Olimpíada Brasileira de Matemática 2007 — Nível 1 — Fase 3

Count painted squares in grid pattern; find grid with 199 painted squares

Some squares of a grid with the same number of rows (horizontal lines) and columns (vertical lines) are painted black, following the pattern shown in the figure on page 1. The pattern is illustrated for a grid with 14 columns and 14 rows.

a) How many squares are painted in a $14\times 14$ grid (with 14 rows and 14 columns)?

b) How many rows does a grid have if it contains 199 painted squares?

(The pattern consists of a staircase-shaped border along the top and right side of the grid, as shown in the accompanying figure.)

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Conta i quadrati verniciati nel modello della griglia; trova la griglia con 199 quadrati verniciati

Alcuni quadrati di una griglia con lo stesso numero di righe (linee orizzontali) e colonne (linee verticali) sono dipinti in nero, seguendo il modello mostrato nella figura di pagina 1. Il modello è illustrato per una griglia con 14 colonne e 14 righe.

a) Quanti quadrati sono dipinti in una griglia $14\times 14$ (con 14 righe e 14 colonne)?

b) Quante righe ha una griglia se contiene 199 quadrati dipinti?

(Il modello è costituito da un confine a forma di scala lungo il lato superiore e destro della griglia, come mostrato nella figura che lo accompagna.)

src_obm_2007_n1_f3__Q01

Two rugs cover 81 m² floor; rug B area double rug A; find uncovered floor area

A square room with $81{\text{ m}}^2$ of floor area has its floor entirely covered by two rectangular rugs A and B, which overlap as shown in figure (1). At a certain moment, rug B is slid and rotated $90^{\circ }$, being placed on top of rug A as indicated in figure (2).

Knowing that the area of rug B is double the area of rug A, calculate the area (in ${\text{m}}^2$) of the part of the floor that became uncovered after rug B was moved.

Topic: Geometria piana, Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Geometria, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Due tappeti coprono 81 m2 di pavimento; tappeto B area duplice tappeto A; trovare la superficie del pavimento non coperta

Una stanza quadrata con $81{\text{ m}}^2$ di superficie del pavimento ha il pavimento completamente coperto da due tappeti rettangolari A e B, che si sovrappongono come mostrato alla figura (1). In un certo momento, il tappeto B viene scivolato e ruotato $90^{\circ }$, posizionandolo sopra il tappeto A come indicato nella figura (2).

Sapendo che l’area del tappeto B è doppia dell’area del tappeto A, calcolare l’area (in ${\text{m}}^2$) della parte del pavimento che è diventata scoperta dopo che il tappeto B è stato spostato.

src_obm_2007_n1_f3__Q02

Three face-down cards with distinct positive integers summing to 13 increasing left to right; deduce middle card

On one face of each of three cards a positive integer is written. The cards were then placed face-down on a table, side by side.

Arnaldo, Bernaldo, and Cernaldo know that:

I. The numbers on the three cards are all different.

II. The sum of the three numbers is 13.

III. The numbers increase from left to right.

a) Considering conditions I, II, and III, list all possible numberings of the cards.

b) Now they wish to discover the numbers written on the cards. First, Arnaldo lifts the leftmost card and says he cannot determine the numbers on the other two cards from the information available. Then Bernaldo lifts the rightmost card and also says he cannot discover the numbers on the other two cards. The same happens with Cernaldo, who lifts the middle card and says he too cannot discover the numbers on the other two cards.

Knowing that all three hear what the others say, but cannot see the card the other person is looking at, what number is written on the middle card?

Topic: Logica, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Backward Abilita: Casework accurato, Lettura attenta, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Tre carte a faccia in giù con diversi numeri interi positivi che sommano a 13 aumentando da sinistra a destra; dedurre la carta centrale

Su una faccia di ciascuna delle tre carte è scritto un intero positivo. Le carte venivano poi poste faccia a faccia su un tavolo, fianco a fianco.

Arnaldo, Bernaldo e Cernaldo sanno che:

I. I numeri delle tre carte sono tutti diversi.

II. La somma dei tre numeri è 13.

III. I numeri aumentano da sinistra a destra.

a) Considerando le condizioni I, II e III, elencare tutte le possibili numerazioni delle carte.

b) Ora desiderano scoprire i numeri scritti sulle carte. In primo luogo, Arnaldo solleva la carta più sinistra e dice di non poter determinare i numeri delle altre due carte dalle informazioni disponibili. E Bernaldo solleva la carta più a destra e dice che non riesce a scoprire i numeri delle altre due carte. Lo stesso accade con Cernaldo, che solleva la carta centrale e dice di non poter trovare i numeri delle altre due carte.

Sapendo che tutti e tre sentono quello che gli altri dicono, ma non vedono la carta che l’altra persona sta guardando, quale numero è scritto sulla carta centrale?

src_obm_2007_n1_f3__Q03

Construct tables of natural numbers whose row and column sums are exactly 1 through n; determine feasibility

Consider the following table with four rows (horizontal lines) and four columns (vertical lines), filled with natural numbers, where repetitions are allowed:

$\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 3\\ 5& 1& 2& 4\\ 1& 1& 2& 3\\ 6& 1& 4& 0\end{array}$

When we sum each of its rows (L1, L2, L3, L4) and columns (C1, C2, C3, C4), we obtain 8 distinct numbers: $3,4,7,8,10,11,12,13$. As shown in the table below:

$\begin{array}{cccccc}& C1& C2& C3& C4& \text{Row sum}\\ L1& 1& 0& 0& 3& 4\\ L2& 5& 1& 2& 4& 12\\ L3& 1& 1& 2& 3& 7\\ L4& 6& 1& 4& 0& 11\\ \text{Col sum}& 13& 3& 8& 10& \end{array}$

Determine, if possible:

a) A table with 4 rows and 4 columns, formed by natural numbers (repetitions of numbers are allowed), in which the row and column sums are exactly the numbers 1 to 8.

b) A table with 8 rows and 8 columns, formed by natural numbers (repetitions allowed), in which the row and column sums are exactly the numbers 1 to 16.

c) A table with 9 rows and 9 columns, formed by natural numbers (repetitions allowed), in which the row and column sums are exactly the numbers 1 to 18.

Note: If it is impossible to construct some table, you must explain why.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Invarianti, Conteggio, Casework Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Construire tabelle di numeri naturali le cui somme di righe e colonne sono esattamente da 1 a n; determinare la fattibilità

Considerate la seguente tabella con quattro righe (linee orizzontali) e quattro colonne (linee verticali), riempite di numeri naturali, in cui le ripetizioni sono ammesse:

$\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 3\\ 5& 1& 2& 4\\ 1& 1& 2& 3\\ 6& 1& 4& 0\end{array}$

Quando sommiamo ciascuna delle sue righe (L1, L2, L3, L4) e colonne (C1, C2, C3, C4), otteniamo 8 numeri distinti: $3,4,7,8,10,11,12,13$. Come mostrato nella tabella seguente:

$\begin{array}{cccccc}& C1& C2& C3& C4& \text{Row sum}\\ L1& 1& 0& 0& 3& 4\\ L2& 5& 1& 2& 4& 12\\ L3& 1& 1& 2& 3& 7\\ L4& 6& 1& 4& 0& 11\\ \text{Col sum}& 13& 3& 8& 10& \end{array}$

Determinare, se possibile:

a) Una tabella con 4 righe e 4 colonne, costituita da numeri naturali (si consentono ripetizioni di numeri), in cui la somma della riga e della colonna è esattamente il numero da 1 a 8.

b) Una tabella con 8 righe e 8 colonne, costituita da numeri naturali (si consentono ripetizioni), in cui la somma delle righe e delle colonne è esattamente il numero da 1 a 16.

c) Una tabella con 9 righe e 9 colonne, costituita da numeri naturali (si consentono ripetizioni), in cui la somma delle righe e delle colonne è esattamente il numero da 1 a 18.

**Nota: ** Se non è possibile costruire una tabella, è necessario spiegare il motivo.

src_obm_2007_n1_f3__Q04

Digit sum of 9 times product of 2007-digit repunit fives and twos

Let $A=\underset{2007\text{ fives}}{\underbrace{555\cdots 5}}\times \underset{2007\text{ twos}}{\underbrace{222\cdots 2}}$. Calculate the sum of the digits of $9\times A$. Do not forget to justify your answer.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio, Fattorizzazione Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico, Stima Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Summa digitali di 9 volte il prodotto di cinque e due numeri di repunito del 2007

Let $A=\underset{2007\text{ fives}}{\underbrace{555\cdots 5}}\times \underset{2007\text{ twos}}{\underbrace{222\cdots 2}}$. Calcolare la somma delle cifre di $9\times A$. Non dimenticate di giustificare la vostra risposta.

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