Olimpíada Brasileira de Matemática 2006 — Nível 3 — Fase 2

Count ordered pairs (83;89) called ‘century pairs’

An ordered pair $(83;89)$ is called a century pair because $83+8+9=83-8+9+8+3=100$; that is, the sum of each number with the digits of the other number equals 100. How many century pairs of positive integers are there?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

*Contare le coppie ordinate (83;89) chiamate “centenarie” *

Una coppia ordinata $(83;89)$ è chiamata coppia del secolo ** perché $83+8+9=83-8+9+8+3=100$; cioè la somma di ogni numero con i numeri dell’altro numero è uguale a 100. Quante coppie di numeri interi positivi ci sono?

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Pentagon and triangle inscribed in circle; find angle α for similarity

In the figure, the regular pentagon $ABCDE$ and the triangle $EFG$ are inscribed in the circumference $C_o$, and $M$ is the midpoint of $BC$. For what value of $\alpha$, in degrees, are the triangles $EFG$ and $HIG$ similar?

(The diagram shows points $H$, $I$ on the figure; $\alpha$ is the angle at $F$ in triangle $EFG$, and $H$, $I$ are intersections with the pentagon sides.)

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Pentagono e triangolo incisi in cerchio; trovare angolo α per la somiglianza

Nella figura, il pentagono regolare $ABCDE$ e il triangolo $EFG$ sono inseriti nella circonferenza $C_o$, e $M$ è il punto medio di $BC$. Per quale valore di $\alpha$, in gradi, sono simili i triangoli $EFG$ e $HIG$?

(Il diagramma mostra i punti $H$, $I$ sulla figura; $\alpha$ è l’angolo a $F$ nel triangolo $EFG$, e $H$, $I$ sono intersezioni con i lati del pentagono.)

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Two runners on circular track, find track length from two crossings

Esmeralda and Jade run in opposite directions on a circular track, starting from diametrically opposite points. The first crossing between them occurs after Esmeralda has run 200 meters. The second crossing occurs after Jade has run 350 meters from the first crossing point. The speeds of the girls are constant. What is the length of the track, in meters?

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Casework Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Due corridori su pista circolare, trovano la lunghezza della pista da due attraversamenti

Esmeralda e Jade corrono in direzioni opposte su una pista circolare, partendo da punti diametralmente opposti. Il primo incrocio tra loro si verifica dopo che Esmeralda ha corso 200 metri. Il secondo attraversamento avviene dopo che Jade ha corso 350 metri dal primo punto di attraversamento. Le velocità delle ragazze sono costanti. Qual è la lunghezza della pista, in metri?

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Side length of cross-section of regular octahedron by a plane

What is the largest side length that a cross-section determined by a plane of a regular octahedron can have?

Topic: Geometria solida Abilita: Ragionamento geometrico, Stima Area: Geometria Fonte: apri PDF

Lunghezza laterale della sezione trasversale di ottaedro regolare per piano

Qual è la più grande lunghezza laterale che una sezione trasversale determinata da un piano di ottaedro regolare può avere?

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Dice: probability of sum 2006 equals probability of sum S; find min S

We roll a certain number of cubic dice with faces numbered 1 to 6. The probability of obtaining a sum of 2006 is equal to the probability of obtaining a sum of $S$. What is the smallest possible value of $S$?

Topic: Probabilità, Combinatoria Metodo: Simmetria Abilita: Riconoscimento di pattern, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Dice: probabilità della somma 2006 è uguale alla probabilità della somma S; trovare min S

Rollano un certo numero di dadi cubici con volti numerati da 1 a 6. La probabilità di ottenere una somma del 2006 è pari alla probabilità di ottenere una somma di $S$. Qual è il minimo valore possibile di $S$?

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Distribute n+1 distinct toys to n children, each gets at least one

Let $n$ be a positive integer. In how many ways can we distribute $n+1$ distinct toys among $n$ children so that every child receives at least one toy?

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Inclusione-esclusione, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Distribuire n+1 giocattoli distinti a n bambini, ognuno ne ottiene almeno uno*

$n$ sia un numero intero positivo. In quanti modi possiamo distribuire $n+1$ giocattoli distinti tra $n$ bambini in modo che ogni bambino riceva almeno un giocattolo?

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Find all positive integer pairs (a,b) with (a+1)(b+1) divisible by ab+1

Find all pairs of positive integers $(a,b)$ such that $(a+1)(b+1)$ is a multiple of $ab+1$.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione, Casework, Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca tutte le coppie di numeri interi positivi (a,b) con (a+1)(b+1) divisibili per ab+1

Trova tutte le coppie di integri positivi $(a,b)$ in modo tale che $(a+1)(b+1)$ sia un multiple di $ab+1$.

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Triangle ABC with AB=4, AC=3, angle BAC=60°; distance between orthocenters

In triangle $ABC$ we have $AB=4$, $AC=3$, and the angle $\widehat{BAC}=60^{\circ }$. Let $D$ be the intersection point of the line perpendicular to $AB$ passing through $B$ and the line perpendicular to $AC$ passing through $C$. Determine the distance between the orthocenters of triangles $ABC$ and $BCD$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo ABC con AB=4, AC=3, angolo BAC=60°; distanza tra ortocentri

Nel triangolo $ABC$ abbiamo $AB=4$, $AC=3$, e l’angolo $\widehat{BAC}=60^{\circ }$. Il punto di intersezione di $D$ deve essere la linea perpendicolare a $AB$ che attraversa $B$ e la linea perpendicolare a $AC$ che attraversa $C$. Determinare la distanza tra gli ortocentri dei triangoli $ABC$ e $BCD$.

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Fibonacci sequence: find all positive integer pairs (m,n) with F_m·F_n=mn

The sequence $F_n$ is defined by $F_1=F_2=1$ and $F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$ for $n\ge 3$. Find all pairs of positive integers $(m,n)$ such that $F_m\cdot F_n=mn$.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Induzione, Estremalità Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Sequenza di Fibonacci: trovare tutte le coppie di numeri interi positivi (m,n) con F_m·F_n=mn

La sequenza $F_n$ è definita da $F_1=F_2=1$ e $F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$ per $n\ge 3$. Trova tutte le coppie di integri positivi $(m,n)$ tali da $F_m\cdot F_n=mn$.

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