Olimpíada Brasileira de Matemática 2006 — Nível 3 — Fase 3

Angle bisector foot and incenter give isosceles triangle

Let $ABC$ be a triangle, $P$ the foot of the internal angle bisector from $B$ to side $AC$, and $I$ the incenter of $ABC$. If $AP+AB=CB$, prove that $API$ is an isosceles triangle.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Un angolo bisectore piede e incentro danno triangolo isosceles

Il $ABC$ deve essere un triangolo, $P$ il piede del bisettore dell’angolo interno da $B$ a lato $AC$, e $I$ l’incentro di $ABC$. Se $AP+AB=CB$, dimostrare che $API$ è un triangolo di uguali dimensioni.

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Bounds an^2 < f(n) < bn^2 for max isosceles triangles

Let $n$ be an integer, $n\ge 3$. Define $f(n)$ as the maximum number of isosceles triangles whose vertices belong to some set of $n$ points in the plane with no three points collinear. Prove that there exist positive constants $a$ and $b$ such that $a{n}^2<f(n)<b{n}^2$ for every integer $n\ge 3$.

Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Estremalità, Conteggio, Doppio conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Modellizzazione, Stima, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF

*Limita un^2 < f(n) < bn^2 per i triangoli a max pari dimensioni *

$n$ sia un numero intero, $n\ge 3$. Definire $f(n)$ come il numero massimo di triangoli di isosceles le cui vertici appartengono a un insieme di punti $n$ nel piano senza tre punti collineari. Prova che esistono costanti positive $a$ e $b$ tali da $a{n}^2<f(n)<b{n}^2$ per ogni numero intero $n\ge 3$.

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Find all f:R->R satisfying functional equation

Determine all functions $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ such that $f(xf(y)+f(x))=2f(x)+xy$ for all real $x,y$.

Topic: Equazioni funzionali, Algebra Metodo: Backward, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca tutte le equazioni funzionali soddisfacenti f:R->R

Determinare tutte le funzioni $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ in modo tale che $f(xf(y)+f(x))=2f(x)+xy$ per tutte le $x,y$ reali.

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Find smallest positive integer that is ‘thrown’ (arranjado)

A positive integer is called \emph{thrown} (arrojado) when it has 8 positive divisors whose sum is 3240. For example, 2006 is thrown because its 8 positive divisors are $1,2,17,34,59,118,1003,2006$, and their sum is 3240. Find the smallest thrown positive integer.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Casework, Estremalità Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

*Ricerca il più piccolo intero positivo che sia ‘gettato’ (arranjado) *

Un intero positivo si chiama \emph{thrown} (arrojado) quando ha 8 divisori positivi la cui somma è 3240. Ad esempio, il 2006 viene gettato perché i suoi 8 divisori positivi sono $1,2,17,34,59,118,1003,2006$, e la loro somma è 3240. Trova il più piccolo intero positivo gettato.

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Opposite sides of convex 1003-gon are parallel and congruent

Let $P$ be a convex polygon with 2006 sides. The 1003 diagonals connecting opposite vertices and the 1003 segments connecting the midpoints of opposite sides are all concurrent, i.e., all 2006 segments share a common point. Prove that the opposite sides of $P$ are parallel and congruent.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

I lati opposti di 1003-gon convex sono paralleli e congruenti

Che $P$ sia un poligono converso con lati 2006. Le diagonali 1003 che collegano vertici opposti e i segmenti 1003 che collegano i punti medi di lati opposti sono tutti simultanei, cioè tutti i segmenti del 2006 condividono un punto comune. Prova che i lati opposti di $P$ sono paralleli e congruenti.

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Football game balanced iff m <= phin, using f(n)=2n-f(r)+r*

Professor Piraldo has a peculiar way of judging football (soccer) games in which many goals are scored. A game with a score of $m$ goals to $n$ goals, $m\ge n$, is called \emph{balanced} when $m\le f(n)$, and \emph{unbalanced} when $m>f(n)$, where $f$ is the function defined by $f(0)=0$ and, for $n\ge 1$, $f(n)=2n-f(r)+r$, where $r$ is the largest integer such that $r\le n$ and $f(r)\le n$.

Given $\varphi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$, prove that a game with score $m$ to $n$, $m\ge n$, is balanced if and only if $m\le \varphi n$, and unbalanced if and only if $m\ge \varphi n+1$.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Induzione, Ricorsione, Invarianti Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Gioco di calcio bilanciato se m <= phin, utilizzando f(n)=2n-f(r)+r*

Il professore Piraldo ha un modo peculiare di giudicare le partite di calcio (calcio) in cui vengono segnati molti gol. Un gioco con un punteggio di $m$ obiettivi a $n$ obiettivi, $m\ge n$, è chiamato \emph{balanced} quando $m\le f(n)$, e \emph{unbalanced} quando $m>f(n)$, dove $f$ è la funzione definita da $f(0)=0$ e, per $n\ge 1$, $f(n)=2n-f(r)+r$, dove $r$ è il più grande intero tale che $r\le n$ e $f(r)\le n$.

Dato $\varphi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$, dimostrare che un gioco con punteggio $m$ a $n$, $m\ge n$, è equilibrato se e solo se $m\le \varphi n$, e squilibrato se e solo se $m\ge \varphi n+1$.

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