Olimpíada Brasileira de Matemática 2007 — Nível 3 — Fase 1

Two overlapping squares; find x+y in degrees

The figure shows two overlapping squares. What is the value of $x+y$, in degrees?

(A) $270$ \quad (B) $300$ \quad (C) $330$ \quad (D) $360$ \quad (E) $390$

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Risposta: D Fonte: apri PDF

Due quadrati che si sovrappongono; trovare x + y in gradi

La figura mostra due quadrati sovrapposti. Qual è il valore di $x+y$, in gradi?

(A) $270$ \quad (B) $300$ \quad (C) $330$ \quad (D) $360$ \quad (E) $390$

Risposta: D src_obm_2007_n3_f1__Q01

Count 4-digit ‘peroba’ numbers: at least two neighboring digits of same parity

A four-digit number is called a \textit{peroba} if it has at least two neighboring (adjacent) digits with the same parity. How many \textit{perobas} are there?

(A) $8999$ \quad (B) $8874$ \quad (C) $7875$ \quad (D) $8000$ \quad (E) $7750$

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio, Inclusione-esclusione Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: C Fonte: apri PDF

Conta i numeri “peroba” a 4 cifre: almeno due cifre vicine della stessa parità

Un numero a quattro cifre è chiamato \textit{peroba} se ha almeno due cifre vicine (adiacenti) con la stessa parità. Quanti sono i perobas?

(A) $8999$ \quad (B) $8874$ \quad (C) $7875$ \quad (D) $8000$ \quad (E) $7750$

Risposta: C src_obm_2007_n3_f1__Q02

If 1+(x^2+x)(x^2+5x+6)=181^2 find x(x+3)

If $x$ is a positive real number and $1+(x^2+x)(x^2+5x+6)=181^2$, then the value of $x(x+3)$ is:

(A) $180$ \quad (B) $150$ \quad (C) $120$ \quad (D) $182$ \quad (E) $75$

Topic: Algebra Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Risposta: A Fonte: apri PDF

Se 1+(x^2+x)(x^2+5x+6)=181^2 troverete x(x+3)

Se $x$ è un numero reale positivo e $1+(x^2+x)(x^2+5x+6)=181^2$, il valore di $x(x+3)$ è:

(A) $180$ \quad (B) $150$ \quad (C) $120$ \quad (D) $182$ \quad (E) $75$

Risposta: A src_obm_2007_n3_f1__Q03

Die with opposite faces summing 7 rolled four times; find direction of face 1

The drawing below shows an ordinary die whose sums of the points on opposite faces are always equal to 7. It is placed on a horizontal table with face 1'' facing East (Leste). The die is then moved four times. A movement consists of a $90^\circ$ rotation about an edge. After the first movement the face in contact with the table becomes 1”, then 2'', and finally face 5”. In which direction is face “1” facing after this sequence of movements? (The figure indicates the North and East directions.)

(A) West \quad (B) East \quad (C) North \quad (D) South \quad (E) Up

Topic: Geometria solida, Logica Metodo: Casework, Invarianti Abilita: Ragionamento geometrico, Casework accurato Area: Geometria, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: E Fonte: apri PDF

Mare con facce opposte che sommano 7 laminate quattro volte; trovare la direzione della faccia 1

Il disegno di seguito mostra un dado ordinario la cui somma dei punti su facce opposte è sempre uguale a 7. Si colloca su un tavolo orizzontale con la faccia 1' rivolta verso est (Leste). Il dado viene poi spostato quattro volte. Un movimento consiste in una rotazione $90^\circ$ intorno a un bordo. Dopo il primo movimento il volto in contatto con il tavolo diventa 1’, poi 2', e infine il volto 5’. In quale direzione è rivolto il volto “1’ dopo questa sequenza di movimenti? (La figura indica le direzioni Nord e Est.)

(A) Quadrata ovest (B) Quadrata est (C) Quadrata nord (D) Quadrata sud (E) Su

Risposta: E src_obm_2007_n3_f1__Q04

Numbers grouped into pairs with equal product; which pairs with 10

The numbers $72$, $8$, $24$, $10$, $5$, $45$, $36$, $15$ are grouped into pairs so that the product of each pair is the same. Which number is paired with $10$?

(A) $36$ \quad (B) $45$ \quad (C) $24$ \quad (D) $15$ \quad (E) $72$

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione Abilita: Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: A Fonte: apri PDF

Numeri raggruppati in coppie con prodotto uguale; che si accoppiano con 10

I numeri $72$, $8$, $24$, $10$, $5$, $45$, $36$, $15$ sono raggruppati in coppie in modo che il prodotto di ciascuna coppia sia lo stesso. Quale numero è abbinato a $10$?

(A) $36$ \quad (B) $45$ \quad (C) $24$ \quad (D) $15$ \quad (E) $72$

Risposta: A src_obm_2007_n3_f1__Q05

New coating reflects 1/10 of light reflected by black paint; find % absorbed

Opaque black paints absorb $97\%$ of light, reflecting the rest. Scientists developed a new coating, “ten times blacker” than opaque black paints, meaning that it reflects $1/10$ of the light reflected by opaque black paints. What percentage of light does the new coating absorb?

(A) $9.7$ \quad (B) $90.3$ \quad (C) $99.7$ \quad (D) $99.9$ \quad (E) $970$

Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: C Fonte: apri PDF

Il nuovo rivestimento riflette 1/10 della luce riflessa dalla vernice nera; trova % assorbita

Le vernici nere opache assorbono $97\%$ di luce, riflettendo il resto. Gli scienziati hanno sviluppato un nuovo rivestimento, ``` dieci volte più nero’ rispetto alle vernici nere opache, il che significa che riflette $1/10$ della luce riflessa dalle vernici nere opache. Che percentuale di luce assorbe il nuovo rivestimento?

(A) $9.7$ \quad (B) $90.3$ \quad (C) $99.7$ \quad (D) $99.9$ \quad (E) $970$

Risposta: C src_obm_2007_n3_f1__Q06

Sequence 27,207,2007,…; which listed integer is a multiple of 81

Consider the following sequence: $27=3\times 3\times 3,207=3\times 3\times 23,2007=3\times 3\times 223,20007=3\times 3\times 2223,\dots$ Which of the following integers is a multiple of $81$?

(A) $200.007$ \quad (B) $\mathrm{20.000.007}$ \quad (C) $\mathrm{2.000.000.007}$ \quad (D) $\mathrm{200.000.000.007}$ \quad (E) $\mathrm{20.000.000.000.007}$

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Fattorizzazione Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: E Fonte: apri PDF

Sequenza 27,207,2007,…; il cui numero intero elencato è un multiple di 81

Considera la seguente sequenza: $27=3\times 3\times 3,207=3\times 3\times 23,2007=3\times 3\times 223,20007=3\times 3\times 2223,\dots$ Quale dei seguenti numeri interi è un multiple di $81$?

(A) $200.007$ \quad (B) $\mathrm{20.000.007}$ \quad (C) $\mathrm{2.000.000.007}$ \quad (D) $\mathrm{200.000.000.007}$ \quad (E) $\mathrm{20.000.000.000.007}$

Risposta: E src_obm_2007_n3_f1__Q07

Which positive integer n makes the sum of fractions equal to 309

Which of the positive integers below satisfies the following equation: $\frac{4}{n^4}+\frac{5}{n^4}+\frac{6}{n^4}+\cdots +\frac{n^4-6}{n^4}+\frac{n^4-5}{n^4}+\frac{n^4-4}{n^4}=309?$

(A) $2007$ \quad (B) $309$ \quad (C) $155$ \quad (D) $25$ \quad (E) $5$

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Telescoping Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: E Fonte: apri PDF

Qual è il numero intero positivo n che rende la somma delle frazioni uguale a 309

Quale dei numeri interi positivi di seguito soddisfa la seguente equazione: $\frac{4}{n^4}+\frac{5}{n^4}+\frac{6}{n^4}+\cdots +\frac{n^4-6}{n^4}+\frac{n^4-5}{n^4}+\frac{n^4-4}{n^4}=309?$

(A) $2007$ \quad (B) $309$ \quad (C) $155$ \quad (D) $25$ \quad (E) $5$

Risposta: E src_obm_2007_n3_f1__Q08

Semicircle and isosceles triangle of same area; find tan(x)

The drawing below shows a semicircle and an isosceles triangle of the same area. What is the value of $\tan x^{\circ }$?

(A) $1$ \quad (B) $\frac{\sqrt{3}}{2}$ \quad (C) $\frac{\pi }{\sqrt{3}}$ \quad (D) $\frac{2}{\pi }$ \quad (E) $\frac{\pi }{2}$

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: E Fonte: apri PDF

*Triangolo semicircolo e triangolo di isosceles della stessa superficie; trovare tan(x) *

Il disegno di seguito mostra un semicircolo e un triangolo di isosceles della stessa area. Qual è il valore di $\tan x^{\circ }$?

(A) $1$ \quad (B) $\frac{\sqrt{3}}{2}$ \quad (C) $\frac{\pi }{\sqrt{3}}$ \quad (D) $\frac{2}{\pi }$ \quad (E) $\frac{\pi }{2}$

Risposta: E src_obm_2007_n3_f1__Q09

Smallest positive integer = sum of two positive squares in two ways

A well-known episode in Mathematics happened when, visiting the great mathematician Ramanujan in the hospital, the other great mathematician Hardy said that the number of the taxi he took, $1729$, was a number without grace; Ramanujan responded promptly: “Don’t say that, Hardy! $1729$ is the smallest positive integer that can be written as a sum of two perfect cubes of positive integers in two different ways!” In fact, $1729=10^3+9^3=12^3+1^3$.

A lesser-known episode happened when the little mathematician Muralijam was visited by the little mathematician Sofy, who said that the number of his locker was a number without grace. Muralijam responded immediately: “No, Sofy, it is the smallest positive integer that can be written as a sum of two perfect squares of positive integers in two different ways!”

To which number do Muralijam and Sofy refer?

(A) $18$ \quad (B) $41$ \quad (C) $45$ \quad (D) $50$ \quad (E) $65$

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework Abilita: Riconoscimento di pattern, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: D Fonte: apri PDF

Il numero intero positivo più piccolo = somma di due quadrati positivi in due modi

Un noto episodio in matematica è accaduto quando, visitando il grande matematico Ramanujan in ospedale, l’altro grande matematico Hardy ha detto che il numero del taxi che ha preso, $1729$, era un numero senza grazia; Ramanujan ha risposto prontamente: “Non dire che, Hardy! $1729$ è il numero intero positivo più piccolo che può essere scritto come la somma di due cubi perfetti di numeri interi positivi in due modi diversi!’” Infatti, $1729=10^3+9^3=12^3+1^3$.

Un episodio meno noto è accaduto quando il piccolo matematico Muralijam è stato visitato dal piccolo matematico Sofy, che ha detto che il numero del suo armadietto era un numero senza grazia. Muralijam rispose immediatamente: “No, Sofy, è il più piccolo intero positivo che può essere scritto come la somma di due quadrati perfetti di interi positivi in due modi diversi!’”.

A quale numero si riferiscono Muralijam e Sofy?

(A) $18$ \quad (B) $41$ \quad (C) $45$ \quad (D) $50$ \quad (E) $65$

Risposta: D src_obm_2007_n3_f1__Q10

Count quasi-anagrams of BACANA that start with A

We say a word $Q$ is a \textit{quasi-anagram} of another word $P$ when $Q$ can be obtained by removing one letter from $P$ and shuffling the order of the remaining letters, resulting in a word with one letter fewer than $P$. A quasi-anagram word need not have meaning in any language. For example, RARO, RACR and ARCO are quasi-anagrams of CARRO.

How many quasi-anagrams of the word BACANA begin with A?

(A) $48$ \quad (B) $60$ \quad (C) $72$ \quad (D) $96$ \quad (E) $120$

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: B Fonte: apri PDF

Contare quasi-anagrafi di BACANA che iniziano con A

Diciamo che una parola $Q$ è un \textit{quasi-anagramma} di un’altra parola $P$ quando $Q$ può essere ottenuto rimuovendo una lettera da $P$ e mescolando l’ordine delle lettere rimanenti, dando luogo a una parola con una lettera inferiore a $P$. Una parola quasi-anagrafica non deve avere un significato in nessun linguaggio. Ad esempio, RARO, RACR e ARCO sono quasi-anagrami di CARRO.

Quanti quasi-anagrami della parola BACANA iniziano con A?

(A) $48$ \quad (B) $60$ \quad (C) $72$ \quad (D) $96$ \quad (E) $120$

Risposta: B src_obm_2007_n3_f1__Q11

Right-triangle road network; detour 24% longer; bound tan of smallest angle

The cities A’opolis, Be’opolis and Ce’opolis are linked by straight roads. It is known that the road that links A’opolis and Be’opolis is perpendicular to the road that links A’opolis and Ce’opolis. Rubens lives in Be’opolis and has a commitment in Ce’opolis. However, the road that links Be’opolis to Ce’opolis is closed, so he must travel the route Be’opolis-A’opolis-Ce’opolis. In order to arrive at the commitment on time, Rubens travels at a speed $24\%$ greater than that he would use on the closed road.

If $\alpha$ is the smallest angle of the triangle determined by the three roads, then:

(A) $0<\tan \alpha <\frac{1}{6}$ \quad (B) $\frac{1}{6}<\tan \alpha <\frac{1}{5}$ \quad (C) $\frac{1}{5}<\tan \alpha <\frac{1}{4}$ \quad (D) $\frac{1}{4}<\tan \alpha <\frac{1}{3}$ \quad (E) $\frac{1}{3}<\tan \alpha <1$

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Trigonometria Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: D Fonte: apri PDF

*Rete stradale a triangolo retto; deviazione del 24% più lunga; bronzatura con angolo più piccolo *

Le città di A’opolis, Be’opolis e Ce’opolis sono collegate da strade rette. È noto che la strada che collega A’opolis e Be’opolis è perpendicolare alla strada che collega A’opolis e Ce’opolis. Rubens vive a Be’opolis e ha un impegno a Ce’opolis. Tuttavia, la strada che collega Be’opolis a Ce’opolis è chiusa, quindi deve percorrere la rotta Be’opolis-A’opolis-Ce’opolis. Per raggiungere l’impegno in tempo, Rubens viaggia a una velocità $24\%$ superiore a quella che avrebbe usato sulla strada chiusa.

Se $\alpha$ è l’angolo più piccolo del triangolo determinato dalle tre strade, allora:

(A) $0<\tan \alpha <\frac{1}{6}$ \quad (B) $\frac{1}{6}<\tan \alpha <\frac{1}{5}$ \quad (C) $\frac{1}{5}<\tan \alpha <\frac{1}{4}$ \quad (D) $\frac{1}{4}<\tan \alpha <\frac{1}{3}$ \quad (E) $\frac{1}{3}<\tan \alpha <1$

Risposta: D src_obm_2007_n3_f1__Q12

System with integer and fractional parts; find x-y+z

Every real number $a$ can be written in a unique way as $a=\lfloor a\rfloor +\{a\}$, where $\lfloor a\rfloor$ is an integer and $0\le \{a\}<1$. We call $\lfloor a\rfloor$ the \textit{integer part} of $a$ and $\{a\}$ the \textit{fractional part} of $a$.

If $x+\lfloor y\rfloor +\{z\}=4.2$, $y+\lfloor z\rfloor +\{x\}=3.6$ and $z+\lfloor x\rfloor +\{y\}=2$, what is the value of $x-y+z$?

(A) $-1$ \quad (B) $-0.5$ \quad (C) $0$ \quad (D) $0.5$ \quad (E) $2$

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: B Fonte: apri PDF

Sistema con parti integrali e frazionarie; trovare x-y+z

Ogni numero reale $a$ può essere scritto in modo unico come $a=\lfloor a\rfloor +\{a\}$, dove $\lfloor a\rfloor$ è un intero e $0\le \{a\}<1$. Chiamiamo $\lfloor a\rfloor$ la parte integrale di $a$ e $\{a\}$ la parte frazionaria di $a$.

Se $x+\lfloor y\rfloor +\{z\}=4.2$, $y+\lfloor z\rfloor +\{x\}=3.6$ e $z+\lfloor x\rfloor +\{y\}=2$, qual è il valore di $x-y+z$?

(A) $-1$ \quad (B) $-0.5$ \quad (C) $0$ \quad (D) $0.5$ \quad (E) $2$

Risposta: B src_obm_2007_n3_f1__Q13

Repunits; find possible q with pX^2+qX+r a repunit for every repunit X

We say a natural number $X$ is a \textit{repunit} when all its digits are equal to 1, i.e., when $X$ is of the form $11\dots 1$.

Let $p$, $q$, $r$ be integers, $p>0$, such that $p{X}^2+qX+r$ is a repunit whenever $X$ is a repunit. Which of the values below is a possible value of $q$?

(A) $-2$ \quad (B) $-1$ \quad (C) $0$ \quad (D) $1$ \quad (E) $2$

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: E Fonte: apri PDF

Ripuniti; trovare possibili q con pX^2+qX+r un ripunito per ogni ripunito X

Diciamo che un numero naturale $X$ è un \textit{repunit} quando tutti i suoi numeri sono uguali a 1, cioè quando $X$ è della forma $11\dots 1$.

$p$, $q$, $r$ siano numeri interi, $p>0$, in modo che $p{X}^2+qX+r$ sia un repunito ogni volta che $X$ è un repunito. Quale dei valori di seguito è un valore possibile di $q$?

(A) $-2$ \quad (B) $-1$ \quad (C) $0$ \quad (D) $1$ \quad (E) $2$

Risposta: E src_obm_2007_n3_f1__Q14

Set of c for which sqrt(x)=sqrt(sqrt(x)+c) has a real solution

The set of values of $c$ for which the equation $\sqrt{x}=\sqrt{\sqrt{x}+c}$ has a real solution is contained in:

(A) $[-1,+\infty [$ \quad (B) $]-\infty ,1]$ \quad (C) $[-3,2]$ \quad (D) $[-2,3]$ \quad (E) $\mathbb{Z}$

Topic: Algebra, Insiemi e funzioni Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Risposta: A Fonte: apri PDF

insieme di c per il quale sqrt(x)=sqrt(sqrt(x)+c) ha una soluzione reale

L’insieme di valori di $c$ per il quale l’equazione $\sqrt{x}=\sqrt{\sqrt{x}+c}$ ha una soluzione reale è contenuto in:

(A) $[-1,+\infty [$ \quad (B) $]-\infty ,1]$ \quad (C) $[-3,2]$ \quad (D) $[-2,3]$ \quad (E) $\mathbb{Z}$

Risposta: A src_obm_2007_n3_f1__Q15

Triangle ABC with altitude AD, AB=DC=1; maximum area

In triangle $ABC$, $AD$ is the altitude relative to side $BC$. If $AB=DC=1$, indicate the alternative that corresponds to the maximum area of triangle $ABC$.

(A) $\frac{3\sqrt{3}}{8}$ \quad (B) $\frac{\sqrt{3}}{2}$ \quad (C) $\frac{\sqrt{2}}{3}$ \quad (D) $\frac{\sqrt{2}}{2}$ \quad (E) $\frac{1}{2}$

Topic: Geometria piana Metodo: Estremalità, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: A Fonte: apri PDF

Triangolo ABC con altitudine AD, AB=DC=1; superficie massima

Nel triangolo $ABC$, $AD$ è l’altitudine relativa al lato $BC$. Se $AB=DC=1$, indicare l’alternativa che corrisponde all’area massima del triangolo $ABC$.

(A) $\frac{3\sqrt{3}}{8}$ \quad (B) $\frac{\sqrt{3}}{2}$ \quad (C) $\frac{\sqrt{2}}{3}$ \quad (D) $\frac{\sqrt{2}}{2}$ \quad (E) $\frac{1}{2}$

Risposta: A src_obm_2007_n3_f1__Q16

Count integer pairs with x^8+3y^4=4x^2 y^3 and 1<=y<=2007

The number of pairs $(x,y)$ of positive integers that satisfy the equation $x^8+3y^4=4x^2{y}^3,$ with $1\le y\le 2007$, is equal to:

(A) $40$ \quad (B) $41$ \quad (C) $42$ \quad (D) $43$ \quad (E) $44$

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: E Fonte: apri PDF

Contare le coppie di numeri interi con x^8+3y^4=4x^2 y^3 e 1<=y<=2007

Il numero di coppie $(x,y)$ di integri positivi che soddisfano l’equazione $x^8+3y^4=4x^2{y}^3,$ con $1\le y\le 2007$ è uguale a:

(A) $40$ \quad (B) $41$ \quad (C) $42$ \quad (D) $43$ \quad (E) $44$

Risposta: E src_obm_2007_n3_f1__Q17

System a^2-ab=1, b^2-bc=1, c^2-ca=1; find abc(a+b+c)

Let $a$, $b$, $c$ be numbers such that $a^2-ab=1,b^2-bc=1,c^2-ca=1.$ The value of $abc(a+b+c)$ is equal to:

(A) $0$ \quad (B) $1$ \quad (C) $2$ \quad (D) $-1$ \quad (E) $-3$

Topic: Algebra Metodo: Simmetria, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: D Fonte: apri PDF

*Sistema a^2-ab=1, b^2-bc=1, c^2-ca=1; trovare abc(a+b+c) *

$a$, $b$, $c$ siano numeri tali che $a^2-ab=1,b^2-bc=1,c^2-ca=1.$ Il valore di $abc(a+b+c)$ sia uguale a:

(A) $0$ \quad (B) $1$ \quad (C) $2$ \quad (D) $-1$ \quad (E) $-3$

Risposta: D src_obm_2007_n3_f1__Q18

100 buildings, floors = digit sum; which statement is true

An avenue has $100$ buildings numbered from $1$ to $100$, where buildings with even numbering are on the right side of the street and buildings with odd numbering are on the left side. The number of floors of each building is equal to the sum of the digits of the number corresponding to the building. Thus, we can affirm that:

• (A) The quantity of buildings with more than $10$ floors is greater on the right side of the street.
• (B) The quantity of buildings with fewer than $5$ floors is greater on the right side of the street.
• (C) At least half of the buildings have $10$ or more floors.
• (D) On both sides of the street there is the same quantity of buildings with exactly $8$ floors.
• (E) At least $25\%$ of the buildings have fewer than $5$ floors.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: B Fonte: apri PDF

100 edifici, piani = somma di cifre; quale dichiarazione è vera

Una via ha $100$ edifici numerati da $1$ a $100$, dove gli edifici con numero pari sono sul lato destro della strada e gli edifici con numero imparso sono sul lato sinistro. Il numero di piani di ogni edificio è pari alla somma dei numeri corrispondenti all’edificio. Pertanto, possiamo affermare che:

• (A) Il numero di edifici con più di $10$ piani è maggiore sul lato destro della strada.
• (B) Il numero di edifici con meno di $5$ piani è maggiore sul lato destro della strada.
• (C) Almeno la metà degli edifici ha $10$ o più piani.
• (D) A entrambi i lati della strada ci sono la stessa quantità di edifici con esattamente $8$ piani.
• (E) Almeno $25\%$ degli edifici hanno meno di $5$ piani.

Risposta: B src_obm_2007_n3_f1__Q19

Smallest integer perimeter of a triangle with one side 5sqrt3/2

What is the smallest possible integer perimeter of a triangle that has one of its sides with measure equal to $\frac{5\sqrt{3}}{2}$?

(A) $8$ \quad (B) $9$ \quad (C) $10$ \quad (D) $11$ \quad (E) $12$

Topic: Geometria piana Metodo: Estremalità Abilita: Stima, Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: B Fonte: apri PDF

Più piccolo perimetro interiore di un triangolo con un lato 5sqrt3/2

Qual è il più piccolo perimetro integrale possibile di un triangolo che ha uno dei suoi lati con misura uguale a $\frac{5\sqrt{3}}{2}$?

(A) $8$ \quad (B) $9$ \quad (C) $10$ \quad (D) $11$ \quad (E) $12$

Risposta: B src_obm_2007_n3_f1__Q20

At which listed time is the angle between clock hands smallest

Determine at which of the times below the angle determined by the hands of a clock is smallest.

(A) $02\mathrm{h}30$ \quad (B) $06\mathrm{h}20$ \quad (C) $05\mathrm{h}40$ \quad (D) $08\mathrm{h}50$ \quad (E) $09\mathrm{h}55$

Topic: Geometria piana, Teoria dei Numeri Abilita: Stima, Lettura attenta Area: Geometria, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: E Fonte: apri PDF

Al momento indicato l’angolo tra le mani dell’orologio è il più piccolo

Determinare a quale dei tempi al di sotto dell’angolo determinato dalle mani di un orologio è il più piccolo.

(A) $02\mathrm{h}30$ \quad (B) $06\mathrm{h}20$ \quad (C) $05\mathrm{h}40$ \quad (D) $08\mathrm{h}50$ \quad (E) $09\mathrm{h}55$

Risposta: E src_obm_2007_n3_f1__Q21

Greatest common divisor of 1221,2332,3443,…,8998

The greatest common divisor of the numbers $1221$, $2332$, $3443$, $4554$, $\dots$, $8998$ is:

(A) $3$ \quad (B) $33$ \quad (C) $37$ \quad (D) $11$ \quad (E) $101$

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: D Fonte: apri PDF

Il più grande divisore comune di 1221,2332,3443,…,8998

Il più grande divisore comune dei numeri $1221$, $2332$, $3443$, $4554$, $\dots$, $8998$ è:

(A) $3$ \quad (B) $33$ \quad (C) $37$ \quad (D) $11$ \quad (E) $101$

Risposta: D src_obm_2007_n3_f1__Q22

Ball on 3x6 table bounces twice and falls in S; distance from P on side PQ

A billiard table has dimensions $3$ meters by $6$ meters with pockets at its four corners $P$, $Q$, $R$ and $S$. When a ball hits the edge of the table, its trajectory forms an angle with the edge equal to that of the arriving trajectory.

A ball, initially $1$ meter from pocket $P$, is hit from side $SP$ in the direction of side $PQ$, as the figure shows. At how many meters from $P$ does the ball hit side $PQ$ if the ball falls into pocket $S$ after two bounces on the edge of the table?

(A) $1$ \quad (B) $\frac{6}{7}$ \quad (C) $\frac{3}{4}$ \quad (D) $\frac{2}{3}$ \quad (E) $\frac{3}{5}$

Topic: Geometria piana, Geometria analitica Metodo: Simmetria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione Area: Geometria Risposta: B Fonte: apri PDF

La palla sul tavolo 3x6 rimbalza due volte e cade in S; distanza da P sul lato PQ*

Un tavolo da biliardo ha dimensioni $3$ metri per $6$ metri con tasche alle sue quattro angolazioni $P$, $Q$, $R$ e $S$. Quando una palla colpisce il bordo della tavola, la sua traiettoria forma un angolo con il bordo uguale a quello della traiettoria in arrivo.

Una palla, inizialmente $1$ metro da tasca $P$, viene colpita dal lato $SP$ nella direzione del lato $PQ$, come mostra la figura. A quanti metri da $P$ la palla colpisce il lato $PQ$ se la palla cade nella tasca $S$ dopo due rimbalzi sul bordo del tavolo?

(A) $1$ \quad (B) $\frac{6}{7}$ \quad (C) $\frac{3}{4}$ \quad (D) $\frac{2}{3}$ \quad (E) $\frac{3}{5}$

Risposta: B src_obm_2007_n3_f1__Q23

Three-digit numbers abc with b=a^2+c^2; difference of largest and smallest

Consider all the three-digit numbers $\overline{abc}$ where $b=a^2+c^2$ and $a\ne 0$. The difference between the largest and the smallest of these numbers is a number:

(A) Multiple of $3$ \quad (B) Prime \quad (C) With last digit equal to $7$ \quad (D) Whose sum of digits is $10$ \quad (E) Multiple of $7$

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Casework Abilita: Casework accurato, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: D Fonte: apri PDF

Numeri a tre cifre abc con b=a^2+c^2; differenza tra più grande e più piccola

Considerare tutti i numeri a tre cifre $\overline{abc}$ dove $b=a^2+c^2$ e $a\ne 0$. La differenza tra il più grande e il più piccolo di questi numeri è un numero:

(A) Multiplice di $3$ \quad (B) Prime \quad (C) Con ultima cifra uguale a $7$ \quad (D) La cui somma di cifre è $10$ \quad (E) Multiplice di $7$

Risposta: D src_obm_2007_n3_f1__Q24

Recurrence a_{n+1}=2digitsum(a_n)+1, a_1=1; find a_31+…+a_35*

Let $\{a_n\}$ be a sequence in which each term is defined as double the sum of the digits of the previous term, plus one unit. For example, if $a_n=234$, then $a_{n+1}=2(2+3+4)+1$.

If $a_1=1$, the value of $a_{31}+a_{32}+a_{33}+a_{34}+a_{35}$ is equal to:

(A) $44$ \quad (B) $54$ \quad (C) $64$ \quad (D) $75$ \quad (E) $84$

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Ricorsione Abilita: Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: D Fonte: apri PDF

Recurrence a_{n+1}=2digitsum(a_n)+1, a_1=1; trovare a_31+…+a_35*

$\{a_n\}$ sia una sequenza in cui ogni termine è definito come doppio della somma dei numeri del termine precedente, più una unità. Per esempio, se $a_n=234$, allora $a_{n+1}=2(2+3+4)+1$.

Se $a_1=1$, il valore di $a_{31}+a_{32}+a_{33}+a_{34}+a_{35}$ è uguale a:

(A) $44$ \quad (B) $54$ \quad (C) $64$ \quad (D) $75$ \quad (E) $84$

Risposta: D src_obm_2007_n3_f1__Q25