Olimpíada Brasileira de Matemática 2007 — Nível 2 — Fase 2

Find Ludmilson’s age x given (x-55)(x+55) is a prime cube.

Let $x$ be Ludmilson’s age. It is known that $(x-55)(x+55)=p^3$, where $p$ is a prime number. Determine Ludmilson’s age. [Source is the official solutions sheet (gabarito); statement reconstructed from the solution. The solution factors into the cases $\{x-55=1,x+55=p^3\}$ and $\{x-55=p,x+55=p^2\}$, giving $p^2-p=110$, $p=11$, $x=66$.]

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: 66 Fonte: apri PDF

Trovare l’età di Ludmilson x data (x-55) ((x+55) è un cubo primo.

Lasciate che $x$ sia l’età di Ludmilson. È noto che $(x-55)(x+55)=p^3$, dove $p$ è un numero primo. Determina l’età di Ludmilson. [Fonte: scheda ufficiale delle soluzioni (gabarito); dichiarazione ricostruita dalla soluzione. I fattori della soluzione sono i casi $\{x-55=1,x+55=p^3\}$ e $\{x-55=p,x+55=p^2\}$, dando $p^2-p=110$, $p=11$, $x=66$.]

Risposta: 66 src_obm_2007_n2_f2__Q01

Numerical/arithmetic evaluation (statement not faithfully recoverable).

[Numerical evaluation problem. The source is a solutions sheet and the original statement is NOT present; the printed solution is an OCR-garbled chain of computations of the form $(100\cdot 10^6+3-100\cdot 10^3\cdot 3)/(10^6\cdot 10^3)\cdots 100\cdot (-1)-3=100+97=197$, from which the exact statement cannot be reconstructed faithfully. Answer per the gabarito: 197.]

Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 197 Fonte: apri PDF

Valutazione numerica/aritmetica (dichiarazione non fedelmente recuperabile).

[Problema di valutazione numerica. La fonte è un foglio di soluzioni e la dichiarazione originale NON è presente; la soluzione stampata è una catena di calcoli con OCR di forma $(100\cdot 10^6+3-100\cdot 10^3\cdot 3)/(10^6\cdot 10^3)\cdots 100\cdot (-1)-3=100+97=197$, da cui non è possibile ricostruire fedelmente la dichiarazione esatta. Risposta per il gabarito: 197.]

Risposta: 197 src_obm_2007_n2_f2__Q02

Angle chasing through several isosceles triangles to a target angle (174 degrees).

In a configuration built from the isosceles triangles $PTA$, $ABD$, $BCE$ and $PQC$, with certain given angles, determine the requested angle. [Source is the solutions sheet; the full statement and figure are NOT present. The solution computes: $\angle STP=108^{\circ }$, $\angle TPA=\angle PAT=72^{\circ }$, then $\angle TPA=36^{\circ }$, $\angle BAD=\angle BDA=18^{\circ }$, $\angle ABD=144^{\circ }$, $\angle EBC=66^{\circ }$, $\angle QPC=126^{\circ }$, $\angle QCP=27^{\circ }$, $\angle ECB=57^{\circ }$, and a final answer of $174^{\circ }$.]

Topic: Geometria piana Metodo: Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Risposta: 174 Fonte: apri PDF

*Caccia d’angolo attraverso diversi triangoli di uguali occhie fino ad un angolo di destinazione (174 gradi). *

In una configurazione costruita a partire dai triangoli $PTA$, $ABD$, $BCE$ e $PQC$, con determinati angoli, determinare l’angolo richiesto. [Fonte: foglio delle soluzioni; la dichiarazione completa e la figura NON sono presenti. La soluzione calcola: $\angle STP=108^{\circ }$, $\angle TPA=\angle PAT=72^{\circ }$, quindi $\angle TPA=36^{\circ }$, $\angle BAD=\angle BDA=18^{\circ }$, $\angle ABD=144^{\circ }$, $\angle EBC=66^{\circ }$, $\angle QPC=126^{\circ }$, $\angle QCP=27^{\circ }$, $\angle ECB=57^{\circ }$, e una risposta finale di $174^{\circ }$.]

Risposta: 174 src_obm_2007_n2_f2__Q03

Find the digit sum of a number K (statement not faithfully recoverable).

[The numbers $1,2,3,\dots$ are involved; the solution states that for $n=5$, $K$ has $5$ digits, with $K=2608.5=13040$, and that the sum of the digits of $K$ is $8$. The source is a solutions sheet and the original statement is NOT recoverable from this garbled text. Answer per the gabarito: 8.]

Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 8 Fonte: apri PDF

Ricerca la somma digitali di un numero K (dichiarazione non fedelmente recuperabile).

[I numeri $1,2,3,\dots$ sono coinvolti; la soluzione afferma che per $n=5$, $K$ ha i numeri $5$, con $K=2608.5=13040$, e che la somma dei numeri di $K$ è $8$. La fonte è un foglio di soluzioni e la dichiarazione originale NON è recuperabile da questo testo confuso. Risposta per il gabarito: 8.]

Risposta: 8 src_obm_2007_n2_f2__Q04

Kaprekar-type iteration stabilizing at 6174.

Consider the iterative process applied to a four-digit number (the Kaprekar routine). Determine the value to which the resulting sequence eventually becomes constant. [Source is the solutions sheet; the only printed text is ‘From the seventh term on, all are equal to 6174.’ The exact original statement is NOT present. Answer per the gabarito: 6174.]

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Invarianti, Ricorsione Abilita: Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 6174 Fonte: apri PDF

Iteration di tipo Kaprekar stabilizzata a 6174.

Considerate il processo iterativo applicato a un numero a quattro cifre (la routine di Kaprekar). Determinare il valore al quale la sequenza risultante diventa alla fine costante. [Fonte è la scheda delle soluzioni; l’unico testo stampato è “Dal settimo termine in poi, tutti sono uguali a 6174”. L’esatta dichiarazione originale NON è presente. Risposta per il gabarito: 6174.]

Risposta: 6174 src_obm_2007_n2_f2__Q05

Right triangle ABC with a point O (AO=BO=CO); prove angle ACB = 30 degrees.

(Part B, Problem 1.) Let $ABC$ be a right triangle, and let $O$ be a point with $AO=BO=CO$ (so $O$ is the midpoint of the hypotenuse / circumcenter). A point $I$ satisfies $\angle BAI=\angle OAI=45^{\circ }$. Since triangle $ABC$ is right-angled, one has $AO=BO=CO$, and from $\angle BAI=\angle OAI=45^{\circ }$ together with the common side $AI$ the triangles $ABI$ and $AOI$ are congruent (ASA), giving $AB=BO$; with $AB=BO=AO$ the triangle $ABO$ is equilateral. Conclude the measure of $\angle ACB$. [Source is the solutions sheet; statement reconstructed from the solution, which concludes $\angle ACB=30^{\circ }$.]

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 30 Fonte: apri PDF

Triangolo retto ABC con punto O (AO=BO=CO); prova angolo ACB = 30 gradi.

(Parte B, Problema 1.) Lasciate che $ABC$ sia un triangolo rettangolo, e lasciate che $O$ sia un punto con $AO=BO=CO$ (così $O$ è il punto medio dell’ipotenusa / circumcentro). Un punto $I$ soddisfa $\angle BAI=\angle OAI=45^{\circ }$. Poiché il triangolo $ABC$ è rettangolare, si ha $AO=BO=CO$, e da $\angle BAI=\angle OAI=45^{\circ }$ insieme al lato comune $AI$ i triangoli $ABI$ e $AOI$ sono congruenti (ASA), dando $AB=BO$; con $AB=BO=AO$ il triangolo $ABO$ è equilaterale. Concludere la misura di $\angle ACB$. [Fonte: foglio delle soluzioni; dichiarazione ricostruita dalla soluzione, che conclude $\angle ACB=30^{\circ }$.]

Risposta: 30 src_obm_2007_n2_f2__Q06

Sum of reciprocals of three quadratic values built from roots alpha,beta equals 0.

(Part B, Problem 2.) One has the identity $(x-2)(x-3)+(x-3)(x+1)+(x+1)(x-2)=3(x-\alpha )(x-\beta )$, where $\alpha ,\beta$ are its roots. Substituting $x=-1,2,3$ gives $(\alpha +1)(\beta +1)=4$, $(\alpha -2)(\beta -2)=-1$ and $(\alpha -3)(\beta -3)=\frac{4}{3}$. Compute $\frac{1}{(\alpha +1)(\beta +1)}+\frac{1}{(\alpha -2)(\beta -2)}+\frac{1}{(\alpha -3)(\beta -3)}$. [Source is the solutions sheet; statement reconstructed from the solution, which yields $\frac{1}{4}-1+\frac{3}{4}=0$.]

Topic: Algebra Metodo: Fattorizzazione, Telescoping Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Risposta: 0 Fonte: apri PDF

La somma delle reciprocità di tre valori quadratici costruiti dalle radici alfa,beta è uguale a 0.

(Parte B, problema 2.) Una ha l’identità $(x-2)(x-3)+(x-3)(x+1)+(x+1)(x-2)=3(x-\alpha )(x-\beta )$, dove $\alpha ,\beta$ sono le sue radici. Substituendo $x=-1,2,3$ si ottiene $(\alpha +1)(\beta +1)=4$, $(\alpha -2)(\beta -2)=-1$ e $(\alpha -3)(\beta -3)=\frac{4}{3}$. Calcolare $\frac{1}{(\alpha +1)(\beta +1)}+\frac{1}{(\alpha -2)(\beta -2)}+\frac{1}{(\alpha -3)(\beta -3)}$. [Fonte: foglio delle soluzioni; dichiarazione ricostruita dalla soluzione, che dà $\frac{1}{4}-1+\frac{3}{4}=0$.]

Risposta: 0 src_obm_2007_n2_f2__Q07

Count divisors of 23^5-23 and prove n^3-n is always a multiple of 30.

(Part B, Problem 3.) a) Let $N=23^5-23=23\cdot (23^4-1)=23\cdot (23^2+1)(23^2-1)=23\cdot (23^2+1)(23+1)(23-1)=23\cdot 530\cdot 24\cdot 22=2^5\cdot 3\cdot 5\cdot 11\cdot 23\cdot 53$. Determine the number of positive divisors of $N$ (which is $6\times 2\times 2\times 2\times 2=192$). b) Let $N=n^3-n=n(n-1)(n+1)$. Show that $N$ is always a multiple of $30$. (Among the three consecutive integers $n-1,n,n+1$ one is even and one is a multiple of $3$; if none is a multiple of $5$ then $n\equiv 2$ or $3(\mathrm{mod}5)$, and $n^2+1$ is a multiple of $5$, so $n^3-n$ is a multiple of $5$. Hence $N$ is a multiple of $2\cdot 3\cdot 5=30$.) [Source is the solutions sheet; statement reconstructed from the solution. Part-a OCR dropped a prime factor; the divisor count 192 implies $N=2^5\cdot 3\cdot 5\cdot 11\cdot 23\cdot 53$.]

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Congruenze, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 192 Fonte: apri PDF

*Contare i divisori di 23^5-23 e provare che n^3-n è sempre un multiple di 30. *

(Parte B, problema 3.) a) Let $N=23^5-23=23\cdot (23^4-1)=23\cdot (23^2+1)(23^2-1)=23\cdot (23^2+1)(23+1)(23-1)=23\cdot 530\cdot 24\cdot 22=2^5\cdot 3\cdot 5\cdot 11\cdot 23\cdot 53$. Determinare il numero di divisori positivi di $N$ (che è $6\times 2\times 2\times 2\times 2=192$). b) Let $N=n^3-n=n(n-1)(n+1)$. Mostra che $N$ è sempre un multiple di $30$. (Tra i tre numeri interi consecutivi $n-1,n,n+1$ uno è pari e uno è un multiple di $3$; se nessuno è un multiple di $5$ allora $n\equiv 2$ o $3(\mathrm{mod}5)$, e $n^2+1$ è un multiple di $5$, quindi $n^3-n$ è un multiple di $5$. Quindi $N$ è un multiple di $2\cdot 3\cdot 5=30$.) [Fonte è la scheda delle soluzioni; dichiarazione ricostruita dalla soluzione. Parte-a OCR ha perso un fattore primo; il numero di divisori 192 implica $N=2^5\cdot 3\cdot 5\cdot 11\cdot 23\cdot 53$.]

Risposta: 192 src_obm_2007_n2_f2__Q08

Count valid A/V colorings of a board with no two equal in adjacent row/column cells.

(Part B, Problem 4.) Each cell of an $n\times n$ board is to be colored with one of the letters $A$ or $V$, so that no two horizontally or vertically consecutive cells carry the same letter (each row and each column is an alternating sequence). Once the first row is fixed, the rest of the board is determined: wherever two consecutive equal letters appear in a row, the two cells immediately below them are forced to the other letter, and so on. Determine the number of valid colorings. [Source is the solutions sheet; statement reconstructed from the solution. The general count is $2^{n+1}-2$ in one case plus $2^{n+1}$ in the other; for the specific board of the problem the answer is $30+32=62$.]

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Casework, Colorazione Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 62 Fonte: apri PDF

Contare i colori A/V validi di una lavagna senza due uguali nelle celle adiacenti di riga/colonna.

(Parte B, problema 4.) Ogni cella di una scheda $n\times n$ deve essere colorata con una delle lettere $A$ o $V$, in modo che due celle orizzontali o verticalmente consecutive non abbiano la stessa lettera (ogni riga e ogni colonna sono una sequenza alternata). Una volta fissata la prima riga, viene determinato il resto della tavola: dove due lettere consecutive uguali appaiono in una riga, le due celle immediatamente sotto di esse sono costrette all’altra lettera, e così via. Determinare il numero di coloranti validi. [Fonte: scheda delle soluzioni; dichiarazione ricostruita dalla soluzione. Il conteggio generale è $2^{n+1}-2$ in un caso più $2^{n+1}$ nell’altro; per la tabella specifica del problema la risposta è $30+32=62$.]

Risposta: 62 src_obm_2007_n2_f2__Q09