Olimpíada Brasileira de Matemática 2008 — Nível Universitário — Fase 1

Find all integer n so a cubic has three integer roots

Determine all integer values of $n$ for which the equation $x^3-13x+n=0$ has three integer roots.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Trova tutti i numeri interi n in modo che un cubo abbia tre radici di numeri interi

Determinare tutti i valori interi di $n$ per i quali l’equazione $x^3-13x+n=0$ ha tre radici interi.

src_obm_2008_nu_f1__Q01

Count lines meeting four given parametric lines simultaneously

Consider the lines given by the parametric equations $\{\begin{array}{l}(x,y,z)=(0,0,1)\cdot t\end{array},\{\begin{array}{l}(x,y,z)=(1,2,0)+(1,0,0)\cdot t\end{array},$ $\{\begin{array}{l}(x,y,z)=(1,1,0)+(0,1,0)\cdot t\end{array},\{\begin{array}{l}(x,y,z)=(1,0,0)+(1,1,1)\cdot t\end{array}.$ How many lines intersect all four lines simultaneously?

Topic: Geometria analitica Metodo: Coordinate, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Line di conteggio che riuniscono contemporaneamente quattro determinate linee parametriche

Considerate le linee indicate dalle equazioni parametriche $\{\begin{array}{l}(x,y,z)=(0,0,1)\cdot t\end{array},\{\begin{array}{l}(x,y,z)=(1,2,0)+(1,0,0)\cdot t\end{array},$ $\{\begin{array}{l}(x,y,z)=(1,1,0)+(0,1,0)\cdot t\end{array},\{\begin{array}{l}(x,y,z)=(1,0,0)+(1,1,1)\cdot t\end{array}.$ Quante linee intersecano tutte e quattro contemporaneamente?

src_obm_2008_nu_f1__Q02

Count ways Esmeralda walks 2008 steps on integer lattice ending at origin

Esmeralda walks through the points with integer coordinates of the plane. If at a given moment she is at point $(a,b)$, in one step she can move to one of the two following points: $(a+1,b)$, $(a-1,b)$, $(a,b+1)$ or $(a,b-1)$. In how many ways can Esmeralda start from $(0,0)$ and walk exactly $2008$ steps, ending at $(0,0)$?

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Ricorsione Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Conta i passi di Esmeralda nel 2008 sulla griglia di numeri interi che finiscono all’origine

Esmeralda cammina attraverso i punti con le coordinate interi del piano. Se in un determinato momento si trova al punto $(a,b)$, in un solo passo può passare a uno dei due seguenti punti: $(a+1,b)$, $(a-1,b)$, $(a,b+1)$ o $(a,b-1)$. In quanti modi Esmeralda può partire da $(0,0)$ e camminare esattamente $2008$ passi, finendo a $(0,0)$?

src_obm_2008_nu_f1__Q03

Find smallest k>0 with ABA^{-1}=B^k for n×n matrices A,B≠I

Suppose there exist $n\times n$ matrices $A$ and $B$, different from the identity matrix $I$ and satisfying $\{\begin{array}{l}{A}^4=I\\ AB{A}^{-1}=B^k\end{array}.$ Show that there exists an integer $k>0$ such that $B^k=I$, and determine the smallest $k$ with this property.

Topic: Algebra Metodo: Induzione, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca il più piccolo k>0 con ABA^{-1}=B^k per n ×n matrici A,B≠I

Supponiamo che esistano le matrici $n\times n$ $A$ e $B$, diverse dalla matrice di identità $I$ e soddisfacente $\{\begin{array}{l}{A}^4=I\\ AB{A}^{-1}=B^k\end{array}.$ Mostri che esiste un intero $k>0$ tale che $B^k=I$, e determina il più piccolo $k$ con questa proprietà.

src_obm_2008_nu_f1__Q04

Minimum number of hyperbolas to cover all plane points

We say that a hyperbola covers a point if the point belongs to one of the two infinite regions determined by the hyperbola that contains its foci. What is the smallest number of hyperbolas needed to cover all points of the plane?

Topic: Geometria analitica, Geometria piana Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Astrazione, Stima Area: Geometria Fonte: apri PDF

Numero minimo di iperbole per coprire tutti i punti del piano

Diciamo che un iperbola copre un punto se il punto appartiene a una delle due regioni infinite determinate dall’iperbola che contiene i suoi foci. Qual è il più piccolo numero di iperbole necessario per coprire tutti i punti del piano?

src_obm_2008_nu_f1__Q05

Compute limit of P_n P_{n+1}/n for a trigonometric sum sequence

Let $P_n=\sum _{k=0}^n\sin \left(\frac{\pi k}{n}\right)$. Compute $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{P_n{P}_{n+1}}{n}$.

Topic: Algebra, Trigonometria Metodo: Telescoping, Trigonometria Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Stima Area: Algebra e Analisi, Geometria Fonte: apri PDF

Limito di calcolo di P_n P_{n+1}/n per una sequenza di somma trigonometrica

Let $P_n=\sum _{k=0}^n\sin \left(\frac{\pi k}{n}\right)$. Calcolare $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{P_n{P}_{n+1}}{n}$.

src_obm_2008_nu_f1__Q06