Olimpíada Brasileira de Matemática 2009 — Nível 1 — Fase 1

Minimum of e^{x/e}-x; compare e^pi and pi^e

(a) Find the minimum value of the function $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ given by $f(x)=e^{(x/e)}-x$ (here $e=2,71828\dots$ is the base of the natural logarithm).

(b) Which of these numbers is larger: $e^{\pi }$ or ${\pi }^e$?

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Estremalità, Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Minimum di e^{x/e}-x; confronta e^pi e pi^e

(a) Trovare il valore minimo della funzione $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ data da $f(x)=e^{(x/e)}-x$ (qui $e=2,71828\dots$ è la base del logaritmo naturale).

b) Quale di questi numeri è più grande: $e^{\pi }$ o ${\pi }^e$?

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Monic degree-2 polynomial whose roots are Gauss periods of a primitive 7th root of unity; compute p(3)

Let $\zeta \in \mathbb{C}$ be a root of $x^7-1$ with $\zeta \ne 1$. There exists a monic polynomial $p$ of degree $2$ with integer coefficients whose roots are the numbers $z_1=\zeta +{\zeta }^2+{\zeta }^4$ and $z_2={\zeta }^3+{\zeta }^5+{\zeta }^6$. Compute $p(3)$.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

*Polinomio monico di grado 2 le cui radici sono periodi di Gauss di una radice primitiva di unità VII; calcolare p(3) *

Si deve $\zeta \in \mathbb{C}$ essere una radice di $x^7-1$ con $\zeta \ne 1$. Esiste un polinomio monico $p$ di grado $2$ con coefficienti interi le cui radici sono i numeri $z_1=\zeta +{\zeta }^2+{\zeta }^4$ e $z_2={\zeta }^3+{\zeta }^5+{\zeta }^6$. Calcolare $p(3)$.

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Frog random walk on equilateral triangle: limit of return probability and existence of p with P_n=1/pi

The frog Dõ rests at vertex $A$ of an equilateral triangle $ABC$. At each minute the frog jumps from the vertex where it is to an adjacent vertex, with probability $p$ that the jump is clockwise and $1-p$ that it is counter-clockwise, where $p\in (0,1)$ is a constant. Let $P_n$ be the probability that, after $n$ jumps, Dõ is again at vertex $A$.

(a) Prove that, whatever $p\in (0,1)$ is, ${\lim }_{n\to \infty }{P}_n=1/3$.

(b) Prove that there exists $p\in (0,1/100)$ such that, for some $n\in \mathbb{N}$, $P_n=1/\pi$.

Topic: Probabilità, Algebra Metodo: Ricorsione, Estremalità Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Frog cammino casuale su triangolo equilaterale: limite di probabilità di ritorno e esistenza di p con P_n=1/pi

La rana Dõ riposa al vertice $A$ di un triangolo equilaterale $ABC$. A ogni minuto la rana salta dal vertice dove si trova ad un vertice adiacente, con probabilità $p$ che il salto sia in senso orario e $1-p$ che sia in senso contrario, dove $p\in (0,1)$ è una costante. Che $P_n$ sia la probabilità che, dopo $n$ salti, Dõ sia di nuovo al vertice $A$.

(a) Dimostra che, qualunque sia il $p\in (0,1)$, ${\lim }_{n\to \infty }{P}_n=1/3$.

b) dimostrare l’esistenza di $p\in (0,1/100)$ tale che, per alcuni $n\in \mathbb{N}$, $P_n=1/\pi$.

src_obm_2009_n1_f1__Q03

Count positive integers n <= 31! with 3^n + n divisible by 31

Determine the number of positive integers $n$ less than or equal to $31!$ such that $3^n+n$ is divisible by $31$.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Congruenze, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Contate i numeri interi positivi n <= 31! con 3^n + n divisibile per 31

Determinare il numero di integri positivi $n$ inferiori o uguali a $31!$ in modo tale che $3^n+n$ sia divisibile da $31$.

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Circulant 4x4 determinant equals f(1)f(i)f(-1)f(-i)

Given the real numbers $a,b,c,d$, consider the matrix $A=\left(\begin{array}{cccc}a& b& c& d\\ d& a& b& c\\ c& d& a& b\\ b& c& d& a\end{array}\right).$ If $f(x)=a+bx+c{x}^2+d{x}^3$, prove that $\det A=f(1)f(i)f(-1)f(-i).$ (Here $i$ denotes the imaginary unit.)

Topic: Algebra Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

*Determinante 4x4 di circolante = f(1) f(i) f(-1) f(-i) *

Dati i numeri reali $a,b,c,d$, considera la matrice $A=\left(\begin{array}{cccc}a& b& c& d\\ d& a& b& c\\ c& d& a& b\\ b& c& d& a\end{array}\right).$ Se $f(x)=a+bx+c{x}^2+d{x}^3$, prova che $\det A=f(1)f(i)f(-1)f(-i).$ (Qui $i$ indica l’unità immaginaria.)

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Convolution recurrence with a_0=0, a_1=pi/3; compute the sum of a_k/2^k

Consider the sequence $a_0,a_1,a_2,\dots$ defined by $a_0=0$, $a_1=\pi /3$ and, for $n\ge 1$, $a_{n+1}=\frac{\pi (a_0{a}_n+a_1{a}_{n-1}+a_2{a}_{n-2}+\cdots +a_n{a}_0)}{3(n+1)}.$ Compute ${\sum }_{k=0}^{\infty }\frac{a_k}{2^k}=a_0+\frac{a_1}{2}+\frac{a_2}{4}+\frac{a_3}{8}+\cdots .$

Topic: Algebra, Equazioni funzionali Metodo: Ricorsione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Astrazione Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricorrenza di convoluzione con a_0=0, a_1=pi/3; calcolare la somma di a_k/2^k

Considera la sequenza $a_0,a_1,a_2,\dots$ definita da $a_0=0$, $a_1=\pi /3$ e, per $n\ge 1$, $a_{n+1}=\frac{\pi (a_0{a}_n+a_1{a}_{n-1}+a_2{a}_{n-2}+\cdots +a_n{a}_0)}{3(n+1)}.$ Calcolo ${\sum }_{k=0}^{\infty }\frac{a_k}{2^k}=a_0+\frac{a_1}{2}+\frac{a_2}{4}+\frac{a_3}{8}+\cdots .$

src_obm_2009_n1_f1__Q06