Olimpíada Brasileira de Matemática 2006 — Nível 2 — Fase 2

Position of 2006 in a pyramid arrangement of naturals

Esmeralda arranged all natural numbers from 1 to 2006 in the following pyramid arrangement:

& & & & 21 & & & & \\ & & & 20 & & 13 & & 22 & \\ & & 19 & & 12 & & 7 & & 14 & & 23 \\ & 18 & & 11 & & 6 & & 3 & & 8 & & 15 & & 24 \\ 17 & & 10 & & 5 & & 2 & & 1 & & 4 & & 9 & & 16 & & 25 \end{array}$$ On which floor will the number 2006 be found? (For example: the number 1 is on the first floor, 6 is on the second floor, and 23 is on the third floor.)

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, skill_riconoscimento_pattern Abilita: Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Posizione del 2006 in una disposizione piramidale di naturali

Esmeralda ha organizzato tutti i numeri naturali dal 1 al 2006 nella seguente disposizione piramidale: $\begin{array}{ccccccccccccccccc}& & & & 21& & & & & & & & & & & & \\ & & & 20& & 13& & 22& & & & & & & & & \\ & & 19& & 12& & 7& & 14& & 23& & & & & & \\ & 18& & 11& & 6& & 3& & 8& & 15& & 24& & & \\ 17& & 10& & 5& & 2& & 1& & 4& & 9& & 16& & 25\end{array}$ In quale piano si trova il numero 2006? (Per esempio: il numero 1 è al primo piano, il 6 al secondo piano e il 23 al terzo piano.)

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Sum of squares of three consecutive integers equals 302

The sum of the squares of three consecutive integers equals 302. What is the sum of those integers?

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

La somma dei quadrati di tre numeri interi consecutivi è uguale a 302

La somma dei quadrati di tre numeri interi consecutivi è uguale a 302. Qual è la somma di questi numeri interi?

src_obm_2006_n2_f2__Q02

Area of quadrilateral XYBC from right triangle ABC with special points

Let $ABC$ be a right triangle with the right angle at $A$. Consider $M$ and $N$ points on the hypotenuse $BC$ such that $CN=NM=MB$. The points $X$ and $Y$ are such that $XA=AM$ and $YA=AN$. Determine the area of quadrilateral $XYBC$, given that triangle $ABC$ has area $12{\text{ cm}}^2$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Area di XYBC quadrilaterale dal triangolo rettangolo ABC con punti speciali

$ABC$ sia un triangolo rettangolo con angolo retto a $A$. Considerare i punti $M$ e $N$ sull’ipotenusa $BC$ in modo tale che $CN=NM=MB$. I punti $X$ e $Y$ sono tali da $XA=AM$ e $YA=AN$. Determinare la superficie del quadrilaterale $XYBC$, dato che il triangolo $ABC$ ha una superficie $12{\text{ cm}}^2$.

src_obm_2006_n2_f2__Q03

Maximum number of rectangles in an 8×8 chessboard decomposition

An $8\times 8$ chessboard is decomposed into rectangles satisfying all of the following properties simultaneously: (i) each rectangle contains an integer number of squares; (ii) the various rectangles contain pairwise distinct numbers of squares; (iii) each rectangle contains the same number of white squares and black squares. What is the maximum number of rectangles into which the board can be decomposed?

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Numero massimo di rettangoli in una decomposizione di scacchi da 8×8

Una scacchiera $8\times 8$ si decompone in rettangoli che soddisfano tutte le seguenti proprietà contemporaneamente: (i) ogni rettangolo contiene un numero intero di quadrati; (ii) i vari rettangoli contengono numeri di quadrati separati in coppia; (iii) ogni rettangolo contiene lo stesso numero di quadrati bianchi e quadrati neri. Qual è il numero massimo di rettangoli in cui la tavola può essere decomposta?

src_obm_2006_n2_f2__Q04

Sum of three terms of sequence after 2006 steps starting from (1,1,1)

Starting from an ordered triple $(a,b,c)$, one obtains a sequence of triples by successive transformations of the type: $(a,b,c)\to (a^2-b,a+b+c,b-c).$ For example, starting from the triple $(1,2,3)$: $(1,2,3)\to (1-2,1+2+3,2-3)=(-1,6,-1)\to (-64,12,7)\to \cdots$ If we start with $(1,1,1)$ as the first ordered triple of a sequence, what will be the sum of the three terms of the triple that occupies position 2006 in this sequence?

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Ricorsione, Invarianti, skill_riconoscimento_pattern Abilita: Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

*Summa di tre termini di sequenza dopo i passaggi del 2006 a partire da (1,1,1) *

Partendo da un triplo ordinato $(a,b,c)$, si ottiene una sequenza di triplice mediante successive trasformazioni del tipo: $(a,b,c)\to (a^2-b,a+b+c,b-c).$ Ad esempio, partendo dal triplo $(1,2,3)$: $(1,2,3)\to (1-2,1+2+3,2-3)=(-1,6,-1)\to (-64,12,7)\to \cdots$ Se iniziamo con $(1,1,1)$ come il primo triplo ordinato di una sequenza, quale sarà la somma dei tre termini del triplo che occupa la posizione 2006 in questa sequenza?

src_obm_2006_n2_f2__Q05

Minimum houses mayor must demolish for equal street-side digit sums

On Gengibre Street, there are $n$ houses numbered from 1 to $n$ ($n\in \mathbb{N}$). The even-numbered houses are on one side of the street, and the odd-numbered houses are on the opposite side. The mayor Ludmilson Amottarim decides to demolish some house(s) so that the sum of the digits of the house numbers on each side becomes equal to the sum of the digits on the other side. To achieve his goal, what is the minimum number of houses the mayor must demolish if: a) the street has $n=15$ houses? b) the street has $n=16$ houses? c) the street has $n=2006$ houses?

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato, Modellizzazione, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Il sindaco deve demolire le case minime per le stesse somme di cifre sul lato della strada.

Sulla strada Gengibre ci sono $n$ case numerate da 1 a $n$ ($n\in \mathbb{N}$). Le case a numero pari sono da un lato della strada, e le case a numero odd sono dall’altro lato. Il sindaco Ludmilson Amottarim decide di demolire alcune case in modo che la somma dei numeri delle case su ciascun lato diventi uguale alla somma dei numeri sull’altro lato. Per raggiungere il suo obiettivo, qual è il numero minimo di case che il sindaco deve demolire se: a) la strada ha $n=15$ case? b) la strada ha case $n=16$? c) la strada ha case $n=2006$?

src_obm_2006_n2_f2__Q06

Find angle alpha in isosceles triangle where bisectors meet at I and H

In isosceles triangle $ABC$, $I$ is the intersection of the angle bisectors and $H$ is the intersection of the altitudes. It is known that $\angle IAH=\angle IHC=\alpha$. Determine the angle $\alpha$.

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Trova l’angolo alfa nel triangolo di paricele dove i bisettori si incontrano a I e H

Nel triangolo di pari dimensioni $ABC$, $I$ è l’intersezione dei bisettori angolari e $H$ è l’intersezione delle altitudini. È noto che $\angle IAH=\angle IHC=\alpha$. Determinare l’angolo $\alpha$.

src_obm_2006_n2_f2__Q07

Find a+b and ab given two real equations in a and b

Let $a$ and $b$ be distinct real numbers such that $a^2=6b+5ab$ and $b^2=6a+5ab$. a) Determine the value of $a+b$. b) Determine the value of $ab$.

Topic: Algebra Metodo: Simmetria, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Trova a+b e ab dati due equazioni reali in a e b

$a$ e $b$ siano numeri reali distinti come $a^2=6b+5ab$ e $b^2=6a+5ab$. a) Determinare il valore di $a+b$. b) Determinare il valore di $ab$.

src_obm_2006_n2_f2__Q08

Most frequent digit after substituting integers 1–2006 digit by digit

All integers from 1 to 2006 are written in a grid. Then, each of these numbers is replaced by the sum of its digits. These substitutions are repeated until we have 2006 single-digit numbers. Of the numbers remaining in the grid, which appears more often: 1 or 2?

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Congruenze, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

*Il numero più frequente dopo la sostituzione dei numeri interi 12006 con il numero *

Tutti i numeri interi dal 1 al 2006 sono scritti in una griglia. Quindi, ciascuno di questi numeri viene sostituito dalla somma delle sue cifre. Queste sostituzioni si ripetono fino a quando non abbiamo i numeri a singolo cifra del 2006. Dei numeri rimasti nella griglia, che appare più spesso: 1 o 2?

src_obm_2006_n2_f2__Q09