Olimpíada Brasileira de Matemática 2008 — Nível 3 — Fase 3

Prove every positive integer is ‘gaudy’ (has multiple starting with 2008)

We call a positive integer gaudy if it has a multiple whose first four decimal digits are $2008$. For example, $7$ is gaudy because $200858$ is a multiple of $7$ and begins with $2008$ (note that $200858=28694\times 7$). Prove that every positive integer is gaudy.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Induzione, Congruenze Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

*Prove che ogni intero positivo è ‘gaudy’ (ha multipli a partire dal 2008) *

Chiamiamo un intero positivo gaudy se ha un multiple le cui prime quattro cifre decimali sono $2008$. Ad esempio, $7$ è gaudy perché $200858$ è un multiple di $7$ e inizia con $2008$ (nota che $200858=28694\times 7$). Prove che ogni intero positivo è goody.

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Segment covering 3n of 6n coloured points on a line

On a line there is a set $S$ of $6n$ points. Of these, $4n$ are chosen at random and coloured blue; the remaining $2n$ are coloured green. Prove that there exists a segment containing exactly $3n$ points of $S$, of which $2n$ are blue and $n$ are green.

Topic: Combinatoria Metodo: Invarianti, Casework, Estremalità Abilita: Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Segmento che copre 3n di 6n punti colorati su una linea

Su una linea c’è un insieme $S$ di punti $6n$. Di questi, $4n$ sono scelti a caso e colorati in blu; i restanti $2n$ sono colorati in verde. Dimostrare che esiste un segmento contenente esattamente $3n$ punti di $S$, di cui $2n$ blu e $n$ verde.

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Minimum of symmetric rational expression under constraint x+y+z=xy+yz+zx

Let $x,y,z$ be real numbers satisfying $x+y+z=xy+yz+zx$. Find the minimum value of $\frac{x}{x^2+1}+\frac{y}{y^2+1}+\frac{z}{z^2+1}.$

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Simmetria, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Minimum di espressione razionale simmetrica sotto vincolo x+y+z=xy+yz+zx

$x,y,z$ siano numeri reali che soddisfino $x+y+z=xy+yz+zx$. Trova il valore minimo di $\frac{x}{x^2+1}+\frac{y}{y^2+1}+\frac{z}{z^2+1}.$

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Cyclic quadrilateral: OP perpendicular to CD via angle bisector reflections

Let $ABCD$ be a cyclic quadrilateral, and let $r$ and $s$ be the reflections of line $AB$ across the internal bisectors of angles $\angle CAD$ and $\angle CBD$, respectively. Let $P$ be the intersection of $r$ and $s$, and let $O$ be the circumcentre of $ABCD$. Prove that $OP$ is perpendicular to $CD$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Simmetria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Quadrilaterale ciclico: OP perpendicolare al CD attraverso riflessi di angolo bisector

Che $ABCD$ sia un quadrilaterale ciclico, e che $r$ e $s$ siano i riflessi della linea $AB$ attraverso i bisettori interni degli angoli $\angle CAD$ e $\angle CBD$, rispettivamente. Il $P$ è l’intersezione di $r$ e $s$, e il $O$ è il circoncentro di $ABCD$. Provare che $OP$ è perpendicolare a $CD$.

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Existence of f: Z+→Z+ satisfying f(a·f(n))=b·n for all n

Prove that for any integers $a>1$ and $b>1$ there exists a function $f$ from the positive integers to the positive integers such that $f(a\cdot f(n))=b\cdot n$ for every positive integer $n$.

Topic: Insiemi e funzioni, Teoria dei Numeri Metodo: method_casework, Induzione, Ricorsione Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Esistenza di f: Z+→Z+ che soddisfa f(a·f(n))=b·n per tutte le n

Prova che per tutti gli enti $a>1$ e $b>1$ esiste una funzione $f$ dai numeri interi positivi ai numeri interi positivi in modo tale che $f(a\cdot f(n))=b\cdot n$ per ogni intero positivo $n$.

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Max number of prophetic words of length 10 in a binary word of length 10000

The Venusian prophet Zabruberson sent his disciples a word of $10000$ letters, each letter being either A or E: the Zabrubic Word. His followers considered, for each $1\le k\le 10000$, every word formed by $k$ consecutive letters of the Zabrubic Word to be a prophetic word of length $k$. It is known that there are at most $7$ prophetic words of length $3$. Determine the maximum number of prophetic words of length $10$.

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Ricorsione, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern, Stima, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Nombre massimo di parole profetiche di lunghezza 10 in una parola binaria di lunghezza 10000

Il profeta venuso Zabruberson inviò ai suoi discepoli una parola di lettere $10000$, ciascuna lettera essendo A o E: la parola Zabrubica *. I suoi seguaci consideravano, per ogni $1\le k\le 10000$, ogni parola formata da $k$ lettere consecutive della Parola Zabrubica come una parola profetica ** di lunghezza $k$. È noto che ci sono al massimo $7$ parole profetiche di lunghezza $3$. Determinare il numero massimo di parole profetiche di lunghezza $10$.

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