertici collineari che un poligono con lati può avere?
\textbf{Nota:} oltre a disegnare un -gon con il numero massimo di vertici collineari, ricorda di mostrare che nessun altro -gon può avere più vertici collineari di questo.
Sliding pieces on grid: minimum moves to swap two circular and two square pieces
Starting from the board shown in Figure 1, with four pieces — two circular gray pieces and two black square pieces — Esmeraldinho invented the following game:
\begin{itemize} \item Initially the pieces are placed on the board as shown in Figure 1. \item The goal of the game is, after a certain number of moves, to swap the positions of the pieces, reaching the situation shown in Figure 2. \item Each move consists of moving one of the four pieces one or more squares up, down, left, or right; however, a piece may not \emph{jump over} any piece that is eventually in its path, nor occupy a square where there is already a piece. For example, the piece marked \textbf{A} can only be moved to the highlighted squares in the small diagram. \item Moves of circles and squares alternate. The game starts with a move of one of the squares. \end{itemize}
Determine the minimum total number of moves needed to finish the game. Show, step by step, how to move the pieces with this number of moves, and prove that it is not possible to finish the game with fewer moves.
Topic: Combinatoria, Logica Metodo: Invarianti, Backward, Casework Abilita: Modellizzazione, Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico, Stima Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF
Piani scorrevoli sulla griglia: movimenti minimi per scambiare due pezzi circolari e due pezzi quadrati
Partendo dalla tavola mostrata nella Figura 1, con quattro pezzi due pezzi grigie circolari e due pezzi quadrati neri Esmeraldinho inventò il seguente gioco:
\begin{itemize} \item Inizialmente i pezzi vengono posizionati sulla lavagna come mostrato alla Figura 1. \item L’obiettivo del gioco è, dopo un certo numero di mosse, scambiare le posizioni dei pezzi, raggiungendo la situazione mostrata nella Figura 2. \item Ogni movimento consiste nel spostare uno o più quadrati tra i quattro pezzi verso l’alto, verso il basso, verso la sinistra o verso la destra; tuttavia, un pezzo non può \emph{jump over} alcun pezzo che alla fine si trova nel suo percorso, né occupare un quadrato dove c’è già un pezzo. Ad esempio, il pezzo segnato \textbf{A} può essere spostato solo nei quadrati evidenziati nel piccolo diagramma. \item Movimenti di cerchi e quadrati alternati. La partita inizia con una mossa di uno dei quadrati. # Finire #
Determinare il numero minimo di mosse necessarie per finire la partita. Mostrate, passo dopo passo, come spostare i pezzi con questo numero di mosse, e dimostrate che non è possibile finire la partita con meno mosse.