Olimpíada Brasileira de Matemática 2007 — Nível 1 — Fase 2

Count the total number of digits of a number built from repeated blocks 10100.

A number $N$ is formed by equal blocks, each of the form "$10100$". Knowing that the number $N$ has $101$ digits, it is formed by $20$ complete blocks plus one extra leading digit, and the sum of the digits of each block equals $1+0+1+0+0=2$. Determine the value of the total number of digits of $N$ (the requested quantity equals $20\times 2+1=41$).

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 41 Fonte: apri PDF

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Contare il numero totale di cifre di un numero costruito da blocchi ripetuti 10100.

Un numero $N$ è formato da blocchi uguali, ognuno della forma "$10100$". Sapendo che il numero $N$ ha cifre $101$, esso è formato da blocchi completi $20$ più una cifra principale in più, e la somma delle cifre di ogni blocco è uguale a $1+0+1+0+0=2$. Determinare il valore del numero totale di cifre di $N$ (la quantità richiesta è uguale a $20\times 2+1=41$).

Risposta: 41 src_obm_2007_n1_f2__Q01

A square sheet is folded twice; find the area of the resulting convex pentagon.

A square sheet of paper, of area $300{\text{ cm}}^2$, is folded along a first fold and then along a second fold, as shown in the figures (left: before the first fold; right: after the folds). One can verify that $CE=EA$ and $CF=FA$, and by a property of the fold the segment $FE$ is perpendicular to the segment $AC$; these segments cross at their midpoints, so the triangles $EBC$ and $AECF$-parts are congruent and the quadrilateral $AECF$ is composed of congruent triangles. Determine the area, in ${\text{cm}}^2$, of the resulting convex pentagon $BEF{E}^{\prime }{B}^{\prime }$ (the requested value equals $\frac{15\times 20}{2}=150{\text{ cm}}^2$).

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Risposta: 150 Fonte: apri PDF

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Un foglio quadrato viene piegato due volte; trova l’area del pentagono convexo risultante.

Un foglio quadrato di carta, di superficie $300{\text{ cm}}^2$, viene ripiegato lungo il primo ripiegamento e poi lungo il secondo ripiegamento, come mostrato nelle figure (a sinistra: prima del primo ripiegamento; a destra: dopo i ripiegamenti). Si può verificare che $CE=EA$ e $CF=FA$, e con una proprietà del piego il segmento $FE$ è perpendicolare al segmento $AC$; questi segmenti si incrociano ai loro punti di mezzo, quindi i triangoli $EBC$ e $AECF$-parti sono congruenti e il quadrilaterale $AECF$ è composto da triangoli congruenti. Determinare l’area, in ${\text{cm}}^2$, del pentagono convex risultante $BEF{E}^{\prime }{B}^{\prime }$ (il valore richiesto è uguale a $\frac{15\times 20}{2}=150{\text{ cm}}^2$).

Risposta: 150 src_obm_2007_n1_f2__Q02

In a number array each ring sum equals the square of its central cell; evaluate a ratio for 2007.

By the observed pattern, the sums are equal to the square of the central parcel (the one whose number of parcels to its left equals the number of parcels to its right). Hence, putting $A=2007^2$, evaluate $\frac{A}{223^2}=\frac{2007^2}{223^2}={\left(\frac{2007}{223}\right)}^2=9^2=81$. Determine this value (the answer is $81$).

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: 81 Fonte: apri PDF

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In un array numerico ogni somma di anello è uguale al quadrato della sua cella centrale; valutare un rapporto per 2007.

Secondo il modello osservato, le somme sono uguali al quadrato del pacco centrale (quello il cui numero di pacchi a sinistra è uguale al numero di pacchi a destra). Pertanto, mettendo $A=2007^2$, si valuta $\frac{A}{223^2}=\frac{2007^2}{223^2}={\left(\frac{2007}{223}\right)}^2=9^2=81$. Determinare questo valore (la risposta è $81$).

Risposta: 81 src_obm_2007_n1_f2__Q03

A rectangle is cut so the leftover sides are half the original; find the original perimeter.

A rectangular sheet of cardstock is cut; after the cuts the leftover piece has sides equal to half of the sides of the cardstock. Consequently the perimeter of that resulting piece is half the perimeter of the cardstock; and that resulting perimeter is $129$. Determine the perimeter of the cardstock before the cut (it equals $129\times 2=258$).

Topic: Geometria piana, Teoria dei Numeri Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 258 Fonte: apri PDF

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Un rettangolo viene tagliato in modo che i lati rimanenti siano la metà dell’originale; trovare il perimetro originale.

Si taglia un foglio rettangolare di cartone; dopo i tagli il pezzo rimanente ha lati uguali alla metà dei lati del cartone. Di conseguenza, il perimetro di quel pezzo risultante è la metà del perimetro del blocco di carta; e quel perimetro risultante è $129$. Determinare il perimetro del blocco di carta prima del taglio (equivalente a $129\times 2=258$).

Risposta: 258 src_obm_2007_n1_f2__Q04

25 wooden blocks are submerged in a 2 m cubic tank; find the new liquid level in cm.

The volume of each wooden block is $0.2\times 0.3\times 1.60=0.096{\text{ m}}^3$. The part of each block submerged in the liquid has volume $0.80\times 0.096{\text{ m}}^3$. The volume of liquid displaced by the $25$ blocks equals $25\times 0.80\times 0.096=1.92{\text{ m}}^3$. The reservoir is a cube of side $2\text{ m}$, so its base area is $4{\text{ m}}^2$; hence the rise of the level $h$ satisfies $4h=1.92⟺h=\frac{1.92}{4}=0.48\text{ m}=48\text{ cm}$. If the initial liquid level was $100\text{ cm}$, determine the new level of the liquid (it is $148\text{ cm}$).

Topic: Geometria solida, Teoria dei Numeri Abilita: Modellizzazione, Ragionamento geometrico Area: Geometria, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 148 Fonte: apri PDF

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25 blocchi di legno sono immersi in un serbatoio cubo di 2 m; trovare il nuovo livello di liquido in cm.

Il volume di ciascun blocco di legno è $0.2\times 0.3\times 1.60=0.096{\text{ m}}^3$. La parte di ciascun blocco immersa nel liquido ha un volume $0.80\times 0.096{\text{ m}}^3$. Il volume di liquido spostato dai blocchi $25$ è uguale a $25\times 0.80\times 0.096=1.92{\text{ m}}^3$. Il serbatoio è un cubo laterale $2\text{ m}$, quindi la sua superficie di base è $4{\text{ m}}^2$; quindi l’aumento del livello $h$ soddisfa $4h=1.92⟺h=\frac{1.92}{4}=0.48\text{ m}=48\text{ cm}$. Se il livello iniziale di liquido è stato $100\text{ cm}$, determinare il nuovo livello del liquido (è $148\text{ cm}$).

Risposta: 148 src_obm_2007_n1_f2__Q05

A column addition contains one wrongly written digit; correct it and compute a power.

In the addition below, on first inspection one may assume that the three digits on the right of all the numbers are written correctly, but one digit is written incorrectly. Among the digits, the $9$ is written incorrectly. By analysis, in the place of the wrong digit a $6$ must be placed, and a $2$ replaces it where required, so that the addition $\begin{array}{r}746586\\ +869430\\ 1616016\end{array}$ becomes correct. Making the substitution and checking that the rest fits, one obtains $a=2$. Determine the value of $a^6$ (we have $a^6=2^6=64$).

Topic: Teoria dei Numeri, Logica Metodo: Casework Abilita: Casework accurato, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 64 Fonte: apri PDF

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Un’aggiunta di colonne contiene una cifra scritta erroneamente; correggerla e calcolare una potenza.

Nell’aggiunta di seguito, al primo controllo si può presumere che le tre cifre a destra di tutti i numeri siano scritte correttamente, ma che una cifra sia scritta erroneamente. Tra le cifre, la $9$ è scritta erroneamente. In base all’analisi, al posto della cifra sbagliata deve essere inserita una $6$ e sostituita, se necessario, da una $2$, in modo che l’aggiunta $\begin{array}{r}746586\\ +869430\\ 1616016\end{array}$ sia corretta. Facendo la sostituzione e verificando che il resto si adatta, si ottiene $a=2$. Determinare il valore di $a^6$ (avemo $a^6=2^6=64$).

Risposta: 64 src_obm_2007_n1_f2__Q06

In a folded square with M the midpoint of CD, prove area relations and find area of triangle ADF.

Let $ABCD$ be a square of area $300{\text{ cm}}^2$, let $M$ be the midpoint of side $CD$, and let $F$ be the corresponding point of the configuration. We have $m(F\hat{M}C)=m(A\hat{M}D)$ (vertical angles), $m(A\hat{D}M)=m(F\hat{C}M)$ (since $ABCD$ is a square, these are right angles), and $MC=MD$ (since $M$ is the midpoint of $CD$); hence triangles $AMD$ and $FMC$ are congruent. (a) Show that $\text{area }△ABF=\text{area }△FMC+\text{area }△ABCM$, and, since $\text{area }△FMC=\text{area }△AMD$, conclude that $\text{area }△ABF=\text{area }△AMD+\text{area }△ABCM=\text{area }ABCD=300{\text{ cm}}^2$. (b) Since $AD=FC$, $CD$ is a common side, and $\hat{C}$ and $\hat{D}$ are right angles, conclude that triangles $FCD$ and $ADC$ are congruent, so $\text{area }△FCD=\frac{\text{area }ABCD}{2}$, and show that the area of triangle $ADF$ equals $\frac{300}{2}=150{\text{ cm}}^2$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Astrazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

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In un quadrato piegato con M il punto medio del CD, provare le relazioni di area e trovare l’area del triangolo ADF.

Let $ABCD$ essere un quadrato di area $300{\text{ cm}}^2$, let $M$ essere il punto medio del lato $CD$, e let $F$ essere il punto corrispondente della configurazione. Abbiamo $m(F\hat{M}C)=m(A\hat{M}D)$ (angoli verticali), $m(A\hat{D}M)=m(F\hat{C}M)$ (dal momento che $ABCD$ è un quadrato, questi sono angoli rettangolari), e $MC=MD$ (dal momento che $M$ è il punto medio di $CD$); quindi i triangoli $AMD$ e $FMC$ sono congruenti. a) Indicare che $\text{area }△ABF=\text{area }△FMC+\text{area }△ABCM$ e, dal momento che $\text{area }△FMC=\text{area }△AMD$, concludere che $\text{area }△ABF=\text{area }△AMD+\text{area }△ABCM=\text{area }ABCD=300{\text{ cm}}^2$. b) Poiché $AD=FC$, $CD$ è un lato comune e $\hat{C}$ e $\hat{D}$ sono angoli rettangolari, si conclude che i triangoli $FCD$ e $ADC$ sono congruenti, quindi $\text{area }△FCD=\frac{\text{area }ABCD}{2}$, e si dimostra che l’area del triangolo $ADF$ è uguale a $\frac{300}{2}=150{\text{ cm}}^2$.

src_obm_2007_n1_f2__Q07

Esmeralda has one mass each of 1..6; count how many distinct totals she can form.

Esmeralda has masses of $1,2,3,4,5$ and $6$ (one of each). Combining one or more of them, she can add $1,2,4,\dots$ obtaining all the weights from $1$ up to the total $1+2+3+4+5+6=21$. Determine how many different total weights (masses) Esmeralda can obtain (she can obtain $21$ different masses).

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 21 Fonte: apri PDF

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Esmeralda ha una massa di 1,6; contare quanti totali distinti può formare.

Esmeralda ha masse di $1,2,3,4,5$ e $6$ (una di ciascuna). Combinando uno o più di essi, può aggiungere $1,2,4,\dots$ ottenendo tutti i pesi da $1$ fino al totale $1+2+3+4+5+6=21$. Determinare quanti pesi totali (masse) Esmeralda può ottenere (può ottenere $21$ diverse masse).

Risposta: 21 src_obm_2007_n1_f2__Q08

In a number table, the diagonal-n sum is 2n+(n-1)k; find diagonal 9, diagonal 2007, and its remainder mod 100.

By examining the table, one can conclude that the sum of the elements on diagonal $n$ equals $2n+(n-1)k$, where $k$ is the units digit of the number $n$. For example, the diagonal numbered $4$ has sum $2\cdot 4+(4-1)\cdot 4=20$, etc. (a) Show that the sum of the elements on diagonal $9$ is $2\cdot 9+(9-1)\cdot 9=90$ (equivalently, the $9$ numbers from $1$ to $9$ on that diagonal give $10\cdot 9=90$). (b) Show that the sum on diagonal $2007$ is $2\cdot 2007+(2007-1)\cdot 7=4014+14042=18056$, and find the remainder of the division of this number by $100$ (the remainder is $56$).

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra, Combinatoria Metodo: Conteggio, Congruenze Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

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In una tabella di numeri, la somma di diagonale-n è 2n+(n-1) k; trovare la diagonale 9, la diagonale 2007, e il suo rimanente mod 100.

Esaminando la tabella, si può concludere che la somma degli elementi diagonali $n$ è uguale a $2n+(n-1)k$, dove $k$ è la cifra unità del numero $n$. Ad esempio, la diagonale numerata $4$ ha la somma $2\cdot 4+(4-1)\cdot 4=20$, ecc. (a) Indicare che la somma degli elementi della diagonale $9$ è $2\cdot 9+(9-1)\cdot 9=90$ (equivalentemente, i numeri $9$ da $1$ a $9$ di quella diagonale danno $10\cdot 9=90$). b) Indicare che la somma diagonale $2007$ è $2\cdot 2007+(2007-1)\cdot 7=4014+14042=18056$ e trovare il resto della divisione di questo numero per $100$ (il resto è $56$).

src_obm_2007_n1_f2__Q09