Olimpíada Brasileira de Matemática 2008 — Nível 3 — Fase 2

Isosceles trapezoid, diagonal 100 m, angle 30°, find S/sqrt(3)

An isosceles trapezoid $ABCD$, with parallel sides $AB$ and $CD$, is such that the diagonal $BD$ measures $100\text{m}$ and the angle $\angle BDC$ measures $30^{\circ }$. Let $S$ be the area of the trapezoid in ${\text{m}}^2$. Determine $S/\sqrt{3}$.

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

*Isosceles trapezoide, diagonale di 100 m, angolo 30°, trovare S/sqrt(3) *

Un trapezoide $ABCD$ di uguali braccia, con lati paralleli $AB$ e $CD$, è tale che la diagonale $BD$ misura $100\text{m}$ e l’angolo $\angle BDC$ misura $30^{\circ }$. $S$ sia la superficie del trapezoide in ${\text{m}}^2$. Determinare $S/\sqrt{3}$.

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Compute sum of floor(sqrt(k)) for k=1 to 2008

If $x$ is a real number, we denote by $\lfloor x\rfloor$ the greatest integer less than or equal to $x$. For example, $\lfloor 2\rfloor =2$, $\lfloor \pi \rfloor =3$, and $\lfloor -2.1\rfloor =-3$. Compute the value of the sum $\lfloor \sqrt{1}\rfloor +\lfloor \sqrt{2}\rfloor +\lfloor \sqrt{3}\rfloor +\cdots +\lfloor \sqrt{2008}\rfloor .$

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Telescoping Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Summa calcolata del pavimento(sqrt(k)) per k=1 fino al 2008

Se $x$ è un numero reale, indichiamo con $\lfloor x\rfloor$ il numero intero più grande inferiore o uguale a $x$. Per esempio, $\lfloor 2\rfloor =2$, $\lfloor \pi \rfloor =3$ e $\lfloor -2.1\rfloor =-3$. Calcolare il valore della somma $\lfloor \sqrt{1}\rfloor +\lfloor \sqrt{2}\rfloor +\lfloor \sqrt{3}\rfloor +\cdots +\lfloor \sqrt{2008}\rfloor .$

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Sum of all 4-digit autoreplicating numbers (last digits of n² equal n)

A positive integer $n$ is called auto-replicating if the last digits of $n^2$ form the number $n$ itself. For example, $25$ is auto-replicating since $25^2=625$. Determine the sum of all auto-replicating numbers $n$ with exactly $4$ digits (that is, all auto-replicating numbers $n$ satisfying $1000\le n\le 9999$).

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

*Summa di tutti i numeri autoreplici a 4 cifre (ultimi cifre di n2 uguali a n) *

Un intero positivo $n$ è chiamato *auto-replicante * se le ultime cifre di $n^2$ formano il numero $n$ stesso. Ad esempio, $25$ si riproduce automaticamente da $25^2=625$. Determinare la somma di tutti i numeri di replicazione automatica $n$ con numeri $4$ esatti (cioè tutti i numeri di replicazione automatica $n$ che soddisfano $1000\le n\le 9999$).

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Count permutations of 1..9 where all elements between i and i+1 are less than i

How many permutations of $1,2,3,\dots ,9$ have the property that, for every $1\le i<9$, all numbers appearing between $i$ and $i+1$ in the permutation (where $i$ may appear either before or after $i+1$) are all less than $i$? For example, $976412358$ is a permutation with this property.

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Ricorsione, Induzione Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Conteggi permutazioni di 1,9, in cui tutti gli elementi tra i e i+1 sono inferiori a i

Quante permutazioni di $1,2,3,\dots ,9$ hanno la proprietà che, per ogni $1\le i<9$, tutti i numeri apparsi tra $i$ e $i+1$ nella permutazione (dove $i$ può apparire prima o dopo $i+1$) sono tutti inferiori a $i$? Ad esempio, $976412358$ è una permutazione con questa proprietà.

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Product of nonzero coefficients of minimal polynomial of a nested cube-root expression

Suppose $\alpha \in \mathbb{R}$ is a root of some non-zero polynomial with rational coefficients. The minimal polynomial of $\alpha$ is the monic polynomial $m(x)$ of least degree such that:

• $m(\alpha )=0$,
• $m(x)$ is monic (leading coefficient equal to $1$) and all its coefficients are rational.

For example, the minimal polynomial of $\sqrt{2}$ is $x^2-2$. Determine the product of the non-zero coefficients of the minimal polynomial of $\sqrt[3]{-27+5\sqrt{33}}-\sqrt[3]{27+5\sqrt{33}}.$

Topic: Algebra Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Prodotto di coefficienti non zero del polinomio minimo di un’espressione di radice cubica incastonata

Supponiamo che $\alpha \in \mathbb{R}$ sia una radice di qualche polinomio non zero con coefficienti razionali. Il minimo polinomio di $\alpha$ è il polinomio monico $m(x)$ di minore grado in modo che: - $m(\alpha )=0$, - $m(x)$ sia monico (coefficiente di punta uguale a $1$) e tutti i suoi coefficienti siano razionali.

Ad esempio, il polinomio minimo di $\sqrt{2}$ è $x^2-2$. Determinare il prodotto dei coefficienti non zero del polinomio minimo di $\sqrt[3]{-27+5\sqrt{33}}-\sqrt[3]{27+5\sqrt{33}}.$

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Find all positive integers m, n with m²+161=3^n

Determine all positive integers $m$ and $n$ such that $m^2+161=3^n.$

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca tutti gli integri positivi m, n con m2+161=3^n

Determinare tutti gli integri positivi $m$ e $n$ in modo tale che $m^2+161=3^n.$

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Count idempotent functions f:{1,2,3,4,5}→{1,2,3,4,5}

Determine the number of functions $f:\{1,2,3,4,5\}\to \{1,2,3,4,5\}$ such that $f(f(x))=f(x)$ for all $x\in \{1,2,3,4,5\}$.

Topic: Combinatoria, Insiemi e funzioni Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Conta le funzioni idempotenti f:{1,2,3,4,5}→{1,2,3,4,5}

Determinare il numero di funzioni $f:\{1,2,3,4,5\}\to \{1,2,3,4,5\}$ in modo tale che $f(f(x))=f(x)$ per tutte le $x\in \{1,2,3,4,5\}$.

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Trapezoid inscribed in circle of radius 25, CD diameter, height 24, compute AF·BG/FG

A trapezoid $ABCD$, with parallel sides $AB\parallel CD$, is inscribed in a circle of radius $25$. It is known that $CD$ is a diameter and the height of the trapezoid is $24$. Let $E$ be the point on the arc $AB$ (on the minor arc determined by $A$ and $B$) with the smallest distance to $AB$ as determined by $A$ and $B$. Let $F$ and $G$ be the intersection points of lines $ED$ and $EC$ with $AB$, respectively. Compute $\frac{AF\cdot BG}{FG}.$

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Trapezoide inciso in un cerchio di raggio 25, diametro CD, altezza 24, calcolo AF·BG/FG

Un trapezoide $ABCD$, con lati paralleli $AB\parallel CD$, è inserito in un cerchio di raggio $25$. È noto che $CD$ è diametro e che l’altezza del trapezoide è $24$. Il $E$ deve essere il punto sull’arco $AB$ (sulla minor arc determinata da $A$ e $B$) con la più piccola distanza da $AB$ determinata da $A$ e $B$. $F$ e $G$ siano rispettivamente i punti di intersezione delle linee $ED$ e $EC$ con $AB$. Calcolo $\frac{AF\cdot BG}{FG}.$

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Minimize product of 2008 entries of 2008×2008 matrix (i+j), one per row and column

In a $2008\times 2008$ matrix, the element in row $i$ and column $j$ is the number $i+j$ (rows and columns are numbered from $1$ to $2008$). We choose $2008$ elements from this matrix such that no two chosen elements lie in the same row or the same column. The chosen elements are then multiplied together. What is the smallest possible product that can be obtained in this way?

Topic: Combinatoria, Algebra Metodo: Estremalità, Simmetria Abilita: Conteggio sistematico, Stima, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Minimizzare il prodotto delle voci 2008 del 2008× 2008 matrice (i+j), una per riga e colonna

In una matrice $2008\times 2008$, l’elemento nella riga $i$ e nella colonna $j$ è il numero $i+j$ (le righe e le colonne sono numerate da $1$ a $2008$). Scegliamo gli elementi $2008$ di questa matrice in modo che non ci siano due elementi scelti nella stessa riga o nella stessa colonna. Gli elementi scelti vengono poi moltiplicati insieme. Qual è il prodotto più piccolo possibile che si possa ottenere in questo modo?

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