Square of side 12 split into 7 rectangles; identify and find area of highlighted square
A square of side 12 was divided into seven non-overlapping rectangular regions, as shown in the figure. One of them has vertex , whose area is half the area of each of the two neighbouring rectangles; another is a square with vertex , whose area is half the area of each of the two neighbouring rectangles.
a) Show that the highlighted quadrilateral is a square. b) Calculate the area of the highlighted square.
Topic: Geometria piana, Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF
Quadrato del lato 12 diviso in 7 rettangoli; identificare e trovare l’area del quadrato evidenziato
Un quadrato di lato 12 è stato diviso in sette regioni rettangolari non sovrapposte, come mostrato nella figura. Uno di essi ha la verticale , la cui superficie è metà della superficie di ciascuno dei due rettangoli vicini; un altro è un quadrato con la verticale , la cui superficie è metà della superficie di ciascuno dei due rettangoli vicini.
a) Indicare che il quadrilatero evidenziato è quadrato. b) Calcolare l’area del quadrato sottolineato.
Operation replacing each digit with its successor mod 9, eliminating leading zeros; sequence and fixed-point analysis
Esmeralda chooses any positive integer and applies the following operation to it: each of its digits is replaced by its successor, except the digit 9, which is replaced by 0. Afterwards, any zeros that appear on the left are eliminated. For example, applying the operation to the number 990003953 gives 1114064 (note that the two zeros on the left, produced by the first two digits 9, are eliminated).
The operation is repeated indefinitely. For example, starting from 889, we obtain the sequence of numbers
a) Write the sequence of numbers when the first number is 2008. b) Show that, regardless of the starting number, after a finite number of applications of Esmeralda’s operation, she obtains 0.
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Invarianti, Induzione Abilita: Riconoscimento di pattern, Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF
Operazione che sostituisce ciascuna cifra con il suo successore mod 9, eliminando i primi zeri; sequenza e analisi a punto fisso
Esmeralda sceglie qualsiasi numero intero positivo e gli applica la seguente operazione: ciascuna delle sue cifre viene sostituita dal suo successore, ad eccezione della cifra 9, che viene sostituita da 0. Successivamente, tutti gli zeri che appaiono sulla sinistra vengono eliminati. Ad esempio, applicando l’operazione al numero 990003953 si ottiene 1114064 (nota che i due zero sulla sinistra, prodotti dai primi due numeri 9, vengono eliminati).
L’operazione si ripete a tempo indeterminato. Per esempio, partendo da 889, otteniamo la sequenza di numeri
a) Scrivi la sequenza dei numeri quando il primo numero è 2008. b) dimostrare che, indipendentemente dal numero iniziale, dopo un numero finito di applicazioni dell’operazione di Esmeralda, essa ottiene 0.
Count ways to tile a 3×n board with 3×1 pieces; specific values and n=15
Jade has pieces of size and wants to use them to cover a board. For example, for she can cover the board in the following way:
[A board covered by four pieces is shown.]
a) Determine in how many ways Jade can make a covering for . b) In how many ways can Jade cover the board for ?
Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Ricorsione, Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF
Contare i modi di tessitura di una scheda 3×n con 3×1 pezzi; valori specifici e n=15
Il giardo ha pezzi di dimensioni e vuole usarli per coprire una lavagna . Per esempio, per può coprire la lavagna come segue:
[Si mostra una lavagna coperta da quattro pezzi .]
a) Determinare in quanti modi il giardo può produrre un rivestimento per . b) In quanti modi il giardo può coprire la lavagna per ?
Regular hexagon tiles the plane; show regular pentagon with specific angle condition also tiles the plane
Consider the following hexagon:
[A regular hexagon is shown.]
With copies of this polygon we can tile the plane without overlaps, as the following figure shows.
[A tiling of the plane by regular hexagons is shown.]
a) Is it possible to tile the plane with copies of a regular pentagon?
Observation: A polygon is regular when all its sides have the same length and all its interior angles are equal.
b) Let be a pentagon with all sides equal and such that the measure of the interior angle at vertices and is and . Show that it is possible to tile the plane with copies of this pentagon, without overlaps.
Topic: Geometria piana, Combinatoria Metodo: Simmetria, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Lettura attenta Area: Geometria, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF
L’esagono regolare di piastrelle il piano; mostrare il pentagono regolare con condizioni di angolo specifici anche piastrelle il piano
Prendiamo in considerazione il seguente esagono:
[Si mostra un esagono regolare.]
Con le copie di questo poligono possiamo tessere il piano senza sovrapposizioni, come mostra la seguente figura.
[E’ mostrata una piastrella del piano con esagoni regolari.]
a) E’ possibile fare delle piastrelle con copie di un pentagono regolare?
*Osservazione: * Un poligono è regolare quando tutti i suoi lati hanno la stessa lunghezza e tutti i suoi angoli interni sono uguali.
b) Il deve essere un pentagono con tutti i lati uguali e tale che la misura dell’angolo interno alle vertici e sia e . Mostrare che è possibile tessere il piano con copie di questo pentagono, senza sovrapposizioni.
‘Garbosy’ numbers: positive multiples whose first four decimal digits are 2008; show 17 is garbosy and all positives are
We call a positive integer garbosy if it has a multiple whose four leading digits of its decimal representation are 2008. For example, 7 is garbosy because 200858 is a multiple of 7 and starts with 2008. Note that .
a) Show that 17 is garbosy. b) Show that every positive integer is garbosy.
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Congruenze, Principio dei cassetti, Induzione Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Lettura attenta, Stima Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF
- Numeri di ‘Garbosy’: multipli positivi le cui prime quattro cifre decimali sono 2008; mostrare 17 è garbosy e tutti i positivi sono *
Chiamiamo un intero positivo garbosy se ha un multiple la cui quattro cifre principali della sua rappresentazione decimale sono 2008. Ad esempio, 7 è disgustoso perché 200858 è un moltiplo di 7 e inizia con 2008. Si noti che .
a) Mostrare che il 17 e’ un’imbarazzo. b) Mostrare che ogni numero intero positivo è un’imbarazzo.