Olimpíada Brasileira de Matemática 2006 — Nível Universitário — Fase 2

Prove integral inequality for increasing integrable function

Let $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ be an integrable and increasing function. Prove that ${\int }_0^{1}xf(x)dx\ge \frac{1}{2}{\int }_0^{1}f(x)dx.$

Topic: Insiemi e funzioni, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Prove la disuguaglianza integrale per aumentare la funzione integrabile

Che la funzione $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ sia integrabile e in aumento. Provare che ${\int }_0^{1}xf(x)dx\ge \frac{1}{2}{\int }_0^{1}f(x)dx.$

src_obm_2006_nu_f2__Q01

Count 2x2 integer matrices with determinant kn+1 mod n

Prove that, for every integer $n\ge 2$, the number of $2\times 2$ matrices with integer entries belonging to the set $\{0,1,2,\dots ,n-1\}$ whose determinant has the form $kn+1$ for some integer $k$ is equal to $n^3\cdot {\prod }_{\begin{array}{c}p\text{ prime}\\ p\mid n\end{array}}\left(1-\frac{1}{p^2}\right).$

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Congruenze, Conteggio, Inclusione-esclusione Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Contare matrici interi 2x2 con determinante kn+1 mod n

Prova che, per ogni intero $n\ge 2$, il numero di matrici $2\times 2$ con voci di numeri interi appartenenti al insieme $\{0,1,2,\dots ,n-1\}$ il cui determinante ha la forma $kn+1$ per un certo intero $k$ è uguale a $n^3\cdot {\prod }_{\begin{array}{c}p\text{ prime}\\ p\mid n\end{array}}\left(1-\frac{1}{p^2}\right).$

src_obm_2006_nu_f2__Q02

Billiard on elliptic table: prove ball returns to B after A-B-C-A path

A billiard table has the shape of an ellipse and has no pockets. When a ball hits a point $P$ on the edge of the table, it follows a direction symmetric with respect to the normal to the ellipse at $P$. Prove that if a ball starts from a point $A$ on the ellipse and, after bouncing at points $B$ and $C$, returns to $A$, then it will bounce at $B$ again.

Topic: Geometria piana, Geometria analitica Metodo: Simmetria, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Billiard su tavola ellittica: prova che la palla ritorna a B dopo il percorso A-B-C-A

Un tavolo da biliardo ha la forma di un’ellisse e non ha tasche. Quando una palla colpisce un punto $P$ sul bordo della tavola, segue una direzione simmetrica rispetto alla normale all’ellisse a $P$. Prova che se una palla parte da un punto $A$ sull’ellisse e, dopo essere rimbalzata ai punti $B$ e $C$, ritorna a $A$, rimbalzerà di nuovo a $B$.

src_obm_2006_nu_f2__Q03

Irreducible polynomial over Q with product-1 roots has even degree

Let $p$ be an irreducible polynomial in $\mathbb{Q}[x]$ with rational coefficients and degree greater than $1$. Prove that if $p$ has two roots $r$ and $s$ whose product is $1$ (i.e., $rs=1$), then the degree of $p$ is even.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Induzione Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Il polinomio irriducibile su Q con radici del prodotto-1 ha grado pari

Che $p$ sia un polinomio irriducibile in $\mathbb{Q}[x]$ con coefficienti razionali e grado superiore a $1$. Prova che se $p$ ha due radici $r$ e $s$ il cui prodotto è $1$ (cioè $rs=1$), allora il grado di $p$ è pari.

src_obm_2006_nu_f2__Q04

Series 1/f(n) converges iff series f^{-1}(n)/n^2 converges

Let $f:[0,+\infty )\to [0,+\infty )$ be an increasing and bijective function. Prove that the series $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{f(n)}$ converges if and only if the series $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{f^{-1}(n)}{n^2}$ converges, where $f^{-1}$ denotes the inverse function of $f$.

Topic: Insiemi e funzioni, Algebra Metodo: Telescoping, Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Serie 1/f(n) converge se serie f^{-1}(n)/n^2 converge

Lasciate che $f:[0,+\infty )\to [0,+\infty )$ sia una funzione crescente e bijectiva. Prova che la serie $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{f(n)}$ converge se e solo se la serie $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{f^{-1}(n)}{n^2}$ converge, dove $f^{-1}$ indica la funzione inversa di $f$.

src_obm_2006_nu_f2__Q05

No integer alternating product of A^a_i B^b_i equals identity for n>1

Consider the matrices $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)\text{and}B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& 1\end{array}\right).$ Prove that, for $n>1$, there do not exist integers $a_1,a_2,a_3,\dots ,a_n$ and $b_1,b_2,\dots ,b_{n-1},b_n$ with $a_2,a_3,\dots ,a_n$ and $b_1,b_2,\dots ,b_{n-1}$ all nonzero, such that $A^{a_1}\cdot B^{b_1}\cdot A^{a_2}\cdot B^{b_2}\cdots A^{a_n}\cdot B^{b_n}=I,$ where $I$ is the $2\times 2$ identity matrix.

Topic: Algebra, Combinatoria Metodo: Invarianti, Induzione Abilita: Astrazione, Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Nessun prodotto intero alternativo di A^a_i B^b_i è uguale all’identità per n>1

Considera le matrici $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)\text{and}B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& 1\end{array}\right).$ Prove che, per $n>1$, non esistono numeri interi $a_1,a_2,a_3,\dots ,a_n$ e $b_1,b_2,\dots ,b_{n-1},b_n$ con $a_2,a_3,\dots ,a_n$ e $b_1,b_2,\dots ,b_{n-1}$ tutti non zero, in modo tale che $A^{a_1}\cdot B^{b_1}\cdot A^{a_2}\cdot B^{b_2}\cdots A^{a_n}\cdot B^{b_n}=I,$ dove $I$ è la matrice di identità $2\times 2$.

src_obm_2006_nu_f2__Q06