Olimpíada Brasileira de Matemática 2008 — Nível 3 — Fase 1

Find ratio alpha/beta in a figure with four equal segments

In the drawing we have $AE=BE=CE=CD$. Moreover, $\alpha$ and $\beta$ are measures of angles. What is the value of the ratio $\frac{\alpha }{\beta }$?

(A) $\frac{3}{5}$ (B) $\frac{4}{5}$ (C) $1$ (D) $\frac{5}{4}$ (E) $\frac{5}{3}$

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

Ricerca il rapporto alfa/beta in una figura con quattro segmenti uguali

Nel disegno abbiamo $AE=BE=CE=CD$. Inoltre, $\alpha$ e $\beta$ sono misure di angoli. Qual è il valore del rapporto $\frac{\alpha }{\beta }$?

(A) $\frac{3}{5}$ (B) $\frac{4}{5}$ (C) $1$ (D) $\frac{5}{4}$ (E) $\frac{5}{3}$

src_obm_2008_n3_f1__Q01

For x = 10^(-2008), find the option with the largest value

Let $x=10^{-2008}$. Indicate the alternative that presents the largest value.

(A) $\frac{1}{x}$ (B) $\frac{1}{x(x+1)}$ (C) $\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}}$ (D) $x$ (E) $\frac{x}{x+\frac{1}{x}}$

Topic: Algebra Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Algebra e Analisi Risposta: A Fonte: apri PDF

Per x = 10^(-2008), trovare l’opzione con il valore più grande

Let $x=10^{-2008}$. Indicare l’alternativa che presenta il maggior valore.

(A) $\frac{1}{x}$ (B) $\frac{1}{x(x+1)}$ (C) $\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}}$ (D) $x$ (E) $\frac{x}{x+\frac{1}{x}}$

Risposta: A src_obm_2008_n3_f1__Q02

Positive integer a and 1/a on a number line; find their sum

The positive integer $a$ and the number $\frac{1}{a}$ are located on the line in the following manner. (On the number line there are marks at $0$, at $\frac{1}{a}$, and at $a$; the distance from $\frac{1}{a}$ to $a$ is $\frac{80}{9}$.)

What is the sum of these two numbers?

(A) $\frac{9}{81}$ (B) $\frac{9}{80}$ (C) $\frac{81}{9}$ (D) $\frac{82}{9}$ (E) $9$

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: D Fonte: apri PDF

Integrale positivo a e 1/a su una linea di numeri; trovare la loro somma

Il numero intero positivo $a$ e il numero $\frac{1}{a}$ si trovano sulla linea come segue. (Sulla linea numerica ci sono segni a $0$, a $\frac{1}{a}$ e a $a$; la distanza da $\frac{1}{a}$ a $a$ è $\frac{80}{9}$.)

Qual è la somma di questi due numeri?

(A) $\frac{9}{81}$ (B) $\frac{9}{80}$ (C) $\frac{81}{9}$ (D) $\frac{82}{9}$ (E) $9$

Risposta: D src_obm_2008_n3_f1__Q03

Company employees: how many speak both Portuguese and English

A large company has $84$ employees, and it is known that each one of them speaks at least one of the languages Portuguese or English. Moreover, $20\%$ of those who speak Portuguese also speak English, and $80\%$ of those who speak English also speak Portuguese. How many of the employees speak the two languages?

(A) $12$ (B) $14$ (C) $15$ (D) $16$ (E) $18$

Topic: Teoria dei Numeri, Insiemi e funzioni Metodo: Inclusione-esclusione Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: A Fonte: apri PDF

I dipendenti dell’azienda: quanti parlano sia portoghese che inglese

Una grande impresa ha dipendenti $84$ e si sa che ognuno di loro parla almeno una delle lingue portoghesi o inglese. Inoltre, $20\%$ di chi parla portoghese parla anche inglese, e $80\%$ di chi parla inglese parla anche portoghese. Quanti dei dipendenti parlano le due lingue?

(A) $12$ (B) $14$ (C) $15$ (D) $16$ (E) $18$

Risposta: A src_obm_2008_n3_f1__Q04

Rafael chooses cards from an arithmetic set summing to 100

Rafael has $10$ cards. On each one of them is written one of the numbers $3,8,13,18,23,28,33,38,43,48$, and all of these numbers appear (each exactly once). Rafael wants to choose some cards in such a way that the sum of the numbers written on the chosen cards is exactly $100$. How many cards must he choose?

(A) $2$ (B) $3$ (C) $4$ (D) $5$ (E) It is not possible to obtain $100$ with these cards.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Congruenze, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: C Fonte: apri PDF

Raphael sceglie carte da un insieme aritmetico che somma a 100

Rafael ha carte $10$. Su ciascuno di essi è scritto uno dei numeri $3,8,13,18,23,28,33,38,43,48$, e tutti questi numeri appaiono (ogni uno esattamente una volta). Rafael vuole scegliere alcune carte in modo tale che la somma dei numeri scritti sulle carte scelte sia esattamente $100$. Quante carte deve scegliere?

(A) $2$ (B) $3$ (C) $4$ (D) $5$ (E) Non è possibile ottenere $100$ con queste carte.

Risposta: C src_obm_2008_n3_f1__Q05

Runners on a regular n-gon track meet at vertices; find n

On a running track, whose shape is a regular polygon with $n$ vertices, numbered from $1$ to $n$ in the counterclockwise direction, there are three people: Nelly, Sônia and Penha, all initially at the same vertex. At a given moment they begin to walk along the sides of the polygon. Nelly walks in the counterclockwise direction, while Sônia and Penha walk in the opposite direction. Nelly meets Sônia for the first time at a vertex, and meets Penha two vertices ahead. The speed of Nelly is double the speed of Sônia, and the speed of Sônia is double the speed of Penha. How many vertices does the polygon have?

(A) $30$ (B) $60$ (C) $15$ (D) $10$ (E) $6$

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Modellizzazione, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

I corridori su una pista regolare n-gon si incontrano a vertici; trovare n

Su una pista di corsa, la cui forma è un poligono regolare con vertici $n$, numerati da $1$ a $n$ nella direzione contraria al senso orario, ci sono tre persone: Nelly, Sônia e Penha, tutte inizialmente allo stesso vertice. A un certo punto iniziano a camminare lungo i lati del poligono. Nelly cammina nella direzione contraria al senso dell’orologio, mentre Sônia e Penha camminano nella direzione opposta. Nelly incontra Sônia per la prima volta ad un vertice, e incontra Penha due vertici avanti. La velocità di Nelly è il doppio della velocità di Sônia, e la velocità di Sônia è il doppio della velocità di Penha. Quanti vertici ha il poligono?

(A) $30$ (B) $60$ (C) $15$ (D) $10$ (E) $6$

src_obm_2008_n3_f1__Q06

Nine ordered numbers: middle is the mean of all; find total sum

Nine numbers are written in increasing order. The middle number is the arithmetic mean of the nine numbers. The arithmetic mean of the $5$ largest is $68$ and the arithmetic mean of the $5$ smallest is $44$. The sum of all the numbers is:

(A) $500$ (B) $504$ (C) $112$ (D) $56$ (E) $70$

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: B Fonte: apri PDF

*Nove numeri ordinati: mezzo è la media di tutti; trovare la somma totale *

Nove numeri sono scritti in ordine crescente. Il numero medio è la media aritmetica dei nove numeri. La media aritmetica del $5$ più grande è $68$ e la media aritmetica del $5$ più piccolo è $44$. La somma di tutti i numeri è:

(A) $500$ (B) $504$ (C) $112$ (D) $56$ (E) $70$

Risposta: B src_obm_2008_n3_f1__Q07

OBM on 14 June 2008 (Saturday, leap year); when will 14 June again be Saturday

The first stage of OBM 2008 was held on $14$ June, a Saturday of the leap year $2008$. In how many years will $14$ June again fall on a Saturday?

(A) $4$ (B) $5$ (C) $6$ (D) $7$ (E) $8$

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

OBM il 14 giugno 2008 (sabato, anno bisestivo); quando il 14 giugno sarà nuovamente sabato

La prima fase dell’OBM 2008 si è svolta il $14$ giugno, sabato dell’anno bisto $2008$. Tra quanti anni Giugno ricadrà sabato?

(A) $4$ (B) $5$ (C) $6$ (D) $7$ (E) $8$

src_obm_2008_n3_f1__Q08

Ways to make R$10.00 with 10-cent and 25-cent coins, at least one of each

In how many ways can we give change for R$ $10,00$ using coins of $10$ cents and $25$ cents, if at least one coin of each type must be used?

(A) $15$ (B) $16$ (C) $17$ (D) $18$ (E) $19$

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Medi per fare R$10.00 con monete da 10 cent e 25 cent, almeno una di ciascuna

In quanti modi possiamo dare cambio per R$ $10,00$ using coins of $10$ cents and $25$ centesimi, se deve essere utilizzata almeno una moneta di ogni tipo?

(A) $15$ (B) $16$ (C) $17$ (D) $18$ (E) $19$

src_obm_2008_n3_f1__Q09

Integer n such that n2^n has 2008 more divisors than n; find digit sum of n*

The integer $n$ is such that $n\cdot 2^n$ has $2008$ more divisors than $n$. The sum of the digits of $n$ is equal to:

(A) $5$ (B) $7$ (C) $9$ (D) $11$ (E) $12$

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Conteggio Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Integra n tale che n2^n abbia 2008 più divisori di n; trovare la somma di n*

Il numero intero $n$ è tale che $n\cdot 2^n$ ha $2008$ più divisori di $n$. La somma delle cifre di $n$ è uguale a:

(A) $5$ (B) $7$ (C) $9$ (D) $11$ (E) $12$

src_obm_2008_n3_f1__Q10

How many of 2,3,5,7,11 divide 371^4 - 41^4

How many of the numbers $2,3,5,7,11$ are divisors of $371^4-41^4$?

(A) one (B) two (C) three (D) four (E) five

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Quanti di 2,3,5,7,11 dividono 371^4 - 41^4

Quanti dei numeri $2,3,5,7,11$ sono divisori di $371^4-41^4$?

A) uno B) due C) tre D) quattro E) cinque

src_obm_2008_n3_f1__Q11

Wooden cube with 3 red and 3 blue faces cut into 27; count cubes with red and blue face

I have a wooden cube, with three red faces and three blue faces, in such a way that opposite faces have different colors. The cube is cut into $3\times 3\times 3=27$ smaller cubes. How many of these smaller cubes have, at the same time, one red face and another blue one?

(A) $6$ (B) $12$ (C) $13$ (D) $14$ (E) $16$

Topic: Geometria solida, Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico Area: Geometria, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

cubo di legno con 3 facce rosse e 3 facce blu tagliati in 27; cubbi di conteggio con facce rosse e blu

Ho un cubo di legno, con tre facce rosse e tre facce blu, in modo che facce opposte abbiano colori diversi. Il cubo viene tagliato in $3\times 3\times 3=27$ cubetti più piccoli. Quanti di questi cubetti più piccoli hanno, allo stesso tempo, una faccia rossa e un’altra blu?

(A) $6$ (B) $12$ (C) $13$ (D) $14$ (E) $16$

src_obm_2008_n3_f1__Q12

Number of real solutions of the cyclic system a^2=b+2, b^2=c+2, c^2=a+2

The number of real solutions of the system $\{\begin{array}{l}{a}^2=b+2\\ b^2=c+2\\ c^2=a+2\end{array}$ is equal to:

(A) $0$ (B) $1$ (C) $2$ (D) $4$ (E) $8$

Topic: Algebra Metodo: Simmetria, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Numero di soluzioni reali del sistema ciclico a^2=b+2, b^2=c+2, c

Il numero di soluzioni reali del sistema $\{\begin{array}{l}{a}^2=b+2\\ b^2=c+2\\ c^2=a+2\end{array}$ è uguale a:

(A) $0$ (B) $1$ (C) $2$ (D) $4$ (E) $8$

src_obm_2008_n3_f1__Q13

Probability Bernaldo has no spades given Arnaldo has none

Arnaldo, Bernaldo, Cernaldo and Dernaldo shuffle the $52$ cards of a deck and distribute $13$ cards to each. Arnaldo, surprised, says: “How strange, I have no card of spades.” What is the probability that Bernaldo also has no cards of spades?

(A) $\frac{39!}{26!52!}$ (B) $\frac{26!}{13!39!}$ (C) $\frac{39!39!}{26!52!}$ (D) $\frac{26!26!}{13!39!}$ (E) $\frac{39!13!}{52!}$

Topic: Probabilità, Combinatoria Metodo: Conteggio Abilita: Modellizzazione, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Probabilità Bernaldo non ha picche dato che Arnaldo non ne ha

Arnaldo, Bernaldo, Cernaldo e Dernaldo mescolano le carte $52$ di un mazzo e distribuiscono le carte $13$ a ciascuna. Arnaldo, sorpreso, dice: “Cos’è strano, non ho una carta di spade”. Qual è la probabilità che anche Bernaldo non abbia una carta di spade?

(A) $\frac{39!}{26!52!}$ (B) $\frac{26!}{13!39!}$ (C) $\frac{39!39!}{26!52!}$ (D) $\frac{26!26!}{13!39!}$ (E) $\frac{39!13!}{52!}$

src_obm_2008_n3_f1__Q14

Cards: a square design in 5 regions painted with 5 colors; count distinct under rotation

Soninha has many cards, all with the same drawing on one of the faces. She is going to use five different colors (green, yellow, blue, red and orange) to paint each one of the five parts of the drawing, each part with a different color, in such a way that no two cards are equal. As shown in the figure below, for example, two cards are considered equal, since one of them can be turned to obtain the other. How many different cards can Soninha produce?

(A) $16$ (B) $25$ (C) $30$ (D) $60$ (E) $120$

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Simmetria Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Carte: un disegno quadrato in 5 regioni dipinte con 5 colori; conteggio distinto in rotazione

Soninha ha molte carte, tutte con lo stesso disegno su una delle facce. Userà cinque colori diversi (verde, gialle, blu, rosso e arancione) per dipingere ciascuna delle cinque parti del disegno, ciascuna parte con un colore diverso, in modo tale che nessuna delle due carte sia uguale. Come mostra la figura seguente, ad esempio, due carte sono considerate uguali, poiché una di esse può essere girata per ottenere l’altra. Quante carte diverse può produrre Soninha?

(A) $16$ (B) $25$ (C) $30$ (D) $60$ (E) $120$

src_obm_2008_n3_f1__Q15

Quadrilateral ABCD with given angles; find angle DBC

Given the quadrilateral $ABCD$ such that $\angle CAD=25^{\circ }$, $\angle ACD=45^{\circ }$ and $\angle BAC=\angle BCA=20^{\circ }$, what is the value of the angle $\angle DBC$?

(A) $40^{\circ }$ (B) $45^{\circ }$ (C) $50^{\circ }$ (D) $55^{\circ }$ (E) $60^{\circ }$

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

ABCD quadrilaterale con angoli dati; angolo di ricerca DBC

Dato il quadrilaterale $ABCD$ tale che $\angle CAD=25^{\circ }$, $\angle ACD=45^{\circ }$ e $\angle BAC=\angle BCA=20^{\circ }$, qual è il valore dell’angolo $\angle DBC$?

(A) $40^{\circ }$ (B) $45^{\circ }$ (C) $50^{\circ }$ (D) $55^{\circ }$ (E) $60^{\circ }$

src_obm_2008_n3_f1__Q16

Isosceles triangle PQR; tangent to circumcircle at Q meets extension of PR at X; find RX

In the isosceles triangle $PQR$, with $PQ=PR=3$ and $QR=2$, the tangent to its circumscribed circle at the point $Q$ meets the prolongation of the side $PR$ at $X$. The value of $RX$ is:

(A) $\frac{16}{5}$ (B) $\frac{12}{5}$ (C) $\frac{8}{3}$ (D) $\frac{9}{2}$ (E) $\frac{9}{4}$

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo isosceles PQR; tangente al circolo a Q incontra l’estensione del PR a X; trova RX

Nel triangolo di pari dimensioni $PQR$, con $PQ=PR=3$ e $QR=2$, la tangente del suo cerchio circoscritto al punto $Q$ risponde alla prolungatura del lato $PR$ a $X$. Il valore di $RX$ è:

(A) $\frac{16}{5}$ (B) $\frac{12}{5}$ (C) $\frac{8}{3}$ (D) $\frac{9}{2}$ (E) $\frac{9}{4}$

src_obm_2008_n3_f1__Q17

Triangle ABC (3,4,5): ratio of inradius to radius of circle centered on BC tangent to AC

Given a triangle $ABC$ with sides $AB=3$, $BC=4$ and $AC=5$. Let $R_1$ and $R_2$ be, respectively, the radii of the inscribed circle and of the circle with center on the side $BC$ that passes through $B$ and is tangent to the side $AC$. The ratio $\frac{R_1}{R_2}$ is equal to:

(A) $\frac{3}{4}$ (B) $\frac{2}{3}$ (C) $\frac{3}{2}$ (D) $\frac{8}{9}$ (E) $\frac{4}{5}$

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo ABC (3,4,5): rapporto tra il raggio di inraggio e il raggio del cerchio centrato sulla tangente BC e l’AC

Date un triangolo $ABC$ con lati $AB=3$, $BC=4$ e $AC=5$. $R_1$ e $R_2$ siano, rispettivamente, i radii del cerchio inciso e del cerchio con il centro sul lato $BC$ che passa attraverso $B$ ed è tangente al lato $AC$. Il rapporto $\frac{R_1}{R_2}$ è uguale a:

(A) $\frac{3}{4}$ (B) $\frac{2}{3}$ (C) $\frac{3}{2}$ (D) $\frac{8}{9}$ (E) $\frac{4}{5}$

src_obm_2008_n3_f1__Q18

Number of real solutions of x|x|+y|y|=1 and floor(x)+floor(y)=1

What is the number of real solutions of the system $x\cdot |x|+y\cdot |y|=1\text{and}\lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor =1,$ where $\lfloor x\rfloor$ represents the integer part of $x$?

(A) $0$ (B) $1$ (C) $2$ (D) $4$ (E) infinitely many

Topic: Algebra, Equazioni funzionali Metodo: Casework Abilita: Casework accurato, Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

*Numero di soluzioni reali di x) di x) di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di x) di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di di

Qual è il numero di soluzioni reali del sistema $x\cdot |x|+y\cdot |y|=1\text{and}\lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor =1,$ in cui $\lfloor x\rfloor$ rappresenta la parte integrale di $x$?

(A) $0$ (B) $1$ (C) $2$ (D) $4$

src_obm_2008_n3_f1__Q19

Count 4-digit ‘paladino’ numbers: multiples of 9 with no zero digit

A four-digit number is called paladino if it is a multiple of $9$ and none of its digits is zero. How many paladino numbers exist?

(A) $1284$ (B) $1024$ (C) $849$ (D) $1109$ (E) $729$

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Conta i numeri “paladino” a 4 cifre: multipli di 9 senza cifre zero

Un numero a quattro cifre è chiamato paladino se è un multiple di $9$ e nessuna delle sue cifre è zero. Quanti numeri paladino esistono?

(A) $1284$ (B) $1024$ (C) $849$ (D) $1109$ (E) $729$

src_obm_2008_n3_f1__Q20

Count functions f(x)=cx/(2x+3) with f(f(x))=x for all x

Consider the function $f$, defined on the set of real numbers and satisfying $f(x)=\frac{cx}{2x+3}$, for all $x\ne -\frac{3}{2}$. Determine the number of such functions $f$ for which $f(f(x))=x$, for all $x$ for which $f(f(x))$ is well defined.

(A) $0$ (B) $1$ (C) $2$ (D) $4$ (E) infinitely many

Topic: Algebra, Equazioni funzionali, Insiemi e funzioni Metodo: Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Conteggi funzioni f(x)=cx/(2x+3) con f(f(x))=x per tutte le x

Considera la funzione $f$, definita sull’insieme dei numeri reali e soddisfacente $f(x)=\frac{cx}{2x+3}$, per tutti $x\ne -\frac{3}{2}$. Determinare il numero di tali funzioni $f$ per le quali $f(f(x))=x$, per tutte le $x$ per le quali $f(f(x))$ è ben definito.

(A) $0$ (B) $1$ (C) $2$ (D) $4$

src_obm_2008_n3_f1__Q21

Cone of height 5cm filled with sand to 3cm, then inverted; find sand level height

Cicero’s favorite toy is a straight glass cone with $5$ cm of height. Cicero filled the cone with sand up to a height of $3$ cm, as shown in figure 1. Then, Cicero closed the base of the cone and turned it upside down, as indicated in figure 2. At what height from the base of the cone, in cm, does the mark of sand stand?

(A) $1$ (B) $2$ (C) $5-\sqrt[3]{98}$ (D) $\sqrt[3]{98}$ (E) $1-\frac{\sqrt[3]{98}}{5}$

Topic: Geometria solida Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Cono di altezza di 5 cm riempito di sabbia a 3 cm, poi invertito; trova l’altezza del livello di sabbia

Il giocattolo preferito di Cicerone è un cono di vetro retto di $5$ cm di altezza. Cicero ha riempito il cono di sabbia fino a una altezza di $3$ cm, come mostrato alla figura 1. Poi Cicerone chiuse la base del cono e lo girò a testa in giù, come indicato nella figura 2. A che altezza dalla base del cono, in cm, si trova il segno di sabbia?

(A) $1$ (B) $2$ (C) $5-\sqrt[3]{98}$ (D) $\sqrt[3]{98}$ (E) $1-\frac{\sqrt[3]{98}}{5}$

src_obm_2008_n3_f1__Q22

Multiplicative magic square with cells 4, AC, C, 24; find A+B+C+D

Below we have a multiplicative magic square, where the product of the numbers in each row, column and diagonal is the same and equal to the four-digit number $ABCD$, where each letter represents a digit and each cell contains an integer. If $AC$ represents the two-digit number in the center of the square, the sum $A+B+C+D$ is: (In the $3\times 3$ grid: the top-right cell is $4$; the center cell is $AC$; the bottom-middle cell is $C$; and the bottom-right cell is $24$.)

(A) $17$ (B) $18$ (C) $19$ (D) $20$ (E) $21$

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Lettura attenta, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Quadrato magico moltiplicativo con cellule 4, AC, C, 24; trovare A+B+C+D

Di seguito abbiamo un quadrato magico moltiplicativo, dove il prodotto dei numeri in ogni riga, colonna e diagonale è lo stesso ed è uguale al numero a quattro cifre $ABCD$, dove ogni lettera rappresenta una cifra e ogni cella contiene un numero intero. Se $AC$ rappresenta il numero a due cifre nel centro del quadrato, la somma $A+B+C+D$ è: (Nella griglia $3\times 3$: la cella in alto a destra è $4$; la cella centrale è $AC$; la cella inferiore-media è $C$; e la cella in basso a destra è $24$.)

(A) $17$ (B) $18$ (C) $19$ (D) $20$ (E) $21$

src_obm_2008_n3_f1__Q23

10 people of different heights in a line, decreasing from the tallest to both ends; count arrangements

Consider $10$ people, all of different heights, who must stand in a line in such a way that, starting from the tallest person, the heights must decrease toward both sides of the line (if the tallest person is the first or the last of the line, all the people from her onward must be in decreasing order of height). Obeying these conditions, in how many ways can these people stand in a line?

(A) $256$ (B) $768$ (C) $1260$ (D) $512$ (E) $2560$

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Biiezione Abilita: Conteggio sistematico, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

10 persone di altezza diversa in fila, diminuendo dal più alto alle due estremità; sistema di conteggio

Considerate le persone $10$, di altezza diversa, che devono stare in fila in modo tale che, partendo dalla persona più alta, le altezze devono diminuire verso entrambi i lati della linea (se la persona più alta è la prima o l’ultima della linea, tutte le persone da lei in avanti devono essere in ordine decrescente di altezza). Obbedendo a queste condizioni, in quanti modi queste persone possono stare in fila?

(A) $256$ (B) $768$ (C) $1260$ (D) $512$ (E) $2560$

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Five positive integers >1 with cyclic product conditions; find a+b+c+d+e

Five positive integers $a,b,c,d,e$, all greater than one, satisfy the following conditions: $a(b+c+d+e)=128$ $b(a+c+d+e)=155$ $c(a+b+d+e)=203$ $d(a+b+c+e)=243$ $e(a+b+c+d)=275$ What is the value of $a+b+c+d+e$?

(A) $9$ (B) $16$ (C) $25$ (D) $36$ (E) $49$

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Cinque integri positivi >1 con condizioni di prodotto cicliche; trovare a+b+c+d+e

Cinque integri positivi $a,b,c,d,e$, tutti più grandi di uno, soddisfano le seguenti condizioni: $a(b+c+d+e)=128$ $b(a+c+d+e)=155$ $c(a+b+d+e)=203$ $d(a+b+c+e)=243$ $e(a+b+c+d)=275$ Qual è il valore di $a+b+c+d+e$?

(A) $9$ (B) $16$ (C) $25$ (D) $36$ (E) $49$

src_obm_2008_n3_f1__Q25