Olimpíada Brasileira de Matemática 2006 — Nível Universitário — Fase 1

Compute an improper integral involving exponential

Compute ${\int }_2^{\infty }\frac{e^x-1-x}{(e^x-1)\cdot x}dx.$

Topic: Insiemi e funzioni Metodo: Telescoping Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

*Calcolare un’integrale impropria con esponenziale *

Calcolo ${\int }_2^{\infty }\frac{e^x-1-x}{(e^x-1)\cdot x}dx.$

src_obm_2006_nu_f1__Q01

Volume of solid defined by floor sum condition

Let $N$ be a positive integer. Compute, as a function of $N$, the volume of the solid defined by $x,y,z\in [0,+\infty ),\lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor +\lfloor z\rfloor \le N.$

Topic: Combinatoria, Geometria solida Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Modellizzazione, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF

*Volume di solido definito con la somma del livello *

$N$ sia un numero intero positivo. Calcolare, come funzione di $N$, il volume del solido definito da $x,y,z\in [0,+\infty ),\lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor +\lfloor z\rfloor \le N.$

src_obm_2006_nu_f1__Q02

Bound f(x)<3/2 from ODE with initial conditions

Given $f:\mathbb{R}\to [0,+\infty )$ twice differentiable with $f(0)=0$, $f^{\prime }(0)=1$, and $1+f(x)=\frac{1}{f^{\prime }(x)}$, show that for all $x\in [0,1]$, $f(x)<\frac{3}{2}.$

Topic: Insiemi e funzioni, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Linghi f(x) <3/2 da ODE con condizioni iniziali

Dato che $f:\mathbb{R}\to [0,+\infty )$ è doppio differenziabile con $f(0)=0$, $f^{\prime }(0)=1$ e $1+f(x)=\frac{1}{f^{\prime }(x)}$, indicare che per tutti $x\in [0,1]$, $f(x)<\frac{3}{2}.$

src_obm_2006_nu_f1__Q03

Locus of midpoints of chords of a hyperbola parallel to a line

Given a hyperbola and a line not parallel to either asymptote, determine the locus of the midpoints of the chords of the hyperbola that are parallel to the given line.

Note: A chord of a hyperbola is a segment whose endpoints both belong to the hyperbola.

Topic: Geometria analitica Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Locus dei punti di mezzo degli accordi di un iperbola parallelo a una linea

Data un’iperbola e una linea non parallela ad alcuna di queste asintotte, determinare il locus dei punti medi degli accordi dell’iperbola che sono paralleli alla linea data.

**Nota: ** Una corda ** di un iperbola è un segmento i cui punti terminali appartengono entrambi all’iperbola.

src_obm_2006_nu_f1__Q04

Find a particular solution of a linear ODE with zero initial data

The functions $y_1(t)=(1+t^2)e^t$, $y_2(t)=(1+t^2)e^{-t}$, and $y_3(t)=(-1+t^2)e^{-t}$ are solutions of the differential equation $y^{\prime \prime }(t)+a(t)y^{\prime }(t)+b(t)y(t)=c(t),$ where $a(t)$, $b(t)$, $c(t)$ are twice differentiable functions.

Find a function $y(t)$ such that $y^{\prime \prime }(t)+a(t)y^{\prime }(t)+b(t)y(t)=c(t),y(0)=0,y^{\prime }(0)=0.$

Topic: Insiemi e funzioni, Algebra Metodo: Ricorsione, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Trova una soluzione particolare di un ODE lineare con dati iniziali zero

Le funzioni $y_1(t)=(1+t^2)e^t$, $y_2(t)=(1+t^2)e^{-t}$ e $y_3(t)=(-1+t^2)e^{-t}$ sono soluzioni dell’equazione differenziale $y^{\prime \prime }(t)+a(t)y^{\prime }(t)+b(t)y(t)=c(t),$ dove $a(t)$, $b(t)$, $c(t)$ sono funzioni doppiamente differenziabili.

Trova una funzione $y(t)$ tale da $y^{\prime \prime }(t)+a(t)y^{\prime }(t)+b(t)y(t)=c(t),y(0)=0,y^{\prime }(0)=0.$

src_obm_2006_nu_f1__Q05

Probability that minimum pairwise distance exceeds m

Choose three points $x_1,x_2,x_3$ at random, independently and with uniform distribution on $[0,1]$. Determine, as a function of the positive number $m$, the probability that $\min \{|x_1-x_2|,|x_1-x_3|,|x_2-x_3|\}>m.$

Topic: Probabilità, Geometria analitica Metodo: Casework, Coordinate, Inclusione-esclusione Abilita: Modellizzazione, Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF

Probabilità che la distanza minima in coppia superi m

Scegliere tre punti $x_1,x_2,x_3$ a caso, indipendentemente e con distribuzione uniforme su $[0,1]$. Determinare, in funzione del numero positivo $m$, la probabilità che $\min \{|x_1-x_2|,|x_1-x_3|,|x_2-x_3|\}>m.$

src_obm_2006_nu_f1__Q06