Olimpíada Brasileira de Matemática 2008 — Nível 2 — Fase 3

Domino precious sets: prove, count doubles, count all

A domino set is formed by 28 different pieces. Each piece has two halves, each half having from zero to six dots.

Esmeralda places 4 domino pieces inside a box, respecting the game rules — that is, pieces placed adjacent to each other touch half-to-half with the same number of dots. Whenever it is possible to store the four pieces in the box, we say the set of four pieces is precious. The figure alongside shows the ways in which the precious set can be arranged:

(a) Show that a precious set cannot contain two double pieces (a double piece has both halves with the same number of dots).

The figure below shows the precious sets with two double pieces:

(b) How many precious sets contain exactly one double piece?

(c) Determine the total number of precious sets.

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Sette preziose di domini: prove, contate a doppio, contate tutte

Un set di domino è formato da 28 pezzi diversi. Ogni pezzo ha due metà, ciascuna metà ha da zero a sei punti.

Esmeralda mette 4 pezzi di domino all’interno di una scatola, rispettando le regole del gioco cioè, i pezzi posizionati vicini a vicenda toccano mezzo a mezzo con lo stesso numero di punti. Ogni volta che è possibile conservare i quattro pezzi nella scatola, diciamo che l’insieme di quattro pezzi è prezioso. La figura accanto mostra i modi in cui il prezioso set può essere organizzato:

(a) dimostrare che un insieme prezioso non può contenere due pezzi doppi (un doppio pezzo ha entrambe le metà con lo stesso numero di punti).

La figura seguente mostra i preziosi set con due doppi pezzi:

(b) Quanti preziosi set contengono esattamente un doppio pezzo?

c) Determinare il numero totale di set preziosi.

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Intersection point of two circles is circumcenter of ABC

Let $A$ be one of the intersection points of two circles with centers $X$ and $Y$. The tangents to the circles at $A$ intersect the circles again at $B$ and $C$, respectively. Let $P$ be a point in the plane such that $PXAY$ is a parallelogram. Prove that $P$ is the circumcenter of triangle $ABC$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Il punto di intersezione di due cerchi è il centro circostante di ABC

Che $A$ sia uno dei punti di intersezione di due cerchi con centri $X$ e $Y$. Le tangenti ai cerchi a $A$ si incrociano di nuovo ai cerchi a $B$ e $C$, rispettivamente. Che $P$ sia un punto del piano tale che $PXAY$ sia un parallelo. Prove che $P$ è il circoncentro del triangolo $ABC$.

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No positive integers satisfy $x^x+y^y=2^{2009}$

Prove that there are no positive integers $x$ and $y$ such that $x^x+y^y=2^{2009}$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

*Nessun numero intero positivo soddisfa $x^x+y^y=2^{2009}$ *

Prova che non esistono numeri interi positivi $x$ e $y$ tali da $x^x+y^y=2^{2009}$.

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Solve real system with cyclic reciprocals and xyz=1

Solve, in real numbers, the system $x+\frac{1}{y}=y+\frac{1}{z}=z+\frac{1}{x}$ $xyz=1.$

Topic: Algebra Metodo: Simmetria, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Solvi un sistema reale con reciprocità cicliche e xyz=1

Risolvere, in numeri reali, il sistema $x+\frac{1}{y}=y+\frac{1}{z}=z+\frac{1}{x}$ $xyz=1.$

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Ant turning 60 degrees each step: return after 2008 or 2009 steps?

An ant walks in the plane in the following manner: initially, it walks $1\text{cm}$ in any direction. After each step, it changes the direction of its trajectory by $60^{\circ }$ to the left or to the right, and walks $1\text{cm}$ in that new direction. Is it possible for the ant to return to its starting point in (a) $2008$ steps? (b) $2009$ steps?

Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Invarianti, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF

Ante che girano 60 gradi ogni passo: ritorno dopo i passi del 2008 o del 2009?

Una formica cammina nel piano in questo modo: inizialmente cammina $1\text{cm}$ in qualsiasi direzione. Dopo ogni passo, cambia la direzione della sua traiettoria di $60^{\circ }$ a sinistra o a destra e cammina $1\text{cm}$ in quella nuova direzione. È possibile che la formica ritorni al suo punto di partenza in (a) $2008$? b) le fasi $2009$?

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Circumcenter O, secondary intersections, three lines concurrent

Let $ABC$ be a triangle and $O$ its circumcenter. Lines $AB$ and $AC$ meet the circumcircle of $OBC$ again at $B_1\ne B$ and $C_1\ne C$, respectively; lines $BA$ and $BC$ meet the circumcircle of $OAC$ at $A_2\ne A$ and $C_2\ne C$, respectively; and lines $CA$ and $CB$ meet the circumcircle of $OAB$ at $A_3\ne A$ and $B_3\ne B$, respectively. Prove that lines $A_2{A}_3$, $B_1{B}_3$, and $C_1{C}_2$ are concurrent.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Astrazione, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Circumcentro O, intersezioni secondarie, tre linee contemporanee

Lasciate che $ABC$ sia un triangolo e $O$ il suo centro circonda. Le linee $AB$ e $AC$ rientrano nel circoncircolo di $OBC$ rispettivamente a $B_1\ne B$ e $C_1\ne C$; le linee $BA$ e $BC$ rientrano nel circoncircolo di $OAC$ rispettivamente a $A_2\ne A$ e $C_2\ne C$; le linee $CA$ e $CB$ rientrano nel circoncircolo di $OAB$ rispettivamente a $A_3\ne A$ e $B_3\ne B$. Prove che le righe $A_2{A}_3$, $B_1{B}_3$ e $C_1{C}_2$ sono simultanee.

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