Olimpíada Brasileira de Matemática 2006 — Nível 3 — Fase 1

Age word problem: Neto was half his grandfather’s age at end of 1994; sum of birth years is 3844; find Neto’s age in 2006.

At the end of 1994, Neto was half the age of his grandfather. The sum of the birth years of the two of them is 3844. How old will Neto turn in 2006?

(A) 55 \quad (B) 56 \quad (C) 60 \quad (D) 62 \quad (E) 108

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Abilita: Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: D Fonte: apri PDF

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Problema della parola età: Neto aveva la metà dell’età di suo nonno alla fine del 1994; la somma degli anni di nascita è di 3844; trovare l’età di Neto nel 2006.

Alla fine del 1994, Neto aveva metà dell’età di suo nonno. La somma degli anni di nascita di entrambi è di 3844. Quanti anni avrà Neto nel 2006?

A) 55 \quad (B) 56 \quad (C) 60 \quad (D) 62 \quad (E) 108

Risposta: D src_obm_2006_n3_f1__Q01

Count distinct sums of pairs of distinct numbers from {1,2,…,2006}.

How many different results can we obtain by summing pairs of distinct numbers from the set $\{1,2,\dots ,2006\}$?

(A) 2006 \quad (B) 2007 \quad (C) 4009 \quad (D) 4011 \quad (E) 4012

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: D Fonte: apri PDF

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Contare somme distinte di coppie di numeri distinti da {1,2,…,2006}.

Quanti risultati diversi possiamo ottenere sommando le coppie di numeri distinti dall’insieme $\{1,2,\dots ,2006\}$?

(A) 2006 \quad (B) 2007 \quad (C) 4009 \quad (D) 4011 \quad (E) 4012

Risposta: D src_obm_2006_n3_f1__Q02

Amoeba colony starting yellow+red; each amoeba divides daily, each daughter independently keeps color or becomes red w.p. 1/2; find probability of exactly one yellow after 2006 days.

A colony of amoebas initially has one yellow amoeba and one red amoeba. Every day each amoeba divides into two identical amoebas. Each amoeba turns out the same color as its parent with probability $\frac{1}{2}$ and red with probability $\frac{1}{2}$. After 2006 days, what is the probability that the colony has exactly one yellow amoeba?

(A) $\frac{1}{2^{2006}}$ \quad (B) $\frac{1}{2006}$ \quad (C) $\frac{1}{2007}$ \quad (D) $\frac{1}{2006\cdot 2007}$ \quad (E) $\frac{2006}{2007}$

Topic: Probabilità Metodo: Ricorsione, Induzione Abilita: Modellizzazione, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

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• Colonia Amoeba a partire da giallo+rosso; ogni ameba si divide quotidianamente, ogni figlia conserva indipendentemente il colore o diventa rossa. 1/2; trovare la probabilità di un giallo esatto dopo i giorni del 2006.*

Una colonia di amebe ha inizialmente una ameba gialla e una ameba rossa. Ogni giorno ogni ameba si divide in due amebe identiche. Ogni ameba ha lo stesso colore del suo genitore con probabilità $\frac{1}{2}$ e il rosso con probabilità $\frac{1}{2}$. Dopo i giorni del 2006, qual è la probabilità che la colonia abbia esattamente un’ameba gialla?

(A) $\frac{1}{2^{2006}}$ \quad (B) $\frac{1}{2006}$ \quad (C) $\frac{1}{2007}$ \quad (D) $\frac{1}{2006\cdot 2007}$ \quad (E) $\frac{2006}{2007}$

src_obm_2006_n3_f1__Q03

Three squares glued by their vertices to one another and to two vertical sticks; find angle x.

Three squares are glued by their vertices to one another and to two vertical sticks, as the figure shows. What is the measure of angle $x$?

(A) $39^{\circ }$ \quad (B) $41^{\circ }$ \quad (C) $43^{\circ }$ \quad (D) $44^{\circ }$ \quad (E) $46^{\circ }$

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

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Tre quadrati incollati dai loro vertici l’uno all’altro e a due bastoni verticali; trovare angolo x.

Come mostra la figura, tre quadrati sono incollati tra loro e a due bastoni verticali. Qual è la misura dell’angolo $x$?

(A) $39^{\circ }$ \quad (B) $41^{\circ }$ \quad (C) $43^{\circ }$ \quad (D) $44^{\circ }$ \quad (E) $46^{\circ }$

src_obm_2006_n3_f1__Q04

Two distinct nonzero reals a,b with a-b=a/b; find a possible value of a/b+1/b-ab.

The two distinct real numbers $a$ and $b$ are nonzero and satisfy $a-b=\frac{a}{b}$. Indicate the alternative that shows one of the possible values of $\frac{a}{b}+\frac{1}{b}-ab$.

(A) $-2$ \quad (B) $-\frac{1}{2}$ \quad (C) $\frac{1}{3}$ \quad (D) $\frac{1}{2}$ \quad (E) $2$

Topic: Algebra Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

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Due reali non-zero distinte a,b con a-b=a/b; trovare un possibile valore di a/b+1/b-ab.

I due numeri reali distinti $a$ e $b$ non sono zero e soddisfano $a-b=\frac{a}{b}$. Indicare l’alternativa che mostra uno dei possibili valori di $\frac{a}{b}+\frac{1}{b}-ab$.

(A) $-2$ \quad (B) $-\frac{1}{2}$ \quad (C) $\frac{1}{3}$ \quad (D) $\frac{1}{2}$ \quad (E) $2$

src_obm_2006_n3_f1__Q05

Place digits 4,5,6,7,8,9 in spaces forming three two-digit numbers in strictly decreasing order; count arrangements.

In how many ways can we place, in each space below, one of the digits 4, 5, 6, 7, 8, 9 so that the two digits in each pair of consecutive spaces form two-digit numbers and, in each member, the numbers satisfy the indicated inequality?

$\_\_>\_\_>\_\_$

(A) 100 \quad (B) 120 \quad (C) 240 \quad (D) 480 \quad (E) 720

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

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Posizionare i numeri 4,5,6,7,8,9 in spazi che formano tre numeri a due cifre in ordine rigorosamente decrescente; ordini di conteggio.

In quanti modi possiamo posizionare, in ogni spazio di sotto, uno dei numeri 4, 5, 6, 7, 8, 9 in modo che i due numeri di ogni coppia di spazi consecutivi formino numeri a due cifre e, in ogni membro, i numeri soddisfino l’ineguaglianza indicata?

$\_\_>\_\_>\_\_$

(A) 100 \quad (B) 120 \quad (C) 240 \quad (D) 480 \quad (E) 720

src_obm_2006_n3_f1__Q06

Identify which monomial expression cannot equal 24 for suitable positive integers a,b,c.

Which expression below cannot represent the number 24 for convenient positive integer values of $a$, $b$ and $c$?

(A) $a{b}^3$ \quad (B) $a^2{b}^3$ \quad (C) $a^c{b}^c$ \quad (D) $a{b}^2{c}^3$ \quad (E) $a^4{b}^c$

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Casework accurato, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

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Identificare quale espressione monomiale non può essere uguale a 24 per i numeri interi positivi adatti a,b,c.

Quale espressione di seguito non può rappresentare il numero 24 per i valori interi positivi convenienti di $a$, $b$ e $c$?

(A) $a{b}^3$ \quad (B) $a^2{b}^3$ \quad (C) $a^c{b}^c$ \quad (D) $a{b}^2{c}^3$ \quad (E) $a^4{b}^c$

src_obm_2006_n3_f1__Q07

For how many values of a is 2a^2+2a+19 not prime.

For how many values of $a$ does $2a^2+2a+19$ fail to be a prime number?

(A) 50 \quad (B) 37 \quad (C) 9 \quad (D) 5 \quad (E) 1

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Casework accurato, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

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Per quanti valori di a è 2a^2+2a+19 non primo.

Per quanti valori di $a$ $2a^2+2a+19$ non è un numero primo?

(A) 50 \quad (B) 37 \quad (C) 9 \quad (D) 5 \quad (E) 1

src_obm_2006_n3_f1__Q08

Positive reals a,b,c summing to 1 and being sides of a triangle; pick correct set of inequalities.

Let $a$, $b$ and $c$ be positive real numbers whose sum is 1. Suppose that $a$, $b$ and $c$ are the measures of the sides of a triangle. Then

• (A) $0<|a-b|<\frac{1}{2}$ and $0<|b-c|<\frac{1}{2}$ and $0<|c-a|<\frac{1}{2}$
• (B) $a<\frac{1}{2}$ and $b<\frac{1}{2}$ and $c<\frac{1}{2}$
• (C) $a+b<\frac{1}{2}$ and $b+c<\frac{1}{2}$ and $c+a<\frac{1}{2}$
• (D) $a\le \frac{1}{3}$ and $b\le \frac{1}{3}$ and $c\le \frac{1}{3}$
• (E) $a\ge \frac{1}{3}$ and $b\ge \frac{1}{3}$ and $c\ge \frac{1}{3}$

Topic: Disuguaglianze, Geometria piana Metodo: Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi, Geometria Risposta: B Fonte: apri PDF

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Reali positivi a,b,c sommando a 1 e essendo lati di un triangolo; scegliere l’insieme corretto di disuguaglianze.

$a$, $b$ e $c$ siano numeri reali positivi la cui somma è 1. Supponiamo che $a$, $b$ e $c$ siano le misure dei lati di un triangolo. Allora…

• (A) $0<|a-b|<\frac{1}{2}$ e $0<|b-c|<\frac{1}{2}$ e $0<|c-a|<\frac{1}{2}$
• (B) $a<\frac{1}{2}$ e $b<\frac{1}{2}$ e $c<\frac{1}{2}$
• (C) $a+b<\frac{1}{2}$ e $b+c<\frac{1}{2}$ e $c+a<\frac{1}{2}$
• (D) $a\le \frac{1}{3}$ e $b\le \frac{1}{3}$ e $c\le \frac{1}{3}$
• (E) $a\ge \frac{1}{3}$ e $b\ge \frac{1}{3}$ e $c\ge \frac{1}{3}$

Risposta: B src_obm_2006_n3_f1__Q09

Sequence of 9 reals, first 20, last 4, each term from the third on is the arithmetic mean of all previous ones; find the second term.

A sequence has 9 real numbers, the first being 20 and the last being 4. Each term of the sequence, starting from the third, is the arithmetic mean of all the previous ones. What is the second term of the sequence?

(A) $-8$ \quad (B) 0 \quad (C) 4 \quad (D) 14 \quad (E) 200

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Backward Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

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Sequenza di 9 reali, primi 20, ultimi 4, ogni termine dal terzo in poi è la media aritmetica di tutti i precedenti; trova il secondo termine.

Una sequenza ha 9 numeri reali, il primo 20 e l’ultimo 4. Ogni termine della sequenza, a partire dal terzo, è la media aritmetica di tutti i precedenti. Qual è il secondo termine della sequenza?

(A) $-8$ \quad (B) 0 \quad (C) 4 \quad (D) 14 \quad (E) 200

src_obm_2006_n3_f1__Q10

Count real triples (x,y,z) satisfying x(x+y+z)=2005, y(x+y+z)=2006, z(x+y+z)=2007.

How many triples of real numbers $x$, $y$, $z$ satisfy the system below? $\{\begin{array}{l}x(x+y+z)=2005\\ y(x+y+z)=2006\\ z(x+y+z)=2007\end{array}$

(A) None \quad (B) 1 \quad (C) 2 \quad (D) 3 \quad (E) 2006

Topic: Algebra Metodo: Casework Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: C Fonte: apri PDF

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Contare i tripli reali (x,y,z) soddisfacendo x(x+y+z) = 2005, y(x+y+z) = 2006, z(x+y+z) = 2007.

Quanti triples di numeri reali $x$, $y$, $z$ soddisfano il sistema di seguito? $\{\begin{array}{l}x(x+y+z)=2005\\ y(x+y+z)=2006\\ z(x+y+z)=2007\end{array}$

(A) Nessuna (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 2006

Risposta: C src_obm_2006_n3_f1__Q11

Arnaldo has blue 2x2, yellow 2x2, green 3x3 squares; assemble a larger square using at least three of each; minimize total count.

Arnaldo has several squares of various colors: blue $2\times 2$ squares, yellow $2\times 2$ squares and green $3\times 3$ squares. He wants to assemble a larger square so that at least three of each kind appear. What is the smallest number of squares he will be able to use?

(A) 3 \quad (B) 6 \quad (C) 7 \quad (D) 8 \quad (E) 9

Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Conteggio, Estremalità Abilita: Conteggio sistematico, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF

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Arnaldo ha quadrati blu 2x2, gialli 2x2, verdi 3x3; assemblare un quadrato più grande utilizzando almeno tre di ciascuno; ridurre al minimo il numero totale.

Arnaldo ha diversi quadrati di vari colori: quadrati blu $2\times 2$, quadrati gialli $2\times 2$ e quadrati verdi $3\times 3$. Vuole assemblare un quadrato più grande in modo che appaiano almeno tre di ciascuna specie. Qual è il numero minimo di quadrati che potrà usare?

(A) 3 \quad (B) 6 \quad (C) 7 \quad (D) 8 \quad (E) 9

src_obm_2006_n3_f1__Q12

x,y rational; given (x - y√2006)/(4 - y√2006) is rational, determine product xy.

Let $x$ and $y$ be rational numbers. Knowing that $\frac{x-y\sqrt{2006}}{4-y\sqrt{2006}}$ is also a rational number, how much can the product $xy$ be?

• (A) Can be equal to 20, but can also assume other values.
• (B) Pode ser igual a 20, mas também pode assumir outros valores. (Can be equal to 20, but can also assume other values.)
• (C) 1
• (D) 6
• (E) Cannot be determined.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

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x,y razionale; dato (x - y√2006)/(4 - y√2006) è razionale, determina il prodotto xy.

$x$ e $y$ siano numeri razionali. Sapendo che $\frac{x-y\sqrt{2006}}{4-y\sqrt{2006}}$ è anche un numero razionale, quanto può essere il prodotto $xy$?

• (A) Può essere uguale a 20, ma può anche assumere altri valori.
• (B) Può essere pari a 20, ma può anche assumere altri valori. (Può essere uguale a 20, ma può anche assumere altri valori.)
• (C) 1
• (D) 6
• (E) Non si può determinare.

src_obm_2006_n3_f1__Q13

Five grades entered one by one with running average always an integer; grades 71,76,80,82,91; find which was entered last.

Professor Piraldo applied a test to his five students and, after correcting them, entered the grades into an electronic spreadsheet that automatically computes the average as the grades are entered each time. He noticed that, as he entered the grades, the average computed by the spreadsheet was always an integer. The grades, in the order they were entered, were 71, 76, 80, 82 and 91, but not necessarily in this order. What was the last grade Piraldo entered?

(A) 71 \quad (B) 76 \quad (C) 80 \quad (D) 82 \quad (E) 91

Topic: Teoria dei Numeri, Logica Metodo: Congruenze, Casework Abilita: Casework accurato, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

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Cinque classi inserite una per una con una media corrente sempre un numero intero; classi 71,76,80,82,91; ritrovare l’ultima inserita.

Il professore Piraldo ha applicato un test ai suoi cinque studenti e, dopo averli corretti, ha inserito i voti in una scheda elettronica che calcola automaticamente la media mentre i voti vengono inseriti ogni volta. Ha notato che, entrando nei voti, la media calcolata dalla scheda di calcolo era sempre un numero intero. I voti, nell’ordine in cui sono stati inseriti, sono stati 71, 76, 80, 82 e 91, ma non necessariamente in questo ordine. Qual era l’ultimo anno di classe in cui Piraldo era entrato?

(A) 71 \quad (B) 76 \quad (C) 80 \quad (D) 82 \quad (E) 91

src_obm_2006_n3_f1__Q14

ABC arbitrary triangle, ACD and AEB equilateral; F,G midpoints of EA and AC; find ratio BD/FG.

In the figure that follows, $ABC$ is an arbitrary triangle and $ACD$ and $AEB$ are equilateral triangles. If $F$ and $G$ are the midpoints of $EA$ and $AC$ respectively, the ratio $\frac{BD}{FG}$ is:

(A) $\frac{1}{2}$ \quad (B) $1$ \quad (C) $\frac{3}{2}$ \quad (D) $2$ \quad (E) Depends on the measures of the sides of $ABC$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: D Fonte: apri PDF

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Triangolo arbitrario ABC, equilaterale ACD e AEB; F,G punti di mezzo di EA e AC; trovare rapporto BD/FG.

Nella figura che segue, $ABC$ è un triangolo arbitrario e $ACD$ e $AEB$ sono triangoli equilaterali. Se $F$ e $G$ sono rispettivamente i punti intermedi di $EA$ e $AC$, il rapporto $\frac{BD}{FG}$ è:

(A) $\frac{1}{2}$ \quad (B) $1$ \quad (C) $\frac{3}{2}$ \quad (D) $2$ \quad (E) Dipende dalle misure dei lati di $ABC$.

Risposta: D src_obm_2006_n3_f1__Q15

Positive integer x is a multiple of 2006 with sqrt(x) between 2005 and 2007; count possible x.

The positive integer $x$ is a multiple of 2006 and $\sqrt{x}$ is between 2005 and 2007. What is the number of possible values of $x$?

(A) 1 \quad (B) 2 \quad (C) 3 \quad (D) 4 \quad (E) 5

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio Abilita: Stima, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

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Il numero intero positivo x è un multiple del 2006 con sqrt(x) tra il 2005 e il 2007; contare possibili x.

Il numero intero positivo $x$ è un multiple del 2006 e $\sqrt{x}$ è tra il 2005 e il 2007. Qual è il numero dei valori possibili di $x$?

(A) 1 \quad (B) 2 \quad (C) 3 \quad (D) 4 \quad (E) 5

src_obm_2006_n3_f1__Q16

Two semicircles, diameter PS (measure 1) and QR parallel to PS; smaller semicircle tangent to PS at O; find shaded area.

In the figure we have two semicircles of diameters $PS$, of measure 1, and $QR$, parallel to $PS$. Furthermore, the smaller semicircle is tangent to $PS$ at $O$. What is the highlighted (shaded) area?

(A) $2\pi -2$ \quad (B) $3\pi$ \quad (C) $\pi$ \quad (D) $4$ \quad (E) $2\pi -4$

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

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Due semicircoli, diametro PS (misura 1) e QR paralleli a PS; semicircolo più piccolo tangente a PS a O; trovare area ombreggiata.

Nella figura abbiamo due semicircoli di diametri $PS$, di misura 1, e $QR$, paralleli a $PS$. Inoltre, il semicircolo più piccolo è tangente a $PS$ a $O$. Qual è l’area illuminata?

(A) $2\pi -2$ \quad (B) $3\pi$ \quad (C) $\pi$ \quad (D) $4$ \quad (E) $2\pi -4$

src_obm_2006_n3_f1__Q17

Starting from (2048,1024), operation (a,b)->((3a+b)/4,(a+3b)/4); among five listed pairs which are obtainable.

Starting from the pair $(2048,1024)$, we may apply, as many times as we wish, the operation that transforms the pair $(a,b)$ into the pair $\left(\frac{3a+b}{4},\frac{a+3b}{4}\right)$; then, among the following pairs:

1. $(1664,1408)$

2. $(1540,1532)$

3. $(1792,1282)$

4. $(1537,1535)$

5. $(1546,1526)$

• (A) Only pairs 1 and 2 can be obtained.
• (B) Only pair 4 cannot be obtained.
• (C) Only pair 3 cannot be obtained.
• (D) Only pairs 4 and 5 can be obtained.
• (E) There exist more than two pairs that cannot be obtained.

Topic: Algebra, Combinatoria Metodo: Invarianti Abilita: Riconoscimento di pattern, Astrazione Area: Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

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A partire da (2048,1024), operazione (a,b) ->((3a+b)/4,(a+3b)/4); tra le cinque coppie elencate che sono disponibili.

Partendo dalla coppia $(2048,1024)$, possiamo applicare, quante volte vogliamo, l’operazione che trasforma la coppia $(a,b)$ nella coppia $\left(\frac{3a+b}{4},\frac{a+3b}{4}\right)$; quindi, tra le seguenti coppie:

1. $(1664,1408)$ 2) $(1540,1532)$ 3) $(1792,1282)$ 4) $(1537,1535)$ 5) $(1546,1526)$

• (A) Si possono ottenere solo le coppie 1 e 2.
• (B) Solo la coppia 4 non può essere ottenuta.
• (C) Non è possibile ottenere solo la coppia 3.
• (D) Si possono ottenere solo le coppie 4 e 5.
• (E) Esistono più di due coppie che non si possono ottenere.

src_obm_2006_n3_f1__Q18

13x17 grid numbered first by rows then re-numbered by columns; count cells where the two numbers coincide.

In a rectangular grid of 13 rows and 17 columns we place numbers in each cell in the following way: first, we number the cells of the first row in increasing order, from left to right, with the numbers 1, 2, …, 17; then we number the cells of the second row, also from left to right, in increasing order, with the numbers 18, 19, …, 34, and we proceed analogously with the other rows, so that the numbers of the first column are, from top to bottom, 1, 18, 35, etc. After numbering all the cells, we redo the numbering, now by columns: we number the cells of the first column, from top to bottom, in increasing order, with the numbers 1, 2, …, 13; then we number the cells of the second column, also from top to bottom, in increasing order, with the numbers 14, 15, …, 26, and we proceed analogously with the other columns. In this way, each cell ends up with two numbers. In how many cells do the two numbers coincide?

(A) 2 \quad (B) 3 \quad (C) 4 \quad (D) 5 \quad (E) 6

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Congruenze, Conteggio Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

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13x17 griglia numerata prima da righe e poi ri-numerata da colonne; celle di conteggio dove i due numeri coincidono.

In una griglia rettangolare di 13 righe e 17 colonne posizionamo i numeri in ogni cella nel seguente modo: prima, numeriamo le celle della prima riga in ordine crescente, da sinistra a destra, con i numeri 1, 2, …, 17; poi numeriamo le celle della seconda riga, anche da sinistra a destra, in ordine crescente, con i numeri 18, 19, …, 34, e procediamo in modo analogo con le altre righe, in modo che i numeri della prima colonna sono, da cima a fondo, 1, 18, 35, ecc. Dopo aver numerato tutte le celle, ripetiamo la numerazione, ora per colonne: numeriamo le celle della prima colonna, dall’alto verso il basso, in ordine crescente, con i numeri 1, 2, …, 13; poi numeriamo le celle della seconda colonna, anche dall’alto verso il basso, in ordine crescente, con i numeri 14, 15, …, 26, e procediamo in modo analogo con le altre colonne. In questo modo, ogni cella finisce con due numeri. In quante cellule coincidono i due numeri?

(A) 2 \quad (B) 3 \quad (C) 4 \quad (D) 5 \quad (E) 6

src_obm_2006_n3_f1__Q19

Altino (1.5 m tall) against a wall at night, lamp atop 4 m post 10 m from wall; choose graph of wall shadow height f(x) versus distance x.

Altino is leaning against a high wall, during the night. The street where Altino is located is illuminated by a lamp on top of a post 4 meters high, located 10 meters from the wall. Altino, one and a half meters tall, is in the direction of the wall. Let $f(x)$ be the height, in meters, of the shadow of Altino produced by the lamp on the wall when Altino is at a distance of $x$ meters from the wall. Which alternative best represents the graph of $f(x)$?

(A), (B), (C), (D), (E) — see figure.

Topic: Geometria analitica, Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Modellizzazione, Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

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Altino (1,5 m di altezza) contro una parete di notte, lampada sopra 4 m postata a 10 m dalla parete; scegliere il grafico dell’altezza dell’ombra della parete f(x) contro la distanza x.

Altino si appoggia a un alto muro, durante la notte. La strada in cui si trova Altino è illuminata da una lampada sopra un palo alto 4 metri, situato a 10 metri dal muro. Altino, alto un metro e mezzo, è in direzione del muro. L’altezza di $f(x)$ deve essere l’altezza, in metri, dell’ombra di Altino prodotta dalla lampada sul muro quando Altino è a una distanza di $x$ metri dal muro. Quale alternativa rappresenta meglio il grafico di $f(x)$?

(A), (B), (C), (D), (E) vedere figura.

src_obm_2006_n3_f1__Q20

Square room of side 4 m tiled completely with equal 1 m by 2 m rugs; count the number of tilings (three shown).

The floor of a room has the shape of a square of side 4 m. In how many ways can we completely cover the room with equal rugs of dimensions 1 m by 2 m? We show below three ways to do it.

(A) 27 \quad (B) 30 \quad (C) 34 \quad (D) 36 \quad (E) 52

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: D Fonte: apri PDF

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*Camera quadrata di 4 m laterali completamente di piastrelle con tappeti uguali a 1 m per 2 m; contare il numero di piastrelle (tre mostrate). *

Il pavimento di una stanza ha la forma di un quadrato laterale di 4 m. In quanti modi possiamo coprire completamente la stanza con tappeti uguali di dimensioni di 1 m per 2 m? Ecco tre modi per farlo.

(A) 27 \quad (B) 30 \quad (C) 34 \quad (D) 36 \quad (E) 52

Risposta: D src_obm_2006_n3_f1__Q21

Points A,B in plane alpha at distance 8; count lines of alpha at distance 2 from A and at distance 2 from B.

Two points $A$ and $B$ of a plane $\alpha$ are at a distance of 8 units. How many lines of the plane $\alpha$ are at a distance of 2 units from $A$ and at a distance of 2 units from $B$?

(A) 1 \quad (B) 2 \quad (C) 3 \quad (D) 4 \quad (E) 5

Topic: Geometria piana Metodo: Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Casework accurato Area: Geometria Risposta: D Fonte: apri PDF

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Punti A,B nel piano alfa a distanza 8; linee di conteggio di alfa a distanza 2 da A e a distanza 2 da B.

Due punti $A$ e $B$ di un piano $\alpha$ sono a una distanza di 8 unità. Quante linee del piano $\alpha$ sono a distanza di 2 unità da $A$ e a distanza di 2 unità da $B$?

(A) 1 \quad (B) 2 \quad (C) 3 \quad (D) 4 \quad (E) 5

Risposta: D src_obm_2006_n3_f1__Q22

Among the 2161 products 0·2160, 1·2159, …, 2160·0, count how many are multiples of 2160.

Consider the 2161 products $0\cdot 2160$, $1\cdot 2159$, $2\cdot 2158$, $\dots$, $2160\cdot 0$. How many of them are multiples of 2160?

(A) 2 \quad (B) 3 \quad (C) 12 \quad (D) 13 \quad (E) 2161

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Fattorizzazione, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

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Tra i prodotti 2161 0·2160, 1·2159, …, 2160·0, contare quanti sono i multipli di 2160.

Considerate i prodotti 2161 $0\cdot 2160$, $1\cdot 2159$, $2\cdot 2158$, $\dots$, $2160\cdot 0$. Quanti di loro sono moltiplicati di 2160?

(A) 2 \quad (B) 3 \quad (C) 12 \quad (D) 13 \quad (E) 2161

src_obm_2006_n3_f1__Q23

Find minimum over reals x,y,z of sqrt(x^2+1)+sqrt((y-x)^2+4)+sqrt((z-y)^2+1)+sqrt((10-z)^2+9).

What is the smallest value that the expression $\sqrt{x^2+1}+\sqrt{(y-x{)}^2+4}+\sqrt{(z-y{)}^2+1}+\sqrt{(10-z{)}^2+9}$ can take, where $x$, $y$ and $z$ are real?

(A) 7 \quad (B) 13 \quad (C) $4+\sqrt{109}$ \quad (D) $3+\sqrt{2}+\sqrt{90}$ \quad (E) $\sqrt{149}$

Topic: Geometria analitica, Disuguaglianze Metodo: Coordinate, Disuguaglianze Abilita: Modellizzazione, Ragionamento geometrico Area: Geometria, Algebra e Analisi Risposta: E Fonte: apri PDF

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Ricerca il minimo sui numeri reali x,y,z di sqrt(x^2+1)+sqrt((y-x)^2+4)+sqrt((z-y)^2+1)+sqrt((10-z)^2+9).

Qual è il valore più piccolo che l’espressione $\sqrt{x^2+1}+\sqrt{(y-x{)}^2+4}+\sqrt{(z-y{)}^2+1}+\sqrt{(10-z{)}^2+9}$ può assumere, quando $x$, $y$ e $z$ sono reali?

(A) 7 \quad (B) 13 \quad (C) $4+\sqrt{109}$ \quad (D) $3+\sqrt{2}+\sqrt{90}$ \quad (E) $\sqrt{149}$

Risposta: E src_obm_2006_n3_f1__Q24

Unit cube cut into four regions by two planes (one through edges AB,CD, other through AE,DF); find volume(s) of the largest region(s).

A cube of edge 1 is cut into four regions by these two planes: one contains the edges $AB$ and $CD$, and the other contains the edges $AE$ and $DF$. What is (are) the volume(s) of the largest region(s)?

(A) $\frac{1}{4}$ \quad (B) $\frac{1}{3}$ \quad (C) $\frac{\sqrt{2}}{4}$ \quad (D) $\frac{3}{8}$ \quad (E) $\frac{1}{2}$

Topic: Geometria solida Abilita: Ragionamento geometrico, Astrazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

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Unità di cubo tagliata in quattro regioni per due piani (uno attraverso i bordi AB,CD, l’altro attraverso AE,DF); trovare il volume(s) della più grande regione(s).

Un cubo di bordo 1 è tagliato in quattro regioni da questi due piani: uno contiene i bordi $AB$ e $CD$, e l’altro contiene i bordi $AE$ e $DF$. Qual è (sono) il volume delle regioni più grandi?

(A) $\frac{1}{4}$ \quad (B) $\frac{1}{3}$ \quad (C) $\frac{\sqrt{2}}{4}$ \quad (D) $\frac{3}{8}$ \quad (E) $\frac{1}{2}$

src_obm_2006_n3_f1__Q25