Fill n×n grid with 1–4 so each cell has exactly one neighbor with same number
In each cell of an grid we place one of the numbers , in such a way that each cell has exactly one neighboring cell with the same number. Is it possible to do this when
(a) ?
(b) ?
Note. Two cells are neighbors if they share a side.
Topic: Combinatoria Metodo: Colorazione, Casework, Invarianti Abilita: Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF
Inserire n×n griglia con 14 in modo che ogni cella abbia esattamente un vicino con lo stesso numero
In ogni cella di una griglia posizionamo uno dei numeri , in modo tale che ogni cella abbia esattamente una cella vicina con lo stesso numero. È possibile fare questo quando
(a) ?
(b) ?
Nota. Due celle sono vicine se condividono un lato.
Equilateral convex pentagon: two angles summing to 180° implies it tiles the plane
Let be a convex pentagon with all sides equal. Prove that if two of the angles of sum to , then it is possible to tile the plane with copies of , without overlaps.
Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria, Colorazione Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Astrazione Area: Geometria Fonte: apri PDF
Pentagono converso equalaterale: due angoli che sommano a 180° implicano che il piano
Che sia un pentagono convexo con tutti i lati uguali. Prova che se due degli angoli di sommano a , allora è possibile tessere il piano con copie di , senza sovrapposizioni.
Prove infinitely many positive integers n make (5^(n-2)-1)/n an integer
Prove that there exist infinitely many positive integers such that is an integer.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Induzione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Astrazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF
Prove infinitamente molti interi positivi n rendere (5^(n-2)-1)/n un intero
Prova che esistono infinitamente molti interi positivi in modo tale che sia un intero.
Primes p,q with (p²+q²)/(p+q) integer implies that value is prime
Show that if are positive prime integers such that is an integer, then is prime.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF
I valori p,q con (p2+q2)/(p+q) interi indicano che il valore è primo
Mostrare che se sono interi primi positivi in modo che sia un intero, allora è primo.
Acute triangle with AB/√2 = BH = OB: find all angles
Let be an acute triangle and let , be its circumcenter and orthocenter, respectively. Given that find the angles of triangle .
Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Trigonometria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri PDF
Triangolo acuto con AB/√2 = BH = OB: trovare tutti gli angoli
Che sia un triangolo acuto e che , siano rispettivamente il suo circoncentro e l’ortocentro. Dato che trova gli angoli del triangolo .
Finite set A with |S(A)|≤10^97 and |D(A)|≥10^100
Let be a set of integers. Define as the set of all sums of two elements of (not necessarily distinct) and as the set of all differences of two elements of (not necessarily distinct). For example, if then and .
Show that there exists a finite set such that has at most elements and has at least elements.
Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Estremalità, Conteggio, Doppio conteggio Abilita: Astrazione, Conteggio sistematico, Modellizzazione, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF
Finire il set A con \S \D \A) ≤10^97 e \A) ≥10^100
sia un insieme di numeri interi. Definire come l’insieme di tutte le somme di due elementi di (non necessariamente distinti) e come l’insieme di tutte le differenze di due elementi di (non necessariamente distinti). Per esempio, se , allora e .
Indicare che esiste un insieme finito tale che abbia al massimo elementi e abbia almeno elementi.