Olimpíada Brasileira de Matemática 2007 — Nível 3 — Fase 2

Count the divisors less than 2007 of the largest divisor of 123456 below 2007

Consider the number $123456$, whose factorization is $123456=2^7\cdot 3\cdot 643$. Let $d$ be a divisor of $123456$ that is less than $2007$ (take the largest such divisor). Determine the total number of divisors of $d$ that are less than $2007$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 17 Fonte: apri PDF

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Contare i divisori inferiori al 2007 del più grande divisore di 123456 al di sotto del 2007

Considera il numero $123456$, la cui fattorizzazione è $123456=2^7\cdot 3\cdot 643$. $d$ sia un divisore di $123456$ inferiore a $2007$ (prendi il più grande di tale divisore). Determinare il numero totale di divisori di $d$ inferiori a $2007$.

Risposta: 17 src_obm_2007_n3_f2__Q01

Geometric probability that a random point on a segment lies within distance 5/3 of the origin

A point $B=(x;y)$ is chosen at random on the points of the segment $A$ that lies on the line $x+y=2$ with $0\le x\le 2$ (so $A$ runs from $(0,2)$ to $(2,0)$). Let $P$ be the origin. Determine the probability $p$ that the chosen point $B$ is at distance at most $\frac{5}{3}$ from the origin, that is, that $\sqrt{x^2+y^2}\le \frac{5}{3}$. The probability equals the length of the sub-segment $\overline{P_1{P}_2}$ of $A$ satisfying the condition, divided by the length of $A$, which is $\sqrt{(0-2{)}^2+(2-0{)}^2}=2\sqrt{2}$.

Topic: Probabilità, Geometria analitica Metodo: Coordinate Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: 3024 Fonte: apri PDF

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Probabilità geometrica che un punto casuale su un segmento si trovi a distanza di 5/3 dell’origine

Un punto $B=(x;y)$ viene scelto a caso sui punti del segmento $A$ che si trova sulla linea $x+y=2$ con $0\le x\le 2$ (così $A$ va da $(0,2)$ a $(2,0)$). La fonte è $P$. Determinare la probabilità $p$ che il punto scelto $B$ sia alla distanza massima $\frac{5}{3}$ dall’origine, cioè che $\sqrt{x^2+y^2}\le \frac{5}{3}$. La probabilità è pari alla lunghezza del sottosegmento $\overline{P_1{P}_2}$ di $A$ che soddisfa la condizione, divisa per la lunghezza di $A$, che è $\sqrt{(0-2{)}^2+(2-0{)}^2}=2\sqrt{2}$.

Risposta: 3024 src_obm_2007_n3_f2__Q02

Digit sum of the integer nearest to the square root of the 1000-digit repunit

Consider the number $\underset{1000\text{ones}}{\underbrace{11\dots 1}}=\frac{10^{1000}-1}{9}$ consisting of one thousand digits all equal to $1$. Determine the sum of the digits of the integer that is nearest to $\sqrt{\underset{1000\text{ones}}{\underbrace{11\dots 1}}}$.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: 1500 Fonte: apri PDF

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Summa digitali del numero intero più vicino alla radice quadrata del repunito di 1000 cifre

Considerate il numero $\underset{1000\text{ones}}{\underbrace{11\dots 1}}=\frac{10^{1000}-1}{9}$ costituito da mille cifre tutte uguali a $1$. Determinare la somma delle cifre del numero intero più vicino a $\sqrt{\underset{1000\text{ones}}{\underbrace{11\dots 1}}}$.

Risposta: 1500 src_obm_2007_n3_f2__Q03

Right triangle with incenter I and midpoint O of hypotenuse; given angle AOI find angle ACB

The triangle $ABC$ is right-angled at $B$. Let $I$ be the center of the circle inscribed in $ABC$ and let $O$ be the midpoint of the side $AC$. If $\angle AOI=45^{\circ }$, how many degrees does the angle $\angle ACB$ measure?

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 30 Fonte: apri PDF

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Triangolo retto con incentro I e punto medio O dell’ipotenusa; angolo dato AOI angolo di ritrovamento ACB

Il triangolo $ABC$ è angolato a destra a $B$. Il centro del cerchio è $I$ e il punto medio del lato $AC$ è $O$. Se $\angle AOI=45^{\circ }$, quanti gradi misura l’angolo $\angle ACB$?

Risposta: 30 src_obm_2007_n3_f2__Q04

Number of valid two-letter colorings of a board with no two equal consecutive letters in the first row

Each cell of a board is to be coloured using one of the two letters $V$ or $A$. A colouring of the first row is any assignment of one of these letters to each of its cells. Once the first row is coloured, every other cell of the board is forced according to the filling rule of the board, and a colouring is valid only if no two consecutive cells in the first row carry the same letter, with the analogous condition propagating through the rest of the board. For the board in question, determine the total number of valid colourings. In general, for an $n\times n$ board the number of such colourings is $2^{n+1}-2$.

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio, Ricorsione Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 62 Fonte: apri PDF

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Numero di colori validi a due lettere di una lavagna senza due lettere consecutive uguali nella prima riga

Ogni cella di una lavagna deve essere colorata con una delle due lettere $V$ o $A$. Una colorazione della prima riga è l’assegnazione di una di queste lettere a ciascuna delle sue celle. Una volta colorata la prima riga, ogni altra cella della lavagna viene forzata secondo la regola di riempimento della lavagna, e una colorazione è valida solo se due celle consecutive della prima riga non contengono la stessa lettera, con la condizione analoga che si propaga attraverso il resto della lavagna. Per la lavagna in questione, determinare il numero totale di coloranti validi. In generale, per una lavagna $n\times n$ il numero di tali coloranti è $2^{n+1}-2$.

Risposta: 62 src_obm_2007_n3_f2__Q05

Find all positive-integer pairs (x,y) satisfying x^2 - xy + y^2 = 2x + 2y

Determine all pairs $(x,y)$ of positive integers that satisfy $x^2+y^2-xy-2x-2y=0$, equivalently $x^2-xy+y^2=2x+2y$.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Casework, Fattorizzazione, Disuguaglianze Abilita: Casework accurato, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: $(x,y)\in \{(2,4),(4,2),(4,4)\}$ Fonte: apri PDF

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Ricerca tutte le coppie di integri positivi (x,y) che soddisfano x^2 - xy + y^2 = 2x + 2y

Determinare tutte le coppie $(x,y)$ di integri positivi che soddisfano $x^2+y^2-xy-2x-2y=0$, equivalentemente $x^2-xy+y^2=2x+2y$.

Risposta: $(x,y)\in \{(2,4),(4,2),(4,4)\}$ src_obm_2007_n3_f2__Q06

Find all six-digit numbers of the form AABBB that are one less than a perfect square

Determine all six-digit numbers $n$ of the form $\overline{AABBB}$ (the first two digits both equal to $A$ and the last three digits both equal to $B$, with $A\ne B$) such that $n+1$ is a perfect square; that is, find all $n=\overline{AABBB}$ for which there exists a positive integer $k$ with $k^2=n+1$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Congruenze, Fattorizzazione Abilita: Casework accurato, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: $111555$ and $444888$ Fonte: apri PDF

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Ricerca tutti i numeri a sei cifre del modulo AABBB che sono uno meno di un quadrato perfetto

Determinare tutti i numeri a sei cifre $n$ della forma $\overline{AABBB}$ (le prime due cifre sono entrambe uguali a $A$ e le ultime tre cifre sono entrambe uguali a $B$, con $A\ne B$) in modo tale che $n+1$ sia un quadrato perfetto; vale a dire, trovare tutti $n=\overline{AABBB}$ per i quali esiste un intero positivo $k$ con $k^2=n+1$.

Risposta: $111555$ and $444888$ src_obm_2007_n3_f2__Q07

Prove a triangle in a circle configuration is equilateral with side 8 and compute its area

In the given configuration, the points $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$ are associated with a circle, with $AD=BC$, $ED=EB$, and $\angle CDE=\angle FCE=\alpha$, so that $\angle ADE=\angle BCE=180^{\circ }-\alpha$. The lines $AD$ and $BC$ are extended until they meet at the point $F$, and $\angle AFB=60^{\circ }=\angle DEC$. Show that triangle $ADE$ is congruent to triangle $BCE$, hence $EA=EB$ and $\angle AEB=\angle DEC=60^{\circ }$, so that triangle $ABE$ is equilateral with side $8$. Compute the area of triangle $ABE$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Simmetria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: $16\sqrt{3}{\text{cm}}^2$ Fonte: apri PDF

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Prove che un triangolo in una configurazione di cerchio è equilaterale con il lato 8 e calcola la sua superficie

Nella configurazione data, i punti $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$ sono associati a un cerchio, con $AD=BC$, $ED=EB$ e $\angle CDE=\angle FCE=\alpha$, in modo che $\angle ADE=\angle BCE=180^{\circ }-\alpha$. Le linee $AD$ e $BC$ sono estese fino a quando non si incontrano al punto $F$ e $\angle AFB=60^{\circ }=\angle DEC$. Mostra che il triangolo $ADE$ è congruente al triangolo $BCE$, quindi $EA=EB$ e $\angle AEB=\angle DEC=60^{\circ }$, in modo che il triangolo $ABE$ sia equilaterale con il lato $8$. Calcolare l’area del triangolo $ABE$.

Risposta: $16\sqrt{3}{\text{cm}}^2$ src_obm_2007_n3_f2__Q08

Minimum number of roads among 20 cities to guarantee the road network is connected

Choose $20$ cities of a country. If one linked every two of them by a road one would use $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{20}{2}\right)=190$ roads. Find the least number of roads that must be built so that, starting from any city, one can reach any other city by car (that is, so the road network is connected). Show that $190$ roads need not be enough, and prove that with $191$ roads it is always possible to travel by car between any two cities. (Hint: if the cities could be split into two groups $A$ and $B$ with $a$ and $b$ cities respectively, $a+b=21$, with no road joining the two groups, then the number of roads would be at most $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{a}{2}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{b}{2}\right)$; derive a contradiction.)

Topic: Combinatoria Metodo: Grafi, Disuguaglianze, Estremalità Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: $191$ Fonte: apri PDF

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Numero minimo di strade tra le 20 città per garantire la connessione della rete stradale

Selezionare $20$ città di un paese. Se si collegassero tutte e due con una strada si utilizzerebbero strade $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{20}{2}\right)=190$. Trovare il minor numero di strade che devono essere costruite in modo che, partendo da una città, si possa raggiungere un’altra città in auto (cioè la rete stradale sia collegata). Mostrare che le strade $190$ non devono essere sufficienti e dimostrare che con le strade $191$ è sempre possibile viaggiare in auto tra due città. (Insigno: se le città potessero essere suddivise in due gruppi $A$ e $B$ con rispettivamente $a$ e $b$ città, $a+b=21$, senza strada che unisca i due gruppi, allora il numero di strade sarebbe al massimo $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{a}{2}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{b}{2}\right)$; derivere una contraddizione.)

Risposta: $191$ src_obm_2007_n3_f2__Q09