Olimpíada Brasileira de Matemática 2007 — Nível 1 — Fase 1

Pattern in products of 101 by repunits; digit sum for 2007 ones

Observe the following multiplications: $101\times 11=1111$ $101\times 111=11211$ $101\times 1111=112211$ $101\times 11111=1122211$ $\dots$ What is the sum of the digits of the number obtained when we multiply $101$ by the number $\underset{2007}{\underbrace{11111\dots 1}}$ (the number formed by $2007$ ones)?

(A) $1001$ \quad (B) $2007$ \quad (C) $2009$ \quad (D) $4008$ \quad (E) $4014$

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio Abilita: Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: E Fonte: apri PDF

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Modello nei prodotti di 101 con puniti; somma a cifre per quelli del 2007

Osservare le seguenti moltiplicazioni: $101\times 11=1111$ $101\times 111=11211$ $101\times 1111=112211$ $101\times 11111=1122211$ $\dots$ Qual è la somma delle cifre del numero ottenuto quando moltiplicano $101$ per il numero $\underset{2007}{\underbrace{11111\dots 1}}$ (il numero formato da $2007$)?

(A) $1001$ \quad (B) $2007$ \quad (C) $2009$ \quad (D) $4008$ \quad (E) $4014$

Risposta: E src_obm_2007_n1_f1__Q01

Count three-digit positive integers whose digit sum equals 4

How many positive integers with three digits have the sum of their digits equal to $4$? Observation: remember that none of the zeros on the left counts as a digit; for example, the number $031$ has two digits.

(A) 4 \quad (B) 6 \quad (C) 7 \quad (D) 10 \quad (E) 12

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: D Fonte: apri PDF

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Contare numeri interi positivi a tre cifre la cui somma digitale è uguale a 4

Quanti numeri interi positivi a tre cifre hanno la somma delle loro cifre uguale a $4$? Osservazione: ricordate che nessuno dei zero a sinistra conta come una cifra; ad esempio, il numero $031$ ha due cifre.

(A) 4 \quad (B) 6 \quad (C) 7 \quad (D) 10 \quad (E) 12

Risposta: D src_obm_2007_n1_f1__Q02

Square (two unit squares give perimeter 18) then 144 in a row; find perimeter

By joining two equal squares side by side, a rectangle is formed whose perimeter is $18$ cm. Now, by joining $144$ of these squares side by side, in a single row, we form a rectangle with width and length different. What is the perimeter of this last rectangle, in cm?

(A) 1300 \quad (B) 1308 \quad (C) 1400 \quad (D) 1500 \quad (E) 1512

Topic: Geometria piana, Teoria dei Numeri Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

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Quadrato (due unità di quadrato danno perimetro 18) quindi 144 in fila; trovare perimetro

Unendo due quadrati uguali fianco a fianco, si forma un rettangolo il cui perimetro è $18$ cm. Ora, unendo $144$ di questi quadrati fianco a fianco, in una singola riga, formiamo un rettangolo con larghezza e lunghezza diverse. Qual è il perimetro di questo ultimo rettangolo, in cm?

(A) 1300 \quad (B) 1308 \quad (C) 1400 \quad (D) 1500 \quad (E) 1512

src_obm_2007_n1_f1__Q03

Two overlapping squares of area 100 with total perimeter 50; find common area

The figure beside is formed by two squares, each of area $100{\text{ cm}}^2$, partially overlapping, in such a way that the perimeter of the figure (the thick line) is equal to $50$ cm. What is the area of the region common to the two squares, in ${\text{cm}}^2$?

(A) 20 \quad (B) 25 \quad (C) 30 \quad (D) 40 \quad (E) 50

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

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Due quadrati che si sovrappongono di area 100 con perimetro totale 50; trovare area comune

La figura accanto è formata da due quadrati, ciascuno di superficie $100{\text{ cm}}^2$, in parte sovrapposti, in modo tale che il perimetro della figura (la linea spessa) sia uguale a $50$ cm. Qual è l’area della regione comune ai due quadrati, in ${\text{cm}}^2$?

(A) 20 \quad (B) 25 \quad (C) 30 \quad (D) 40 \quad (E) 50

src_obm_2007_n1_f1__Q04

Sum of odd numbers up to 2007 minus sum of even numbers up to 2006

The sum of all positive odd numbers up to $2007$ minus the sum of all positive even numbers up to $2006$ is equal to:

(A) 1003 \quad (B) 1004 \quad (C) 2005 \quad (D) 2006 \quad (E) 2007

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Telescoping Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: B Fonte: apri PDF

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Summa di numeri unici fino al 2007 meno somma di numeri pari fino al 2006

La somma di tutti i numeri unici positivi fino a $2007$ meno la somma di tutti i numeri pari positivi fino a $2006$ è uguale a:

(A) 1003 \quad (B) 1004 \quad (C) 2005 \quad (D) 2006 \quad (E) 2007

Risposta: B src_obm_2007_n1_f1__Q05

Two clocks one fast one slow set by Silvia’s; find Cristina’s time when Silvia’s shows 10h

Silvia thought her watch was $10$ minutes slow, when in fact it was $5$ minutes fast. Cristina thought her watch was $10$ minutes fast, when in fact it was $5$ minutes slow. At the same moment, the two friends arranged to meet, agreeing to set their watches by Silvia’s. Then, as agreed, when Silvia’s watch marked $10$ o’clock, Cristina arrived. At that moment, according to Cristina’s watch, what time was it?

(A) $9\text{h}30\text{min}$ \quad (B) $9\text{h}50\text{min}$ \quad (C) $10\text{h}$ \quad (D) $10\text{h}10\text{min}$ \quad (E) $10\text{h}15\text{min}$

Topic: Teoria dei Numeri, Logica Metodo: Casework Abilita: Lettura attenta, Modellizzazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

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Due orologi, uno veloce e uno lento, impostato da Silvia. Trova l’ora di Cristina quando Silvia mostra le 10h.

Silvia pensava che il suo orologio fosse $10$ minuti lento, quando in realtà era $5$ minuti veloce. Cristina pensava che il suo orologio fosse $10$ minuti veloce, quando in realtà era $5$ minuti lento. Nello stesso momento, i due amici si trovarono insieme e concordarono di fissare gli orologi presso Silvia. Poi, come era stato concordato, quando l’orologio di Silvia segnò l’ora $10$, Cristina arrivò. In quel momento, secondo l’orologio di Cristina, che ore erano?

(A) $9\text{h}30\text{min}$ \quad (B) $9\text{h}50\text{min}$ \quad (C) $10\text{h}$ \quad (D) $10\text{h}10\text{min}$ \quad (E) $10\text{h}15\text{min}$

src_obm_2007_n1_f1__Q06

Fraction a/b between 0 and 1/7 from number line position; find possible a+b

The fraction $\frac{a}{b}$, where $a$ and $b$ are positive integers, represents a number between $0$ and $\frac{1}{7}$, in the position shown in the diagram beside. What is a possible value for the sum $a+b$?

(A) 1 \quad (B) 2 \quad (C) 3 \quad (D) 4 \quad (E) 5

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Lettura attenta, Stima Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

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Fraczione a/b tra 0 e 1/7 dalla posizione della linea di numero; trovare possibile a+b

La frazione $\frac{a}{b}$, in cui $a$ e $b$ sono numeri interi positivi, rappresenta un numero tra $0$ e $\frac{1}{7}$, nella posizione mostrata nel diagramma accanto. Qual è il valore possibile della somma $a+b$?

(A) 1 \quad (B) 2 \quad (C) 3 \quad (D) 4 \quad (E) 5

src_obm_2007_n1_f1__Q07

Olympiad: 15% none, 25% partial, 156 solved all; find total participants

In an olympiad test, $15\%$ of the students solved no problem, $25\%$ solved at least one problem but made some mistake, and the rest, $156$ students, solved all the problems correctly. The number of students who participated in the olympiad was:

(A) 200 \quad (B) 260 \quad (C) 93 \quad (D) 223 \quad (E) 300

Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: B Fonte: apri PDF

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Olimpiade: 15% nessuna, 25% parziale, 156 risolti tutti; trovare il totale dei partecipanti

In un test olimpiatico, $15\%$ degli studenti non ha risolto alcun problema, $25\%$ ha risolto almeno un problema ma ha commesso qualche errore, e il resto, $156$ degli studenti, ha risolto tutti i problemi correttamente. Il numero di studenti che hanno partecipato alle Olimpiadi è stato:

A) 200 \quad (B) 260 \quad (C) 93 \quad (D) 223 \quad (E) 300

Risposta: B src_obm_2007_n1_f1__Q08

Ratio men:women = 2:3, women:children = 4:1; find men:children

In a certain city, the ratio between the number of men and the number of women is $2:3$, and that between the number of women and the number of children is $4:1$. The ratio between the number of men and the number of children is:

(A) $5:1$ \quad (B) $16:1$ \quad (C) $12:1$ \quad (D) $40:3$ \quad (E) $13:1$

Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

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Relazione uomini: donne = 2:3, donne: bambini = 4:1; trovare uomini: bambini*

In una determinata città, il rapporto tra il numero di uomini e il numero di donne è $2:3$, e quello tra il numero di donne e il numero di bambini è $4:1$. Il rapporto tra il numero di uomini e il numero di bambini è:

(A) $5:1$ \quad (B) $16:1$ \quad (C) $12:1$ \quad (D) $40:3$ \quad (E) $13:1$

src_obm_2007_n1_f1__Q09

Equilateral triangle side parallel to square side; find angle x

In the figure, side $\overline{AB}$ of the equilateral triangle $ABC$ is parallel to side $\overline{DG}$ of the square $DEFG$. What is the value of the angle $x$?

(A) $80^{\circ }$ \quad (B) $90^{\circ }$ \quad (C) $100^{\circ }$ \quad (D) $110^{\circ }$ \quad (E) $120^{\circ }$

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

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L’angolo del triangolo equilaterale parallelo al lato quadrato; trovare angolo x

Nella figura, il lato $\overline{AB}$ del triangolo equilaterale $ABC$ è parallelo al lato $\overline{DG}$ del quadrato $DEFG$. Qual è il valore dell’angolo $x$?

(A) $80^{\circ }$ \quad (B) $90^{\circ }$ \quad (C) $100^{\circ }$ \quad (D) $110^{\circ }$ \quad (E) $120^{\circ }$

src_obm_2007_n1_f1__Q10

CD store multiplies prices by 0.68; find discount percentage

A CD store is going to hold a liquidation and, for that, the manager asked Anderlaine to multiply all the prices by $0.68$. In this liquidation, the store is offering a discount of:

(A) $68\%$ \quad (B) $6.8\%$ \quad (C) $0.68\%$ \quad (D) $3.2\%$ \quad (E) $32\%$

Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: E Fonte: apri PDF

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*CD store moltiplica i prezzi di 0,68; trovare percentuale di sconto *

Un negozio di CD sta per organizzare una liquidazione e, per questo, il gestore ha chiesto a Anderlaine di moltiplicare tutti i prezzi per $0.68$. In questa liquidazione, il negozio offre uno sconto di:

(A) $68\%$ \quad (B) $6.8\%$ \quad (C) $0.68\%$ \quad (D) $3.2\%$ \quad (E) $32\%$

Risposta: E src_obm_2007_n1_f1__Q11

Queue: 7 people separate them, 6 behind Esmeralda, 2 enter between; find Esmeralda’s position

Esmeralda and Perola are in a queue. Perola notices that $7$ people separate them and that there are $6$ people behind Esmeralda. Two extra people then enter the queue between Esmeralda and Perola. The numbers below could be Esmeralda’s position counting from the front of the queue, except:

(A) 9 \quad (B) 11 \quad (C) 13 \quad (D) 14 \quad (E) 15

Topic: Combinatoria, Logica Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Lettura attenta, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

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Queue: 7 people separate them, 6 behind Esmeralda, 2 enter between; find Esmeralda’s position

Esmeralda and Perola are in a queue. Perola notices that $7$ people separate them and that there are $6$ people behind Esmeralda. Two extra people then enter the queue between Esmeralda and Perola. The numbers below could be Esmeralda’s position counting from the front of the queue, except:

(A) 9 \quad (B) 11 \quad (C) 13 \quad (D) 14 \quad (E) 15

src_obm_2007_n1_f1__Q12

Fill table cells with product of row and column headers; count odd-numbered cells

Fill the empty cells of the table with the product of the numbers of the corresponding row and column. How many cells will contain odd numbers?

(A) 6 \quad (B) 7 \quad (C) 12 \quad (D) 14 \quad (E) 26

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Conteggio, Congruenze Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

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Celle di riempimento della tabella con il prodotto delle intestazioni delle righe e delle colonne; contare le celle a numero odd

Riempire le celle vuote della tabella con il prodotto dei numeri della corrispondente riga e colonna. Quante cellule contengono numeri odd?

(A) 6 \quad (B) 7 \quad (C) 12 \quad (D) 14 \quad (E) 26

src_obm_2007_n1_f1__Q13

Bottle fills 3 large + half small, or 5 small + half large; ratio small:large

The contents of a bottle of soft drink fill three large glasses and one more half of a small glass; or $5$ of these small glasses and one more half of a large glass. What is the ratio between the volume of a small glass and the volume of a large one?

(A) $\frac{3}{5}$ \quad (B) $\frac{5}{7}$ \quad (C) $\frac{7}{10}$ \quad (D) $\frac{5}{9}$ \quad (E) $\frac{3}{7}$

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Abilita: Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

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La bottiglia riempie 3 grandi + metà piccole, o 5 piccole + metà piccole; rapporto piccolo: grande

Il contenuto di una bottiglia di bicchieri non alcoolici riempie tre grandi bicchieri e un altro mezzo di un bicchiere piccolo; o $5$ di questi bicchieri piccoli e un altro mezzo di un bicchiere grande. Qual è il rapporto tra il volume di un bicchiere piccolo e quello di un bicchiere grande?

(A) $\frac{3}{5}$ \quad (B) $\frac{5}{7}$ \quad (C) $\frac{7}{10}$ \quad (D) $\frac{5}{9}$ \quad (E) $\frac{3}{7}$

src_obm_2007_n1_f1__Q14

Barcode of black/white bars with three widths; count codes for thin/medium/thick separated by thin whites

A barcode is formed by vertical black bars of three different widths. Two black bars are always separated by a white bar, also of three different widths. The code starts and ends with a black bar, as in the example below. Considering the code $S$, formed by a thin black bar, a medium one and a thick one, separated by thin white bars, how many different codes $S$ can be formed?

(A) 4 \quad (B) 6 \quad (C) 12 \quad (D) 24 \quad (E) 36

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

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Codice a barre di barre in bianco e nero con tre larghezze; codici di conteggio per quelle sottili/mediche/spesse separate da sottili bianchi

Un codice a barre è formato da barre nere verticali di tre larghezze diverse. Due barre nere sono sempre separate da una barra bianca, anche di tre larghezze diverse. Il codice inizia e termina con una barra nera, come nell’esempio di seguito. Considerando il codice $S$, formato da una sottile barra nera, una media e una spessa, separata da sottili barre bianche, quanti codici $S$ possono essere formati?

(A) 4 \quad (B) 6 \quad (C) 12 \quad (D) 24 \quad (E) 36

src_obm_2007_n1_f1__Q15

Grid of 1 cm2 squares; segments join midpoints to spell OBM; find shaded area

In the grid, each little square has area $1{\text{ cm}}^2$. Segments join midpoints of the sides of the squares at the center of each small square, forming the word OBM. What is the area occupied by the OBM logo, in ${\text{cm}}^2$?

(A) 28 \quad (B) 32 \quad (C) 33 \quad (D) 34 \quad (E) 35

Topic: Geometria piana Metodo: Conteggio Abilita: Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico Area: Geometria Fonte: apri PDF

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Griglia di 1 cm2 quadrati; segmenti che si uniscono ai punti di mezzo per scrivere OBM; trovare area ombrata

Nella griglia, ogni piccolo quadrato ha area $1{\text{ cm}}^2$. I segmenti si uniscono ai punti medi dei lati dei quadrati al centro di ogni piccolo quadrato, formando la parola OBM. Qual è la superficie occupata dal logo OBM, in ${\text{cm}}^2$?

(A) 28 \quad (B) 32 \quad (C) 33 \quad (D) 34 \quad (E) 35

src_obm_2007_n1_f1__Q16

Guessing game: number 10-99, told tens digit; max attempts needed

Lina and Lana play in the following way: the first one thinks of a number from $10$ to $99$ and says only the number of tens of the number. Then the second one tries to guess that number. What is the largest number of attempts that the second one may need to make?

(A) 7 \quad (B) 8 \quad (C) 9 \quad (D) 10 \quad (E) 11

Topic: Combinatoria, Logica Metodo: Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

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Gioco di indovinamento: numero 10-99, detto decine di cifre; massimo tentativi necessari

Lina e Lana giocano in questo modo: il primo pensa a un numero da $10$ a $99$ e dice solo il numero delle decine del numero. Poi il secondo cerca di indovinare quel numero. Qual è il maggior numero di tentativi che il secondo potrebbe dover fare?

(A) 7 \quad (B) 8 \quad (C) 9 \quad (D) 10 \quad (E) 11

src_obm_2007_n1_f1__Q17

Trip 12 min at 80 km/h, then 15 min lost; find speed to still arrive on time

Inacio thought it would take $12$ minutes to finish a trip, driving at $80$ km/h on a certain highway. With a surprise, he lost $15$ minutes. At what constant speed should he drive on that highway so that the trip would still be completed within the planned time?

(A) $90\text{ km/h}$ \quad (B) $95\text{ km/h}$ \quad (C) $100\text{ km/h}$ \quad (D) $110\text{ km/h}$ \quad (E) $120\text{ km/h}$

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Abilita: Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

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Viaggiare 12 minuti a 80 km/h, quindi 15 minuti persi; trovare velocità per arrivare ancora in tempo

Inacio pensava che ci sarebbero voluti $12$ minuti per finire un viaggio, guidando a $80$ km/h su una determinata autostrada. Con una sorpresa, ha perso $15$ minuti. A che velocità costante dovrebbe guidare su quella autostrada affinché il viaggio sia ancora completato entro il tempo previsto?

(A) $90\text{ km/h}$ \quad (B) $95\text{ km/h}$ \quad (C) $100\text{ km/h}$ \quad (D) $110\text{ km/h}$ \quad (E) $120\text{ km/h}$

src_obm_2007_n1_f1__Q18

Bar chart: percent correct over 60 tests, 50 questions; find average wrong questions

The graph beside shows the percentage of correct answers over $60$ tests taken by the finalist candidates in a contest. Knowing that the test had $50$ questions, what was the average number of wrong questions among these candidates in this test?

(A) 14 \quad (B) 24 \quad (C) 30 \quad (D) 32 \quad (E) 40

Topic: Teoria dei Numeri, Probabilità Metodo: Conteggio Abilita: Lettura attenta, Stima Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

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Grafico a barre: percentuale di correttezza su 60 test, 50 domande; trovare domande sbagliate medie

Il grafico accanto mostra la percentuale di risposte corrette sui test $60$ presi dai candidati finalisti in un concorso. Sapendo che il test conteneva domande $50$, quale era il numero medio di domande sbagliate tra questi candidati in questo test?

(A) 14 \quad (B) 24 \quad (C) 30 \quad (D) 32 \quad (E) 40

src_obm_2007_n1_f1__Q19

Units digit of 13^1+13^2+…+13^2007

On performing the sum $13^1+13^2+13^3+\cdots +13^{2006}+13^{2007}$ we obtain an integer number. What is the units digit of this number?

(A) 1 \quad (B) 3 \quad (C) 5 \quad (D) 7 \quad (E) 9

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

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Unità di 13^1+13^2+…+13^2007

Quando si esegue la somma $13^1+13^2+13^3+\cdots +13^{2006}+13^{2007}$ si ottiene un numero intero. Qual è la cifra di unità di questo numero?

(A) 1 \quad (B) 3 \quad (C) 5 \quad (D) 7 \quad (E) 9

src_obm_2007_n1_f1__Q20