Olimpíada Brasileira de Matemática 2007 — Nível Universitário — Fase 2

Iterated composition f∘f∘…∘f=0 has real solution given ac<0

Consider the function $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ given by $f(x)=a{x}^2+bx+c$, with $a,b,c\in \mathbb{R}$ and $ac<0$. Prove that, for every positive integer $n$, the equation $\underset{n}{\underbrace{f(f(\cdots (f(x))\cdots ))}}=0$ has at least one real solution.

Topic: Algebra, Insiemi e funzioni Metodo: Induzione, Estremalità Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

La composizione iterata ff…f=0 ha una soluzione reale data ac<0

Considera la funzione $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ data da $f(x)=a{x}^2+bx+c$, con $a,b,c\in \mathbb{R}$ e $ac<0$. Prova che per ogni intero positivo $n$, l’equazione $\underset{n}{\underbrace{f(f(\cdots (f(x))\cdots ))}}=0$ ha almeno una soluzione reale.

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Large subset of {1,…,N} contains a shifted arithmetic-density subinterval

Given a positive integer $n$, show that there exists a positive integer $N$ with the following property: if $A$ is a subset of $\{1,2,\dots ,N\}$ with at least $N/2$ elements, then there exists a positive integer $m\le N-n$ such that $|A\cap \{m+1,m+2,\dots ,m+k\}|\ge \frac{k}{2}$ for all $k=1,2,\dots ,n$.

Topic: Combinatoria Metodo: Estremalità, Principio dei cassetti, Doppio conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Un grande sottoinsieme di {1,…,N} contiene un sottointervallo di densità aritmetica spostata

Data una cifra integrale positiva $n$, indicare che esiste una cifra integrale positiva $N$ con la seguente proprietà: se $A$ è un sottoinsieme di $\{1,2,\dots ,N\}$ con almeno $N/2$ elementi, allora esiste una cifra integrale positiva $m\le N-n$ tale che $|A\cap \{m+1,m+2,\dots ,m+k\}|\ge \frac{k}{2}$ per tutti $k=1,2,\dots ,n$.

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Limit of supremum of largest root modulus over normalized monic polynomials

Consider the set $P_n$ of monic polynomials of degree $n>0$ with complex coefficients $p(x)=x^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_0$ satisfying $|a_{n-1}{|}^2+|a_{n-2}{|}^2+\cdots +|a_0{|}^2=1$.

For $p(x)\in P_n$, let $r(p(x))$ be the maximum of the moduli of the roots of $p(x)$, and let $s(n)={\sup }_{p\in P_n}r(p(x)).$ Determine $\underset{n\to \infty }{\lim }s(n)$.

Topic: Algebra, Insiemi e funzioni Metodo: Estremalità, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione, Stima Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Limita di suprema del modulo radice più grande sui polinomi monomici normalizzati

Considerare l’insieme $P_n$ di polinomi monetici di grado $n>0$ con coefficienti complessi $p(x)=x^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_0$ soddisfaci $|a_{n-1}{|}^2+|a_{n-2}{|}^2+\cdots +|a_0{|}^2=1$.

Per $p(x)\in P_n$, $r(p(x))$ è il massimo dei moduli delle radici di $p(x)$ e $s(n)={\sup }_{p\in P_n}r(p(x)).$ determina $\underset{n\to \infty }{\lim }s(n)$.

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Continuous f with f∘f=exp grows faster than any polynomial

Let $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ be a continuous function such that $f(f(x))=e^x$ for all $x\in \mathbb{R}$. Prove that, for every positive integer $n$, ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{f(x)}{x^n}=+\infty .$

Topic: Insiemi e funzioni, Algebra Metodo: Induzione, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

F continua con ff=exp cresce più velocemente di qualsiasi polinomio

Che $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ sia una funzione continua tale che $f(f(x))=e^x$ per tutti $x\in \mathbb{R}$. Prove che per ogni intero positivo $n$, ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{f(x)}{x^n}=+\infty .$

src_obm_2007_nu_f2__Q04

Count real symmetric square roots of a real symmetric matrix

Let $A$ be a real symmetric matrix of order $n$, with eigenvalues ${\lambda }_1\le {\lambda }_2\le \cdots \le {\lambda }_n$ (counted with multiplicity). Determine, in terms of ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n$:

a) The number of real symmetric matrices $B$ of order $n$ such that $B^2=A$.

b) The number of real matrices $B$ of order $n$ such that $B^2=A$.

Topic: Algebra Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Contare le radici quadrate simmetriche reali di una matrice simmetrica reale

$A$ sia una matrice simmetrica reale di ordine $n$, con valori propri ${\lambda }_1\le {\lambda }_2\le \cdots \le {\lambda }_n$ (conteggiata con moltiplicità). Determinare, in termini di ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n$:

a) Il numero di matrici simmetriche reali $B$ dell’ordine $n$ tale che $B^2=A$.

b) Il numero di matrici reali $B$ dell’ordine $n$ tale che $B^2=A$.

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S(a,b)=S(c,d) iff ab/cd is a rational square and S(a,b)∩S(c,d) contains nonzero rational

For $a,b\in \mathbb{Q}$, define the set $S(a,b)=\{a{x}^2+b{y}^2\mid x,y\in \mathbb{Q}\}$ of rationals that can be written in the form $a{x}^2+b{y}^2$ with $x,y\in \mathbb{Q}$. Given rationals $a,b,c,d$ all nonzero, show that $S(a,b)=S(c,d)$ if and only if $\frac{ab}{cd}$ is the square of a rational number and there exists a nonzero rational $q\in S(a,b)\cap S(c,d)$.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

S(a,b)=S(c,d) se ab/cd è un quadrato razionale e S(a,b) ∩S(c,d) contiene non zero razionale

Per $a,b\in \mathbb{Q}$, definire l’insieme $S(a,b)=\{a{x}^2+b{y}^2\mid x,y\in \mathbb{Q}\}$ di razionali che possono essere scritti nella forma $a{x}^2+b{y}^2$ con $x,y\in \mathbb{Q}$. Dati i razionali $a,b,c,d$ tutti non-zero, mostrare che $S(a,b)=S(c,d)$ se e solo se $\frac{ab}{cd}$ è il quadrato di un numero razionale e esiste un non-zero razionale $q\in S(a,b)\cap S(c,d)$.

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