Olimpíada Brasileira de Matemática 2007 — Nível 3 — Fase 3

Prove the n-fold iterate of a fixed quadratic equals zero has a real solution for every n

Let $f(x)=x^2+2007x+1$. Prove that, for every positive integer $n$, the equation $\underset{n\text{ times}}{\underbrace{f(f(\dots (f(x))\dots ))}}=0$ has at least one real solution.

Topic: Algebra, Insiemi e funzioni Metodo: Induzione Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Prove che l’iterata a n volte di una quadrata fissa è uguale a zero ha una soluzione reale per ogni n

Let $f(x)=x^2+2007x+1$. Prova che per ogni intero positivo $n$, l’equazione $\underset{n\text{ times}}{\underbrace{f(f(\dots (f(x))\dots ))}}=0$ ha almeno una soluzione reale.

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Count integers c in [-2007,2007] for which x^2+c is a multiple of 2^2007 for some integer x

For how many integers $c$, with $-2007\le c\le 2007$, does there exist an integer $x$ such that $x^2+c$ is a multiple of $2^{2007}$?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Conta i numeri interi c nel [-2007,2007] per i quali x^2+c è un multiple di 2^2007 per alcuni numeri interi x

Per quanti integri $c$, con $-2007\le c\le 2007$, esiste un intero $x$ tale che $x^2+c$ sia un multiple di $2^{2007}$?

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Prove the set of side and diagonal lengths of a convex n-gon has at least floor(n/2) distinct values

$n$ points are given in the plane, which are the vertices of a convex polygon. Prove that the set of measures of the sides and diagonals of the polygon has at least $\lfloor n/2\rfloor$ distinct elements.

Remark: $\lfloor x\rfloor$ denotes the greatest integer that does not exceed $x$. For example, $\lfloor 2.5\rfloor =2$, $\lfloor 3\rfloor =3$ and $\lfloor -1.2\rfloor =-2$.

Topic: Geometria piana, Combinatoria Metodo: Estremalità, Principio dei cassetti Abilita: Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico, Astrazione Area: Geometria, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Prove che l’insieme di lunghezze laterali e diagonali di un n-gon convex ha almeno valori distinti di pavimento ((n/2)

I punti $n$ sono indicati nel piano, che sono le vertici di un poligono converso. Prova che l’insieme di misure dei lati e diagonali del poligono ha almeno $\lfloor n/2\rfloor$ elementi distinti.

*Rimarca: * $\lfloor x\rfloor$ indica il numero intero più grande che non supera $x$. Per esempio, $\lfloor 2.5\rfloor =2$, $\lfloor 3\rfloor =3$ e $\lfloor -1.2\rfloor =-2$.

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Game on a 2007x2007 board: Arnaldo removes 2x2 blocks, Bernaldo removes single squares; can Bernaldo always win?

$2007^2$ equal little squares are arranged forming a $2007\times 2007$ board. Arnaldo and Bernaldo play the following game: each of Arnaldo’s moves consists of removing 4 little squares that form a $2\times 2$ square. Each of Bernaldo’s moves consists of removing only 1 little square. The players play alternately, with Arnaldo being the first to play. When Arnaldo can no longer make his move, Bernaldo takes for himself all the little squares remaining on the board at the end. The one who has more little squares wins. Is it possible for Bernaldo to win, no matter how Arnaldo plays?

Topic: Combinatoria, Logica Metodo: Invarianti, Colorazione, Casework Abilita: Astrazione, Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Gioco su una tavola 2007x2007: Arnaldo rimuove 2x2 blocchi, Bernaldo rimuove singoli quadrati; Bernaldo può sempre vincere?

$2007^2$ piccoli quadrati uguali sono disposti formando una tavola $2007\times 2007$. Arnaldo e Bernaldo giocano il seguente gioco: ciascuna delle mosse di Arnaldo consiste nel rimuovere 4 piccoli quadrati che formano un quadrato $2\times 2$. Ogni mossa di Bernaldo consiste nel rimuovere solo un piccolo quadrato. I giocatori giocano alternativamente, con Arnaldo come primo a giocare. Quando Arnaldo non riesce più a fare la sua mossa, Bernaldo prende per sé tutti i piccoli quadrati rimasti sulla lavagna alla fine. Colui che ha più piccoli quadrati vince. E’ possibile che Bernaldo vinca, non importa come giochi?

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Convex quadrilateral; if angle POQ is right then PO bisects angle AOD and QO bisects angle AOB

Let $ABCD$ be a convex quadrilateral, $P$ the intersection of lines $AB$ and $CD$, $Q$ the intersection of lines $AD$ and $BC$, and $O$ the intersection of the diagonals $AC$ and $BD$. Prove that if $\angle POQ$ is a right angle then $PO$ is the bisector of $\angle AOD$ and $QO$ is the bisector of $\angle AOB$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Quadrilaterale convex; se l’angolo POQ è giusto allora il PO divide l’angolo AOD e il QO divide l’angolo AOB

Il $ABCD$ deve essere un quadrilaterale convex, $P$ l’intersezione delle linee $AB$ e $CD$, $Q$ l’intersezione delle linee $AD$ e $BC$, e $O$ l’intersezione delle diagonali $AC$ e $BD$. Prove che se $\angle POQ$ è un angolo retto, allora $PO$ è il bisector di $\angle AOD$ e $QO$ è il bisector di $\angle AOB$.

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Reals where each value occurs at most twice among pairwise differences; prove at least floor(n/2) differences occur exactly once

Given real numbers $x_1\le x_2\le \dots \le x_n$, suppose that every number occurs at most twice among the differences $x_j-x_i$, $1\le i<j\le n$. Prove that there are at least $\lfloor n/2\rfloor$ real numbers that occur exactly once among such differences.

Remark: in case you do not remember it, on yesterday’s exam, $\lfloor x\rfloor$ denotes the greatest integer that does not exceed $x$. For example, $\lfloor 2.5\rfloor =2$, $\lfloor 3\rfloor =3$ and $\lfloor -1.2\rfloor =-2$.

Topic: Combinatoria, Algebra Metodo: Doppio conteggio, Estremalità, Principio dei cassetti Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica, Astrazione, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Reali in cui ogni valore si verifica al massimo due volte tra le differenze in coppia; dimostrare che almeno le differenze di livello ((n/2) si verificano esattamente una volta

Dati i numeri reali $x_1\le x_2\le \dots \le x_n$, supponiamo che ogni numero si verifichi al massimo due volte tra le differenze $x_j-x_i$, $1\le i<j\le n$. Prove che ci sono almeno $\lfloor n/2\rfloor$ numeri reali che si verificano esattamente una volta tra tali differenze.

*Ricordo: * nel caso non vi ricordate, nell’esame di ieri $\lfloor x\rfloor$ indica il numero intero più grande che non supera $x$. Per esempio, $\lfloor 2.5\rfloor =2$, $\lfloor 3\rfloor =3$ e $\lfloor -1.2\rfloor =-2$.

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