Olimpíada Brasileira de Matemática 2006 — Nível 2 — Fase 1

Expression with powers of 2, count digits

Performing the operations indicated in the expression $\frac{2^{2005}+2^{2005}}{2^{2006}+2^{2005}}\times 2006$ we obtain a number of four digits. Which of the following is one of the digits of this number?

A) 4 \quad B) 5 \quad C) 6 \quad D) 7 \quad E) 8

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: B Fonte: apri PDF

Espressione con potenze di 2, conteggio di cifre

Eseguendo le operazioni indicate nell’espressione $\frac{2^{2005}+2^{2005}}{2^{2006}+2^{2005}}\times 2006$ otteniamo un numero di quattro cifre. Quale delle seguenti cifre è uno di questi numeri?

**A) ** 4 \quad **B) ** 5 \quad **C) ** 6 \quad **D) ** 7 \quad **E) ** 8

Risposta: B src_obm_2006_n2_f1__Q01

Two rectangular strips of paper overlapping, find perimeter of figure

Two rectangular strips of paper are given: one $20\text{cm}$ long and $5\text{cm}$ wide, and another $20\text{cm}$ long and $11\text{cm}$ wide. One is folded over the other perpendicularly to form the figure shown. The perimeter of this figure, in centimetres, is:

A) 50 \quad B) 60 \quad C) 80 \quad D) 100 \quad E) 120

Topic: Geometria piana Metodo: Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Risposta: C Fonte: apri PDF

*Due strisce rettangolari di carta che si sovrappongono, trovare il perimetro della figura *

Sono fornite due strisce rettangolari di carta: una lunga $20\text{cm}$ e larga $5\text{cm}$, e un’altra lunga $20\text{cm}$ e larga $11\text{cm}$. Uno è piegato perpendicolare sull’altro per formare la figura mostrata. Il perimetro di questa figura, in centimetri, è:

**A) ** 50 \quad **B) ** 60 \quad **C) ** 80 \quad **D) ** 100 \quad **E) ** 120

Risposta: C src_obm_2006_n2_f1__Q02

Two-digit number, 5 times digit sum equals 6 times swapped digit sum

If a two-digit number is $5$ times the sum of its digits, then the number formed by swapping the two digits is $6$ times the sum of the digits multiplied by:

A) 3 \quad B) 5 \quad C) 6 \quad D) 4 \quad E) 7

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: A Fonte: apri PDF

Numero a due cifre, 5 volte la somma di 5 cifre equivale a 6 volte la somma di 6 cifre scambiata

Se un numero a due cifre è $5$ moltiplicato per la somma delle sue cifre, il numero formato dallo scambio delle due cifre è $6$ moltiplicato per la somma delle cifre:

**A) ** 3 \quad **B) ** 5 \quad **C) ** 6 \quad **D) ** 4 \quad **E) ** 7

Risposta: A src_obm_2006_n2_f1__Q03

Two friends cycling a loop in opposite directions, find wait time

Around a circular cycling track $45\text{km}$ long, one always returns to the starting point after going around the track once in a single direction. Two friends start from the same point with constant speeds of $20\text{km/h}$ and $25\text{km/h}$, travelling in opposite directions. When they meet for the first time, one was travelling at $20\text{km/h}$ and the other, who was travelling at $25\text{km/h}$, had decreased to $20\text{km/h}$ and then increased to $25\text{km/h}$. How long must the friend who arrives first at the starting point wait for the other?

A) none \quad B) 10 min \quad C) 12 min \quad D) 15 min \quad E) 18 min

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Modellizzazione, Lettura attenta, Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: C Fonte: apri PDF

Due amici che fanno un ciclo in direzioni opposte, trovano il tempo di attesa

In giro per una pista ciclabile circolare lunga $45\text{km}$ si ritorna sempre al punto di partenza dopo aver girato una volta la pista in una sola direzione. Due amici partono dallo stesso punto con velocità costanti di $20\text{km/h}$ e $25\text{km/h}$, viaggiando in direzioni opposte. Quando si incontrarono per la prima volta, uno stava viaggiando a $20\text{km/h}$ e l’altro, che stava viaggiando a $25\text{km/h}$, era diminuito a $20\text{km/h}$ e poi aumentato a $25\text{km/h}$. Quanto tempo deve aspettare l’amico che arriva per primo al punto di partenza?

**A) ** none \quad **B) ** 10 min \quad **C) ** 12 min \quad **D) ** 15 min \quad **E) ** 18 min

Risposta: C src_obm_2006_n2_f1__Q04

Isosceles triangle with angle BAD=30 degrees, find angle x

In the figure, $AB=AC$, $AE=AD$, and the angle $BAD=30^{\circ }$. Then the angle $x$ measures:

A) $10^{\circ }$ \quad B) $20^{\circ }$ \quad C) $15^{\circ }$ \quad D) $30^{\circ }$ \quad E) $5^{\circ }$

Topic: Geometria piana Metodo: Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Risposta: C Fonte: apri PDF

Triangolo isosceles con angolo BAD=30 gradi, trovare angolo x

Nella figura, $AB=AC$, $AE=AD$ e l’angolo $BAD=30^{\circ }$. Poi l’angolo $x$ misura:

**A) ** $10^{\circ }$ \quad **B) ** $20^{\circ }$ \quad **C) ** $15^{\circ }$ \quad **D) ** $30^{\circ }$ \quad **E) ** $5^{\circ }$

Risposta: C src_obm_2006_n2_f1__Q05

Sum of three consecutive naturals equals their product; find sum

The sum of three consecutive natural numbers equals the product of those three numbers. The sum of those numbers is:

A) 14 \quad B) 15 \quad C) 18 \quad D) 24 \quad E) 36

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: B Fonte: apri PDF

*La somma di tre naturali consecutivi è pari al loro prodotto; trovare la somma *

La somma di tre numeri naturali consecutivi è uguale al prodotto di questi tre numeri. La somma di questi numeri è:

**A) ** 14 \quad **B) ** 15 \quad **C) ** 18 \quad **D) ** 24 \quad **E) ** 36

Risposta: B src_obm_2006_n2_f1__Q06

Neto’s age in 2006 given his 1994 age and birth-year sum

At the end of 1994, Neto was half the age of his grandmother. The sum of their birth years is $3844$. In 2006, Neto will be:

A) 55 years \quad B) 56 years \quad C) 60 years \quad D) 62 years \quad E) 105 years

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: B Fonte: apri PDF

*L’età di Neto nel 2006 data la sua età e l’anno di nascita del 1994

Alla fine del 1994, Neto aveva la metà dell’età di sua nonna. La somma degli anni di nascita è $3844$. Nel 2006, Neto sarà:

**A) ** 55 anni \quad **B) ** 56 anni \quad **C) ** 60 anni \quad **D) ** 62 anni \quad **E) ** 105 anni

Risposta: B src_obm_2006_n2_f1__Q07

Three squares sharing vertices with two vertical bases, find angle x

Three squares share vertices with each other and with two vertical bases, as shown in the figure. The angles shown are $30^{\circ }$, $126^{\circ }$, and $75^{\circ }$. The measure of angle $x$ is:

A) $39^{\circ }$ \quad B) $41^{\circ }$ \quad C) $43^{\circ }$ \quad D) $44^{\circ }$ \quad E) $46^{\circ }$

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Risposta: B Fonte: apri PDF

Tre quadrati che condividono vertici con due basi verticali, trovare angolo x

Tre quadrati condividono vertici tra loro e con due basi verticali, come mostrato nella figura. Gli angoli mostrati sono $30^{\circ }$, $126^{\circ }$ e $75^{\circ }$. La misura dell’angolo $x$ è:

**A) ** $39^{\circ }$ \quad **B) ** $41^{\circ }$ \quad **C) ** $43^{\circ }$ \quad **D) ** $44^{\circ }$ \quad **E) ** $46^{\circ }$

Risposta: B src_obm_2006_n2_f1__Q08

Integer expression not representing 24

Let $a$, $b$, $c$ be positive integers. Among the options, the expression that cannot represent the number $24$ is:

A) $a{b}^3$ \quad B) $a^{3}b$ \quad C) $a^4{b}^3$ \quad D) $a{b}^2{c}^3$ \quad E) $a^4{b}^3{c}^4$

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: C Fonte: apri PDF

espressione integrale non rappresentante 24

Lasciate che $a$, $b$, $c$ siano numeri interi positivi. Tra le opzioni, l’espressione che **non può ** rappresentare il numero $24$ è:

**A) ** $a{b}^3$ \quad **B) ** $a^{3}b$ \quad **C) ** $a^4{b}^3$ \quad **D) ** $a{b}^2{c}^3$ \quad **E) ** $a^4{b}^3{c}^4$

Risposta: C src_obm_2006_n2_f1__Q09

Count squares constructible from dot grid

The number of squares that can be constructed with vertices on the points of the figure below (a $4\times 4$ array of dots arranged so that each row has 4 dots and there are 4 rows):

A) 18 \quad B) 14 \quad C) 9 \quad D) 20 \quad E) 10

Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: A Fonte: apri PDF

Quadrati di conteggio costruiti dalla griglia a punti

Il numero di quadrati che possono essere costruiti con vertici sui punti della figura seguente (un array $4\times 4$ di punti disposti in modo che ogni riga abbia 4 punti e ci siano 4 righe):

**A) ** 18 \quad **B) ** 14 \quad **C) ** 9 \quad **D) ** 20 \quad **E) ** 10

Risposta: A src_obm_2006_n2_f1__Q10

Logic puzzle: six friends, two per transport, deduce who rides what

Six friends plan to travel and do so in pairs, each pair using a different mode of transport: plane, train, and car. Alexandre accompanies Bento. André travels by plane. Dário does not use the train. Tomás does not travel by plane or train. Which of the following statements is correct?

A) Bento travels by car and Carlos travels by plane. B) Dário and Carlos travel by car. C) Tomás travels by plane and André travels by plane. D) Alexandre travels by train and Tomás travels by car. E) André travels by train and Alexandre travels by car.

Topic: Logica, Combinatoria Metodo: Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: D Fonte: apri PDF

Puzzle logico: sei amici, due per trasporto, dedurre chi cavalca cosa

Sei amici pianificano di viaggiare in coppia, ognuno utilizzando un mezzo di trasporto diverso: aereo, treno e auto. Alexandre accompagna Bento. André viaggia in aereo. Dário non usa il treno. Tomás non viaggia in aereo o in treno. Quale delle seguenti affermazioni è corretta?

Bento viaggia in macchina e Carlos viaggia in aereo. Dário e Carlos viaggiano in auto. **C) ** Tomás viaggia in aereo e André viaggia in aereo. **D) ** Alexandre viaggia in treno e Tomás in auto. André viaggia in treno e Alexandre in auto.

Risposta: D src_obm_2006_n2_f1__Q11

Ratio of area of equilateral triangle to regular hexagon with same perimeter

An equilateral triangle and a regular hexagon have the same perimeter. The ratio of the area of the triangle to the area of the hexagon is:

A) $\frac{1}{2}$ \quad B) $1$ \quad C) $\frac{2}{3}$ \quad D) $\frac{3}{2}$ \quad E) $\frac{1}{3}$

Topic: Geometria piana Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: C Fonte: apri PDF

Ratio di superficie di triangolo equilaterale a esagono regolare con lo stesso perimetro

Un triangolo equilaterale e un esagono regolare hanno lo stesso perimetro. Il rapporto tra l’area del triangolo e l’area dell’esagono è:

**A) ** $\frac{1}{2}$ \quad **B) ** $1$ \quad **C) ** $\frac{2}{3}$ \quad **D) ** $\frac{3}{2}$ \quad **E) ** $\frac{1}{3}$

Risposta: C src_obm_2006_n2_f1__Q12

GCD of all terms of sequence a_n = n^2 - n

The greatest common divisor of all the terms of the sequence $a_n=n^2-n$, for $n=1,2,3,\dots$, is:

A) 2 \quad B) 3 \quad C) 4 \quad D) 5 \quad E) 6

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: A Fonte: apri PDF

GCD di tutti i termini della sequenza a_n = n^2 - n

Il più grande divisore comune di tutti i termini della sequenza $a_n=n^2-n$, per $n=1,2,3,\dots$, è:

**A) ** 2 \quad **B) ** 3 \quad **C) ** 4 \quad **D) ** 5 \quad **E) ** 6

Risposta: A src_obm_2006_n2_f1__Q13

Samuel has 3 more brothers than sisters; siblings count

Samuel has three more brothers than sisters. The number of siblings (brothers and sisters) of Samila, Samuel’s sister, is equal to double the number of Samuel’s sisters. The number of children (boys and girls) that Samuel’s parents have is:

A) 10 \quad B) 13 \quad C) 16 \quad D) 17 \quad E) 20

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Modellizzazione Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: C Fonte: apri PDF

Samuel ha 3 fratelli in più di sorelle; fratelli contano

Samuel ha tre fratelli in più di sorelle. Il numero di fratelli (fratelli e sorelle) di Samila, sorella di Samuele, è pari al doppio del numero delle sorelle di Samuele. Il numero di figli (ragazzi e ragazze) che i genitori di Samuele hanno è:

**A) ** 10 \quad **B) ** 13 \quad **C) ** 16 \quad **D) ** 17 \quad **E) ** 20

Risposta: C src_obm_2006_n2_f1__Q14

Tangram with 5 triangles and 1 square, find shaded area

The figure below represents a Tangram (a Chinese puzzle) formed by $5$ triangles, $1$ parallelogram, and $1$ square. Given that the area of the Tangram is $64{\text{cm}}^2$, what is the area, in ${\text{cm}}^2$, of the shaded region?

A) 7.6 \quad B) 8 \quad C) 10.6 \quad D) 12 \quad E) 21.3

Topic: Geometria piana Metodo: Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Lettura attenta Area: Geometria Risposta: B Fonte: apri PDF

Tangramma con 5 triangoli e 1 quadrato, area ombrata

La figura di seguito rappresenta un Tangram (un puzzle cinese) formato da triangoli $5$, $1$ parallelo e $1$ quadrato. Dato che l’area del tangramma è $64{\text{cm}}^2$, quale è l’area, in ${\text{cm}}^2$, della regione ombreggiata?

**A) ** 7.6 \quad **B) ** 8 \quad **C) ** 10.6 \quad **D) ** 12 \quad **E) ** 21.3

Risposta: B src_obm_2006_n2_f1__Q15

João writes all 4-digit numbers using only digits 1 and 2; find sum

João writes all numbers of $4$ digits using only the digits $1$ and $2$, and then adds all of them. The value obtained is:

A) 2314 \quad B) 3000 \quad C) 1401 \quad D) 2316 \quad E) 1716

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Conteggio, Simmetria Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: B Fonte: apri PDF

João scrive tutti i numeri a 4 cifre utilizzando solo i numeri 1 e 2; trovare somma

João scrive tutti i numeri di cifre $4$ utilizzando solo le cifre $1$ e $2$, e poi le aggiunge tutte. Il valore ottenuto è:

**A) ** 2314 \quad **B) ** 3000 \quad **C) ** 1401 \quad **D) ** 2316 \quad **E) ** 1716

Risposta: B src_obm_2006_n2_f1__Q16

Triangle with sides a, b, c summing to 1; determine which inequality holds

Let $a$, $b$, $c$ be positive real numbers with $a+b+c=1$. If $a$, $b$, $c$ are the side lengths of a triangle, we can conclude that:

A) $0<|a-b|<\frac{1}{2}$ and $0<|b-c|<\frac{1}{2}$

B) $a<\frac{1}{2}$, $b<\frac{1}{2}$, $c<\frac{1}{2}$

C) $a+b<\frac{1}{2}$ and $c<a+b$

D) $a\le \frac{1}{2}$, $b\le \frac{1}{3}$, $c\le \frac{1}{3}$

E) $a\ge \frac{1}{3}$, $b\ge \frac{1}{3}$, $c\ge \frac{1}{3}$

Topic: Geometria piana, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria, Algebra e Analisi Risposta: B Fonte: apri PDF

*Triangolo con lati a, b, c sommati a 1; determinare quale disuguaglianza *

$a$, $b$, $c$ siano numeri reali positivi con $a+b+c=1$. Se $a$, $b$, $c$ sono le lunghezze laterali di un triangolo, possiamo concludere che:

**A) ** $0<|a-b|<\frac{1}{2}$ e $0<|b-c|<\frac{1}{2}$

B) $a<\frac{1}{2}$, $b<\frac{1}{2}$, $c<\frac{1}{2}$

**C) ** $a+b<\frac{1}{2}$ e $c<a+b$

D) $a\le \frac{1}{2}$, $b\le \frac{1}{3}$, $c\le \frac{1}{3}$

E) $a\ge \frac{1}{3}$, $b\ge \frac{1}{3}$, $c\ge \frac{1}{3}$

Risposta: B src_obm_2006_n2_f1__Q17

Count positive integer solutions to system a+b=c^2, a+b+c=30

The number of positive integer solutions of the system $\{\begin{array}{l}a+b=c^2\\ a+b+c=30\end{array}$ is:

A) 45 \quad B) 23 \quad C) 24 \quad D) 25 \quad E) 72

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: C Fonte: apri PDF

Contare soluzioni a numeri interi positivi per il sistema a+b=c^2, a+b+c=30

Il numero di soluzioni a numeri interi positivi del sistema $\{\begin{array}{l}a+b=c^2\\ a+b+c=30\end{array}$ è:

**A) ** 45 \quad **B) ** 23 \quad **C) ** 24 \quad **D) ** 25 \quad **E) ** 72

Risposta: C src_obm_2006_n2_f1__Q18

Two-digit number called bonito if tens digit > units; count bonitos

A two-digit number with distinct nonzero digits is called “bonito” (pretty) if the tens digit is greater than the units digit. The number of bonito numbers is:

A) 72 \quad B) 36 \quad C) 35 \quad D) 64 \quad E) 56

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: B Fonte: apri PDF

Un numero a due cifre chiamato bonito se decine di cifre > unità; contare bonitos

Un numero a due cifre con cifre distinte non zero viene chiamato “bonito” (più bello) se la cifra decina è maggiore della cifra di unità. Il numero dei numeri del bonito è:

**A) ** 72 \quad **B) ** 36 \quad **C) ** 35 \quad **D) ** 64 \quad **E) ** 56

Risposta: B src_obm_2006_n2_f1__Q19

Spreadsheet computes running mean; find last note Piralão entered

Professor Piralão applied a test to his five students and, after correcting them, entered the grades into an electronic spreadsheet that automatically calculates the running average after each grade is entered. The grades of the five students are, in increasing order: $71,76,80,82,91$. It was noted that after each entry the running average was always an integer. The last grade that Piralão entered was:

A) 71 \quad B) 76 \quad C) 80 \quad D) 82 \quad E) 91

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Congruenze Abilita: Casework accurato, Lettura attenta, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: C Fonte: apri PDF

Spreadsheet computa media in esecuzione; trova l’ultima nota inserita da Piralão

Il professore Piralão ha applicato un test ai suoi cinque studenti e, dopo averli corretti, ha inserito i voti in una scheda elettronica che calcola automaticamente la media esecutiva dopo aver inserito ogni grado. I voti dei cinque studenti sono, in ordine crescente: $71,76,80,82,91$. Si è notato che dopo ogni voce la media corrente è sempre un numero intero. L’ultimo anno che ha frequentato Piralão è stato:

**A) ** 71 \quad **B) ** 76 \quad **C) ** 80 \quad **D) ** 82 \quad **E) ** 91

Risposta: C src_obm_2006_n2_f1__Q20

Simplify nested radical expression

Simplifying the expression $\sqrt{2+\sqrt{3}}\cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}\cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}\cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}$ we obtain:

A) $\sqrt{2}$ \quad B) $\sqrt{3}$ \quad C) $1$ \quad D) $2+\sqrt{2}$ \quad E) $2+\sqrt{3}$

Topic: Algebra Metodo: Fattorizzazione, Telescoping Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Risposta: B Fonte: apri PDF

Semplificare l’espressione radicale annidata

Semplificando l’espressione $\sqrt{2+\sqrt{3}}\cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}\cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}\cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}$ otteniamo:

**A) ** $\sqrt{2}$ \quad **B) ** $\sqrt{3}$ \quad **C) ** $1$ \quad **D) ** $2+\sqrt{2}$ \quad **E) ** $2+\sqrt{3}$

Risposta: B src_obm_2006_n2_f1__Q21

Ludmilson pages a book with 4-digit numbers using only 1 and 2

Ludmilson numbers the pages of a book consecutively starting from page $2$, using only the digits $1$ and $2$ to write $4$-digit page numbers. The number of pages in Ludmilson’s book is:

A) 1701 \quad B) 702 \quad C) 703 \quad D) 704 \quad E) 705

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: C Fonte: apri PDF

Ludmilson fa le pagine di un libro con numeri a 4 cifre utilizzando solo 1 e 2

Ludmilson numerizza le pagine di un libro consecutivamente a partire dalla pagina $2$, utilizzando solo i numeri $1$ e $2$ per scrivere i numeri di pagina $4$-cifre. Il numero di pagine del libro di Ludmilson è:

**A) ** 1701 \quad **B) ** 702 \quad **C) ** 703 \quad **D) ** 704 \quad **E) ** 705

Risposta: C src_obm_2006_n2_f1__Q22

Real numbers x+y+z=0; find value of expression

Let $x$, $y$, $z$ be nonzero real numbers such that $x+y+z=0$. The value of $\left(x^2{y}^2{z}^2\right)\left(\frac{1}{x^3{y}^3}+\frac{1}{x^3{z}^3}+\frac{1}{y^3{z}^3}\right)$ is:

A) 0 \quad B) 1 \quad C) 2 \quad D) 3 \quad E) 4

Topic: Algebra Metodo: Fattorizzazione, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Risposta: D Fonte: apri PDF

Numeri reali x+y+z=0; trovare il valore dell’espressione

Che $x$, $y$, $z$ siano numeri reali non zeri come $x+y+z=0$. Il valore di $\left(x^2{y}^2{z}^2\right)\left(\frac{1}{x^3{y}^3}+\frac{1}{x^3{z}^3}+\frac{1}{y^3{z}^3}\right)$ è:

**A) ** 0 \quad **B) ** 1 \quad **C) ** 2 \quad **D) ** 3 \quad **E) ** 4

Risposta: D src_obm_2006_n2_f1__Q23

Digital clock shows time to nearest minute; count even-digit displays

A digital clock displays the time in hours and minutes using four digits. For example, at $00:00$ we know it is midnight and at $23:59$ it shows one minute before midnight. The number of times per day that all four displayed digits are even is:

A) 60 \quad B) 105 \quad C) 180 \quad D) 240 \quad E) 56

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: B Fonte: apri PDF

L’orologio digitale mostra l’ora fino al minuto più vicino; contare gli schermi a numeri pari

Un orologio digitale mostra l’ora in ore e minuti utilizzando quattro cifre. Ad esempio, a $00:00$ sappiamo che è mezzanotte e a $23:59$ appare un minuto prima di mezzanotte. Il numero di volte al giorno che tutte e quattro le cifre mostrate sono pari è:

**A) ** 60 \quad **B) ** 105 \quad **C) ** 180 \quad **D) ** 240 \quad **E) ** 56

Risposta: B src_obm_2006_n2_f1__Q24

Triangle ABC with equilateral triangles ACD and AEB; find BD/FG ratio

In the figure, $ABC$ is an arbitrary triangle, and $ACD$ and $AEB$ are equilateral triangles. $F$ and $G$ are the midpoints of $EA$ and $AC$ respectively. The ratio $\frac{BD}{FG}$ is:

A) $\frac{1}{2}$ \quad B) $1$ \quad C) $\frac{3}{2}$ \quad D) $2$ \quad E) Depends on the side lengths of $ABC$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: D Fonte: apri PDF

Triangolo ABC con triangoli equilaterali ACD e AEB; trovare rapporto BD/FG

Nella figura, $ABC$ è un triangolo arbitrario, e $ACD$ e $AEB$ sono triangoli equilaterali. $F$ e $G$ sono i punti di mezzo di $EA$ e $AC$ rispettivamente. Il rapporto $\frac{BD}{FG}$ è:

**A) ** $\frac{1}{2}$ \quad **B) ** $1$ \quad **C) ** $\frac{3}{2}$ \quad **D) ** $2$ \quad **E) ** Dipende dalle lunghezze laterali di $ABC$.

Risposta: D src_obm_2006_n2_f1__Q25