Olimpíada Brasileira de Matemática 2008 — Nível Universitário — Fase 2

Integral equation implying two equal-derivative points

Let $f:[0,1]\to [0,1]$ be increasing, differentiable, and invertible.

If ${\int }_0^{1}f(x)dx={\int }_0^1{f}^{-1}(x)dx$, prove that there exist two distinct reals $a,b$ with $0\le a<b\le 1$ such that $f^{\prime }(a)=f^{\prime }(b)=1$.

(Note: $f^{-1}$ denotes the inverse function of $f$.)

Topic: Insiemi e funzioni, Algebra Metodo: Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Equazione integrale che implica due punti derivati uguali

Lasciate che il $f:[0,1]\to [0,1]$ sia crescente, differenziabile e invertibile.

Se ${\int }_0^{1}f(x)dx={\int }_0^1{f}^{-1}(x)dx$, dimostrare che esistono due valori reali distinti $a,b$ con $0\le a<b\le 1$ tali che $f^{\prime }(a)=f^{\prime }(b)=1$.

(Nota: $f^{-1}$ indica la funzione inversa di $f$.)

src_obm_2008_nu_f2__Q01

Finite-complement characterization via linear equation solution count

Let $\mathbb{N}=\{0,1,2,3,\dots \}$. Given sets $A,B\subseteq \mathbb{N}$, for each positive integer $n$ denote by $r(A,B,n)$ the number of solutions to the equation $a+b=n$ with $a\in A$, $b\in B$.

Prove that there exists $n_0\in \mathbb{N}$ such that $r(A,B,n+1)>r(A,B,n)$ for all $n>n_0$ if and only if both $\mathbb{N}\setminus A$ and $\mathbb{N}\setminus B$ are finite.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Doppio conteggio, Induzione Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Caratteristica del complemento finito attraverso il conteggio delle soluzioni di equazioni lineari

Let $\mathbb{N}=\{0,1,2,3,\dots \}$. Per ogni set $A,B\subseteq \mathbb{N}$, per ogni numero intero positivo $n$ indicare con $r(A,B,n)$ il numero di soluzioni dell’equazione $a+b=n$ con $a\in A$, $b\in B$.

Dimostrare che esiste un $n_0\in \mathbb{N}$ tale che $r(A,B,n+1)>r(A,B,n)$ per tutti $n>n_0$ se e solo se entrambi $\mathbb{N}\setminus A$ e $\mathbb{N}\setminus B$ sono finiti.

src_obm_2008_nu_f2__Q02

Sequence recurrence: bounded subsequence from infinite arithmetic progression

Given $n,a_1,a_2,\dots ,a_n$ positive integers, define $q_0=1$, $q_1=a_1$, and $q_{i+1}=a_{i+1}{q}_i+q_{i-1}$ for $1\le i\le n-1$.

Prove that, for every $c>1$, there exists $K>0$ such that for every $M>K$ there exist $n$ a positive integer and $a_1,a_2,\dots ,a_n$ belonging to $\{1,2\}$ such that $M\le q_n<c\cdot M$.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Ricorsione, Induzione, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Stima Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Recurrenza della sequenza: subsequenza limitata da progressione aritmetica infinita

Date $n,a_1,a_2,\dots ,a_n$ integri positivi, definire $q_0=1$, $q_1=a_1$ e $q_{i+1}=a_{i+1}{q}_i+q_{i-1}$ per $1\le i\le n-1$.

Prove che per ogni $c>1$ esiste $K>0$ tale che per ogni $M>K$ esiste $n$ un intero positivo e $a_1,a_2,\dots ,a_n$ appartenente a $\{1,2\}$ tale che $M\le q_n<c\cdot M$.

src_obm_2008_nu_f2__Q03

Hyperboloid lines: existence of two lines and common angle with z=0

Let $H$ be the hyperboloid of equation $3x^2+3y^2-z^2-1=0$.

(i) Prove that every point $(x,y,z)\in H$ belongs to exactly two lines contained in $H$.

(ii) Prove that all lines contained in $H$ make the same angle with the plane $z=0$, and determine that angle.

Topic: Geometria solida, Geometria analitica Metodo: Coordinate, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Line iperboloide: esistenza di due linee e angolo comune con z=0

$H$ sia l’iperboloide dell’equazione $3x^2+3y^2-z^2-1=0$.

(i) dimostrare che ogni punto $(x,y,z)\in H$ appartiene esattamente a due linee contenute in $H$.

(ii) dimostrare che tutte le linee contenute in $H$ fanno lo stesso angolo con il piano $z=0$, e determinare tale angolo.

src_obm_2008_nu_f2__Q04

Find all functions Z to Z satisfying two functional conditions

Find all functions $f:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ satisfying:

(i) $f(f(n))=f(n)+1$ for all $n\in \mathbb{Z}$;

(ii) $f(2009n+2008)=2009f(n)$ for all $n\in \mathbb{Z}$.

Topic: Equazioni funzionali, Algebra Metodo: Induzione, Invarianti Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca tutte le funzioni da Z a Z che soddisfano due condizioni funzionali

Trova tutte le funzioni $f:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ che soddisfano:

(i) $f(f(n))=f(n)+1$ per tutti $n\in \mathbb{Z}$;

(ii) $f(2009n+2008)=2009f(n)$ per tutti $n\in \mathbb{Z}$.

src_obm_2008_nu_f2__Q05

Count ordered tuples with product at most n; bound f(n) between two powers

For a positive integer $n$, let $f(n)$ be the number of products of integers greater than $1$ whose result is at most $n$; that is, $f(n)$ is the number of $k$-tuples $(a_1,a_2,\dots ,a_k)$ where $k$ is some natural number, $a_1\ge 2$ is an integer, and $a_1\cdot a_2\cdots a_k\le n$ for every $i$ and $a_1\cdot a_2\cdots a_k\le n$ (counting the empty $0$-tuple $()$, whose product is $1$, as one term). So, for example, $f(1)=1$ by the $0$-tuple; $f(6)=9$ by the $0$-tuple $()$, the $1$-tuples $(2),(3),(4),(5),(6)$, the $2$-tuples $(2,2),(2,3)$, and $(3,2)$.

Let $\alpha >1$ be such that $\sum _{m=2}^{\infty }\frac{1}{m^{\alpha }}=\frac{1}{2}$.

(a) Prove that there exists a constant $K>0$ such that $f(n)\le K\cdot n^{\alpha }$ for every positive integer $n$.

(b) Prove that there exists a constant $c>0$ such that $f(n)\ge c\cdot n^{\alpha }$ for every positive integer $n$.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Induzione, Doppio conteggio, Ricorsione Abilita: Stima, Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

*Contare i tuppi ordinati con prodotto massimo n; legato f(n) tra due potenze *

Per un numero intero positivo $n$, $f(n)$ è il numero di prodotti di numeri interi superiori a $1$ il cui risultato è al massimo $n$; cioè $f(n)$ è il numero di $k$-tupli $(a_1,a_2,\dots ,a_k)$ dove $k$ è un numero naturale, $a_1\ge 2$ è un numero intero, e $a_1\cdot a_2\cdots a_k\le n$ per ogni $i$ e $a_1\cdot a_2\cdots a_k\le n$ (conteggiando il numero vuoto $0$-tuplo $()$, il cui prodotto è $1$, come un termine). Quindi, ad esempio, $f(1)=1$ per il $0$-tuple; $f(6)=9$ per il $0$-tuple $()$, i $1$-tuple $(2),(3),(4),(5),(6)$, i $2$-tuple $(2,2),(2,3)$ e $(3,2)$.

Che $\alpha >1$ sia tale che $\sum _{m=2}^{\infty }\frac{1}{m^{\alpha }}=\frac{1}{2}$.

a) Prove che esiste una costante $K>0$ tale che $f(n)\le K\cdot n^{\alpha }$ per ogni intero positivo $n$.

b) dimostrare l’esistenza di una costante $c>0$ tale che $f(n)\ge c\cdot n^{\alpha }$ per ogni intero positivo $n$.

src_obm_2008_nu_f2__Q06