Olimpíada Brasileira de Matemática 2008 — Nível 2 — Fase 1

Find ratio of two angles in a figure with equal segments

In the drawing we have $AE=BE=CE=CD$. Moreover, $\alpha$ and $\beta$ are measures of angles. What is the value of the ratio $\frac{\alpha }{\beta }$?

(A) $\frac{3}{5}$ \quad (B) $\frac{4}{5}$ \quad (C) $1$ \quad (D) $\frac{5}{4}$ \quad (E) $\frac{5}{3}$

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: E Fonte: apri PDF

Ricerca il rapporto di due angoli in una figura con segmenti uguali

Nel disegno abbiamo $AE=BE=CE=CD$. Inoltre, $\alpha$ e $\beta$ sono misure di angoli. Qual è il valore del rapporto $\frac{\alpha }{\beta }$?

(A) $\frac{3}{5}$ \quad (B) $\frac{4}{5}$ \quad (C) $1$ \quad (D) $\frac{5}{4}$ \quad (E) $\frac{5}{3}$

Risposta: E src_obm_2008_n2_f1__Q01

How many of given radical numbers are greater than 10

How many of the numbers below are greater than $10$? $3\sqrt{11},4\sqrt{7},5\sqrt{5},6\sqrt{3},7\sqrt{2}$ (A) $1$ \quad (B) $2$ \quad (C) $3$ \quad (D) $4$ \quad (E) $5$

Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Stima Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: C Fonte: apri PDF

Quanti dei dati numeri radicali sono superiori a 10

Quanti dei seguenti numeri sono superiori a $10$? $3\sqrt{11},4\sqrt{7},5\sqrt{5},6\sqrt{3},7\sqrt{2}$ (A) $1$ \quad (B) $2$ \quad (C) $3$ \quad (D) $4$ \quad (E) $5$

Risposta: C src_obm_2008_n2_f1__Q02

Evaluate the square root of 12 to the 12th power

$\sqrt{12^{12}}$ is equal to: (A) $6^6$ \quad (B) $12^{2\sqrt{3}}$ \quad (C) $2^{12}\cdot 3^3$ \quad (D) $6^{12}$ \quad (E) ${\sqrt{12}}^{\sqrt{12}}$

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: C Fonte: apri PDF

Evaluare la radice quadrata di 12 alla 12a potenza

$\sqrt{12^{12}}$ è uguale a: (A) $6^6$ \quad (B) $12^{2\sqrt{3}}$ \quad (C) $2^{12}\cdot 3^3$ \quad (D) $6^{12}$ \quad (E) ${\sqrt{12}}^{\sqrt{12}}$

Risposta: C src_obm_2008_n2_f1__Q03

Number of employees speaking both of two languages

A large company has $84$ employees, all of whom speak at least one of two languages, Portuguese and English. Moreover, $20\%$ of those who speak Portuguese also speak English, and $80\%$ of those who speak English also speak Portuguese. How many employees speak both languages? (A) $12$ \quad (B) $14$ \quad (C) $15$ \quad (D) $16$ \quad (E) $18$

Topic: Teoria dei Numeri, Insiemi e funzioni Metodo: Inclusione-esclusione Abilita: Modellizzazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: D Fonte: apri PDF

Nombre di dipendenti che parlano entrambe le lingue

Una grande impresa ha dipendenti $84$, che parlano almeno una delle due lingue, il portoghese e l’inglese. Inoltre, $20\%$ di chi parla portoghese parla anche inglese, e $80\%$ di chi parla inglese parla anche portoghese. Quanti dipendenti parlano entrambe le lingue? (A) $12$ \quad (B) $14$ \quad (C) $15$ \quad (D) $16$ \quad (E) $18$

Risposta: D src_obm_2008_n2_f1__Q04

Car-washing earnings split in dimes among three people

Edmilson, Carlos and Eduardo earned a total of R$150.00 washing cars. They earned the amounts in dimes (moedas de dez centavos). Since none of them had change to divide the equal amounts among the three, Carlos and Eduardo gave their dimes to Edmilson, who then had more money in dimes, and they divided the dimes among themselves. In the end, each one could divide his original amount of dimes; Eduardo received R$10.00 in dimes and the others divided equally, so that each one ended up with an integer number of dimes. How much did Eduardo earn before the division? (A) R$76.00 \quad (B) R$51.00 \quad (C) R$23.00 \quad (D) R$50.00 \quad (E) R$100.00

Topic: Teoria dei Numeri, Logica Metodo: Casework Abilita: Lettura attenta, Modellizzazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Le entrate di lavaggio auto suddivise in dime tra tre persone

Edmilson, Carlos ed Eduardo hanno guadagnato un totale di R$150.00 washing cars. They earned the amounts in dimes (moedas de dez centavos). Since none of them had change to divide the equal amounts among the three, Carlos and Eduardo gave their dimes to Edmilson, who then had more money in dimes, and they divided the dimes among themselves. In the end, each one could divide his original amount of dimes; Eduardo received R$10.00 in dime e gli altri divisi ugualmente, in modo che ognuno finisse con un numero intero di dime. Quanto guadagnava Eduardo prima della divisione? (A) R$76.00 \quad (B) R$51.00 \quad (C) R$23.00 \quad (D) R$50.00 \quad (E) R$100.00

src_obm_2008_n2_f1__Q05

Sum of all numbers given means of 5 largest and 5 smallest

Some numbers are written on the board. The arithmetic mean of the $5$ largest is $68$ and the arithmetic mean of the $5$ smallest is $44$. The sum of all the numbers is: (A) $560$ \quad (B) $504$ \quad (C) $112$ \quad (D) $56$ \quad (E) $70$

Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Summa di tutti i numeri dati media di 5 più grandi e 5 più piccoli

Alcune cifre sono scritte sulla lavagna. La media aritmetica del $5$ più grande è $68$ e la media aritmetica del $5$ più piccolo è $44$. La somma di tutti i numeri è: (A) $560$ \quad (B) $504$ \quad (C) $112$ \quad (D) $56$ \quad (E) $70$

src_obm_2008_n2_f1__Q06

Count squares with vertices on a dot grid

How many squares have as vertices the points of the dotted grid (reticulado) shown beside? (A) $6$ \quad (B) $7$ \quad (C) $8$ \quad (D) $9$ \quad (E) $10$

Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF

Conteggiare quadrati con vertici su una griglia a punti

Quanti quadrati hanno come vertici i punti della griglia puntata (reticulado) mostrati accanto? (A) $6$ \quad (B) $7$ \quad (C) $8$ \quad (D) $9$ \quad (E) $10$

src_obm_2008_n2_f1__Q07

Next year June 14 falls again on a Saturday

The first phase of the OBM takes place on June 14, a Saturday of the leap year $2008$. From now on, in how many years will June 14 again be a Saturday? (A) $4$ \quad (B) $5$ \quad (C) $6$ \quad (D) $7$ \quad (E) $8$

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Congruenze, Casework Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

L’anno prossimo il 14 giugno è nuovamente sabato

La prima fase dell’OBM si svolge il 14 giugno, sabato dell’anno bisto $2008$. Da ora in poi, tra quanti anni il 14 giugno sarà di nuovo sabato? (A) $4$ \quad (B) $5$ \quad (C) $6$ \quad (D) $7$ \quad (E) $8$

src_obm_2008_n2_f1__Q08

Digits a,b,c with prime two-digit numbers summing to aaa

The digits $a$, $b$ and $c$ are such that the two-digit numbers $\overline{aa}$, $\overline{bc}$ and $\overline{cb}$ are prime numbers, and $\overline{aa}+\overline{bc}+\overline{cb}=\overline{aaa}$. If $c<a$, then $\overline{bc}$ is equal to: (A) $19$ \quad (B) $17$ \quad (C) $37$ \quad (D) $29$ \quad (E) $59$

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Riconoscimento di pattern, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Cifri a, b, c con numeri prim di due cifre che sumano aaa

Le cifre $a$, $b$ e $c$ sono tali che i numeri a due cifre $\overline{aa}$, $\overline{bc}$ e $\overline{cb}$ siano numeri primi e $\overline{aa}+\overline{bc}+\overline{cb}=\overline{aaa}$. Se $c<a$, allora $\overline{bc}$ è uguale a: (A) $19$ \quad (B) $17$ \quad (C) $37$ \quad (D) $29$ \quad (E) $59$

src_obm_2008_n2_f1__Q09

Five positive integers with given product-sum conditions, find total

Five positive integers $a,b,c,d,e$ greater than one satisfy the following conditions: $a(b+c+d+e)=128$ $b(a+c+d+e)=155$ $c(a+b+d+e)=203$ $d(a+b+c+e)=243$ $e(a+b+c+d)=275$ How much is $a+b+c+d+e$? (A) $9$ \quad (B) $16$ \quad (C) $25$ \quad (D) $36$ \quad (E) $49$

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

*Cinque integri positivi con determinate condizioni di somma del prodotto, trovare totale *

Cinque integri positivi $a,b,c,d,e$ superiori a uno soddisfano le seguenti condizioni: $a(b+c+d+e)=128$ $b(a+c+d+e)=155$ $c(a+b+d+e)=203$ $d(a+b+c+e)=243$ $e(a+b+c+d)=275$ Quanto è $a+b+c+d+e$? (A) $9$ \quad (B) $16$ \quad (C) $25$ \quad (D) $36$ \quad (E) $49$

src_obm_2008_n2_f1__Q10

Length MN from feet of perpendiculars, orthic triangle perimeter 10

In triangle $ABC$ the altitude $AH$ is drawn. Let $M$ and $N$ be points on sides $AB$ and $AC$, respectively, such that $HM$ is perpendicular to $AB$ and $HN$ is perpendicular to $AC$. Find $MN$, knowing that the perimeter of the orthic triangle of triangle $ABC$ is equal to $10$.

\textit{Observation:} The orthic triangle of a triangle is the triangle whose vertices are the intersections of the altitudes of the triangle with their respective sides. One can show that the altitudes of any triangle are always the bisectors of its orthic triangle (the orthocenter being the meeting point of the altitudes of the original triangle). (A) $5$ \quad (B) $6$ \quad (C) $7$ \quad (D) $8$ \quad (E) $9$

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

Lunghezza MN a partire da piedi perpendicolari, perimetro triangolo ortico 10

Nel triangolo $ABC$ si disegna l’altitudine $AH$. I punti $M$ e $N$ siano ponti sui lati $AB$ e $AC$, rispettivamente, in modo tale che $HM$ sia perpendicolare a $AB$ e $HN$ sia perpendicolare a $AC$. Trova $MN$, sapendo che il perimetro del triangolo ortico del triangolo $ABC$ è uguale a $10$.

\textit{Osservazione:} Il triangolo ortico di un triangolo è il triangolo le cui vertici sono le intersezioni delle altitudini del triangolo con i rispettivi lati. Si può dimostrare che le altitudini di qualsiasi triangolo sono sempre i bisettori del suo triangolo ortico (l’ortocentro è il punto di incontro delle altitudini del triangolo originale). (A) $5$ \quad (B) $6$ \quad (C) $7$ \quad (D) $8$ \quad (E) $9$

src_obm_2008_n2_f1__Q11

Count integers below 500 with exactly 15 divisors

How many positive integers smaller than $500$ have exactly $15$ distinct positive integer divisors? (A) $0$ \quad (B) $1$ \quad (C) $2$ \quad (D) $3$ \quad (E) $4$

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Contare numeri interi inferiori a 500 con esattamente 15 divisori

Quanti numeri interi positivi più piccoli di $500$ hanno esattamente $15$ distinti divisori di numeri interi positivi? (A) $0$ \quad (B) $1$ \quad (C) $2$ \quad (D) $3$ \quad (E) $4$

src_obm_2008_n2_f1__Q12

Sum of digit-sums P(1)+…+P(1000)

Let $P(n)$ be the sum of the digits of the number $n$. For example, $P(1234)=1+2+3+4=10$. What is the value of $P(1)+P(2)+P(3)+\dots +P(1000)$? (A) $200$ \quad (B) $500$ \quad (C) $400$ \quad (D) $900$ \quad (E) $2250$

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Conteggio, Simmetria Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

*Summa delle somme digitali P(1)+…+P(1000) *

$P(n)$ sia la somma delle cifre del numero $n$. Per esempio, $P(1234)=1+2+3+4=10$. Qual è il valore di $P(1)+P(2)+P(3)+\dots +P(1000)$? (A) $200$ \quad (B) $500$ \quad (C) $400$ \quad (D) $900$ \quad (E) $2250$

src_obm_2008_n2_f1__Q13

Ways to make R$10.00 with 10c and 25c coins, at least one each

In how many ways can we divide R$10.00 into coins of $10$ centavos and of $25$ centavos, using at least one coin of each type? (A) $15$ \quad (B) $16$ \quad (C) $17$ \quad (D) $18$ \quad (E) $19$

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Medi per fare R$10.00 con monete 10c e 25c, almeno una ciascuna

In quanti modi possiamo dividere R$10.00 into coins of $10$ centavos and of $25$ centavos, using at least one coin of each type? (A) $15$ \quad (B) $16$ \quad (C) $17$ \quad (D) $18$ \quad (E) $19$

src_obm_2008_n2_f1__Q14

Largest possible a given chained inequalities and d<40

The numbers $a$, $b$, $c$, $d$ are integers such that $a<2b$, $b<3c$, $c<4d$. If $d<40$, the largest possible value of $a$ will be: (A) $960$ \quad (B) $959$ \quad (C) $951$ \quad (D) $934$ \quad (E) $927$

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Estremalità Abilita: Stima, Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Le più piccole disuguaglianze in catena e d<40

I numeri $a$, $b$, $c$, $d$ sono numeri interi come $a<2b$, $b<3c$, $c<4d$. Se $d<40$, il valore più grande possibile di $a$ sarà: (A) $960$ \quad (B) $959$ \quad (C) $951$ \quad (D) $934$ \quad (E) $927$

src_obm_2008_n2_f1__Q15

Magic sum of an order-7 magic square with numbers 1 to 49

The figure below is an example of a magic square of order $4$. The sum of the $4$ numbers in each line, column or diagonal is $34$. We then say that the magic sum of this magic square is $34$. Suppose there exists a magic square of order $7$, formed by the integers from $1$ to $49$. Determine its magic sum. (A) $175$ \quad (B) $2450$ \quad (C) $1225$ \quad (D) $190$ \quad (E) $100$

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Summa magica di un quadrato magico di ordine-7 con numeri da 1 a 49

La figura seguente è un esempio di quadrato magico di ordine $4$. La somma dei numeri $4$ in ogni riga, colonna o diagonale è $34$. Quindi diciamo che la somma magica di questo quadrato magico è $34$. Supponiamo che esista un quadrato magico dell’ordine $7$, formato dai numeri interi da $1$ a $49$. Determina la sua somma magica. (A) $175$ \quad (B) $2450$ \quad (C) $1225$ \quad (D) $190$ \quad (E) $100$

src_obm_2008_n2_f1__Q16

Smallest x+y making a sum of powers a perfect square

Observe that: $3^2+4^2=5^2,$ $3^3+4^3+12^2=13^2,$ $3^4+4^4+12^2+84^2=85^2.$ What is the smallest possible value of the sum $x+y$ with $x$, $y$ positive integers such that $3^5+4^5+12^2+84^2+x^2=y^2$? (A) $289$ \quad (B) $250$ \quad (C) $425$ \quad (D) $795$ \quad (E) $103$

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

La minore x+y che rende la somma delle potenze un quadrato perfetto

Si noti che: $3^2+4^2=5^2,$ $3^3+4^3+12^2=13^2,$ $3^4+4^4+12^2+84^2=85^2.$ Qual è il valore più piccolo possibile della somma $x+y$ con $x$, $y$ interi positivi come $3^5+4^5+12^2+84^2+x^2=y^2$? (A) $289$ \quad (B) $250$ \quad (C) $425$ \quad (D) $795$ \quad (E) $103$

src_obm_2008_n2_f1__Q17

Three-digit number 629 times smaller than sum of all others

A certain three-digit number is $629$ times smaller than the sum of all the other three-digit numbers. This number is: (A) $450$ \quad (B) $785$ \quad (C) $630$ \quad (D) $471$ \quad (E) $525$

Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Un numero a tre cifre 629 volte inferiore alla somma di tutti gli altri

Un certo numero a tre cifre è $629$ volte inferiore alla somma di tutti gli altri numeri a tre cifre. Questo numero è: (A) $450$ \quad (B) $785$ \quad (C) $630$ \quad (D) $471$ \quad (E) $525$

src_obm_2008_n2_f1__Q18

Number of distinct cube colorings with 5 colors up to rotation

Soninha has cards in the shape of cubes, all equal, with a different design on each of the six faces. She will use five colors (green, yellow, blue, vermilion and orange) to paint each card, in such a way that no two faces of the same card are painted the same color. The figure below, for example, shows two cards that are equal, but appear different because one of them was rotated to be obtained from the other. How many different cards can Soninha produce? (A) $16$ \quad (B) $25$ \quad (C) $30$ \quad (D) $60$ \quad (E) $90$

Topic: Combinatoria, Geometria solida Metodo: Simmetria, Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF

Numero di colori a cubo distinti con 5 colori fino alla rotazione

Soninha ha carte a forma di cubi, tutte uguali, con un design diverso su ciascuno dei sei volti. Utilizzerà cinque colori (verde, gialle, azzurre, rosso e arancione) per dipingere ogni scheda, in modo tale che due facce della stessa scheda non siano dipinte dello stesso colore. La figura qui sotto, ad esempio, mostra due carte che sono uguali, ma sembrano diverse perché una di loro è stata girata per essere ottenuta dall’altra. Quante carte diverse può produrre Soninha? (A) $16$ \quad (B) $25$ \quad (C) $30$ \quad (D) $60$ \quad (E) $90$

src_obm_2008_n2_f1__Q19

Angle IAO between incenter and circumcenter directions

In a triangle $ABC$, $\angle A=20^{\circ }$ and $\angle B=110^{\circ }$. If $I$ is the incenter (center of the inscribed circle) and $O$ is the circumcenter (center of the circumscribed circle) of triangle $ABC$, what is the measure of angle $\angle IAO$? (A) $20^{\circ }$ \quad (B) $25^{\circ }$ \quad (C) $30^{\circ }$ \quad (D) $40^{\circ }$ \quad (E) $35^{\circ }$

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

Angolo IAO tra le direzioni incentro e circoncentro

In un triangolo $ABC$, $\angle A=20^{\circ }$ e $\angle B=110^{\circ }$. Se $I$ è l’incentro (centro del cerchio inciso) e $O$ è il circumcentro (centro del cerchio circoscritto) del triangolo $ABC$, qual è la misura dell’angolo $\angle IAO$? (A) $20^{\circ }$ \quad (B) $25^{\circ }$ \quad (C) $30^{\circ }$ \quad (D) $40^{\circ }$ \quad (E) $35^{\circ }$

src_obm_2008_n2_f1__Q20

Minimum number of girls among 60% of class doing community work

A class has $22$ boys and $18$ girls. During the vacation, $60\%$ of all the students of that class went to do community work. At least, how many girls participated in this work? (A) $1$ \quad (B) $2$ \quad (C) $4$ \quad (D) $6$ \quad (E) $8$

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Estremalità Abilita: Stima Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Minimum di ragazze tra il 60% della classe che svolge attività comunitarie

Una classe ha ragazzi e ragazze. Durante le vacanze, $60\%$ di tutti gli studenti di quella classe sono andati a fare lavori comunitari. Almeno quante ragazze hanno partecipato a questo lavoro? (A) $1$ \quad (B) $2$ \quad (C) $4$ \quad (D) $6$ \quad (E) $8$

src_obm_2008_n2_f1__Q21

Relation among three triangle areas between two parallel lines

In the figure below the points $A$, $B$, $C$ are collinear, as are the points $D$, $E$, $F$. The two lines $ABC$ and $DEF$ are parallel. Letting $A_1$, $A_2$ and $A_3$ be the areas of the highlighted regions in the figure, we may state that: (A) $A_3=2A_1=2A_2$ \quad (B) $A_2=A_3-A_1$ \quad (C) $A_3=A_2+A_3$ \quad (D) $A_3=A_1+A_2$ \quad (E) $A_2^2=A_1\cdot A_3$

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

Relazione tra tre aree triangolari tra due linee parallele

Nella figura seguente i punti $A$, $B$, $C$ sono collineari, così come i punti $D$, $E$, $F$. Le due linee $ABC$ e $DEF$ sono parallele. Lasciando $A_1$, $A_2$ e $A_3$ essere le aree delle regioni evidenziate nella figura, possiamo affermare che: (A) $A_3=2A_1=2A_2$ \quad (B) $A_2=A_3-A_1$ \quad (C) $A_3=A_2+A_3$ \quad (D) $A_3=A_1+A_2$ \quad (E) $A_2^2=A_1\cdot A_3$

src_obm_2008_n2_f1__Q22

Determine result of Austria vs Denmark from group standings

Group A of the last Football World Cup ended with the following results:

Austria $7$ points; Brazil $5$ points; Cameroon $4$ points; Denmark $0$ points.

It is known that Austria and Cameroon scored only $1$ goal each, while Austria conceded $3$ goals. What was the result of the match Austria $\times$ Denmark?

\textit{Observation:} In the group, each team plays the others once; a victory gives $3$ points, a tie gives $1$ point to each, and the loser gains nothing; or, if there is a tie, each team gains $1$ point. (A) $1\times 0$ \quad (B) $2\times 1$ \quad (C) $2\times 0$ \quad (D) $0\times 0$ \quad (E) It is not possible to know.

Topic: Combinatoria, Logica Metodo: Casework Abilita: Casework accurato, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Determine il risultato dell’Austria contro la Danimarca dalla classifica di gruppo

Il Gruppo A dell’ultima Coppa del Mondo di calcio si è concluso con i seguenti risultati:

Austria $7$ punti; Brasile $5$ punti; Camerun $4$ punti; Danimarca $0$ punti.

È noto che l’Austria e il Camerun hanno segnato solo $1$ gol ciascuno, mentre l’Austria ha ceduto $3$ gol. Qual è stato il risultato della partita Austria $\times$ Danimarca?

\textit{Osservazione:} Nel gruppo, ciascuna squadra gioca con le altre una volta; una vittoria dà $3$ punti, un pareggio dà $1$ punti a ciascuna, e il perdente non guadagna nulla; o, se c’è un pareggio, ogni squadra guadagna $1$ punti. (A) $1\times 0$ \quad (B) $2\times 1$ \quad (C) $2\times 0$ \quad (D) $0\times 0$ \quad (E) Non è possibile saperlo.

src_obm_2008_n2_f1__Q23

Multiplicative magic square, find sum A+B+C+D

Below we have a multiplicative magic square, that is, the product of the numbers in each line, column and diagonal is the same. $\overline{ABCD}$ is a four-digit number, each letter representing a one-digit number, and $\overline{AC}$ represents the two-digit number whose digits are $A$ and $C$. Some cells of the square contain the given entries $4$, $\overline{AC}$, $C$ and $24$. The sum $A+B+C+D$ is: (A) $17$ \quad (B) $18$ \quad (C) $19$ \quad (D) $20$ \quad (E) $21$

Topic: Teoria dei Numeri, Logica Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Casework accurato, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Quadrato magico moltiplicato, trovare la somma A+B+C+D

Di seguito abbiamo un quadrato magico moltiplicativo, cioè il prodotto dei numeri in ogni riga, colonna e diagonale è lo stesso. $\overline{ABCD}$ è un numero a quattro cifre, ciascuna lettera rappresenta un numero a una cifra e $\overline{AC}$ rappresenta il numero a due cifre i cui numeri sono $A$ e $C$. Alcune celle del quadrato contengono le voci $4$, $\overline{AC}$, $C$ e $24$. La somma $A+B+C+D$ è: (A) $17$ \quad (B) $18$ \quad (C) $19$ \quad (D) $20$ \quad (E) $21$

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Small cubes with both a red and a blue face from a cut cube

I have a wooden cube with three red faces and three blue faces. It is cut into $3\times 3\times 3=27$ smaller cubes. How many of these smaller cubes have at least one red face and at least one blue face? (A) $6$ \quad (B) $12$ \quad (C) $14$ \quad (D) $16$ \quad (E) It depends on the arrangement of the red faces and the blue faces.

Topic: Combinatoria, Geometria solida Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF

Cubini piccoli con faccia rossa e blu provenienti da un cubo tagliato

Ho un cubo di legno con tre facce rosse e tre facce blu. È tagliato in cubetti $3\times 3\times 3=27$ più piccoli. Quanti di questi cubetti più piccoli hanno almeno una faccia rossa e almeno una faccia blu? (A) $6$ \quad (B) $12$ \quad (C) $14$ \quad (D) $16$ \quad (E) Dipende dalla disposizione delle facce rosse e delle facce blu.

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