Right triangles assembled into shapes; area, perimeter, smallest square
Esmeralda has many right triangles equal to the one in the figure, with legs and and hypotenuse .
a) By making parts of the sides coincide, overlapping the triangles, Esmeralda assembled the figure below. What is the area and what is the perimeter of this figure?
[A figure formed by overlapping right triangles, producing a star/arrow shape — see figure on page 1.]
b) Using the same process, Esmeralda assembled the smallest possible square with an integer side length. Show, with the help of a figure, how Esmeralda can do this.
Topic: Geometria piana, Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Lettura attenta Area: Geometria, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF
Triangoli dritti assemblati in forme; superficie, perimetro, più piccolo quadrato
Esmeralda ha molti triangoli rettangolari uguali a quello della figura, con gambe e e ipotenusa .
a) Con la coincidenza di parti dei lati, sovrappondendo i triangoli, Esmeralda ha assemblato la figura di seguito. Qual è l’area e qual è il perimetro di questa figura?
[Figura formata da un triangolo retto che si sovrappone, producendo una forma di stella/filota vedere figura a pagina 1.]
b) Usando lo stesso processo, Esmeralda ha assemblato il più piccolo quadrato possibile con una lunghezza laterale integrale. Mostrate, con l’aiuto di una figura, come Esmeralda può fare questo.
3×3 grid filled 1–9; colour by row max/min; optimize difference A−B
The cells of a grid are numbered from to , each number used exactly once. In each horizontal row, we colour red the cell with the largest number and green the cell with the smallest number. Let be the smaller of the numbers in the red cells and the larger of the numbers in the green cells.
a) Show a way to fill in the grid so that .
b) Show a way to fill in the grid so that .
c) Is it possible to obtain and ? Do not forget to justify your answer.
Topic: Combinatoria, Logica Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Casework accurato, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF
3×3 griglia riempita 19; colore per riga max/min; ottimizzare la differenza A−B
Le celle di una griglia sono numerate da a , ogni numero utilizzato esattamente una volta. In ogni riga orizzontale, coloriamo il rosso la cella con il numero maggiore e il verde la cella con il numero più piccolo. Il numero deve essere il più piccolo dei numeri delle celle rosse e il numero il più grande dei numeri delle celle verdi.
a) Indicare un modo per riempire la griglia in modo che .
b) Indicare un modo per riempire la griglia in modo che .
c) È possibile ottenere e ? Non dimenticate di giustificare la vostra risposta.
3D solid made of unit cubes; count cubes per direction in larger similar solid
Given a solid formed by -edge cubes, as shown in Figure 1, we can indicate the number of cubes in each direction as shown in Figure 2.
[Figure 1 shows a small staircase-like solid; Figure 2 shows a cube with numbers indicating the count of unit cubes along each direction.]
Esmeraldino assembled a solid from -edge cubes and made a figure similar to Figure 2, where the numbers and appear in the grid (see figure on page 2).
Find the values of , , , , , , and .
Topic: Geometria solida, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta, Conteggio sistematico Area: Geometria, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF
solide tridimensionale costituito da cubetti unitari; cubetti di conteggio per direzione in solidi simili più grandi
Dato un solido formato da cubetti di bordo , come mostrato nella figura 1, possiamo indicare il numero di cubetti in ciascuna direzione come mostrato nella figura 2.
[La figura 1 mostra un piccolo solido simile a una scala; la figura 2 mostra un cubo con numeri che indicano il numero di cubi unitari lungo ciascuna direzione.]
Esmeraldino ha assemblato un solido a partire da cubi di bordo e ha realizzato una figura simile alla figura 2, dove i numeri e figurano nella griglia (vedere figura a pagina 2).
Trova i valori di , , , , , , e .
Abutted positive integers: count 4-digit abutted numbers
We say that a positive integer is abutted (abestado) if, reading it from right to left, we obtain an integer greater than . For example, is abutted because ; on the other hand, is not abutted because, reading from right to left, , which is not greater than ; and is not abutted because, when read from right to left, it gives exactly , which equals the original.
How many positive integers with four digits are abutted?
Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF
Interi positivi abbattuti: contate i numeri abbattuti a 4 cifre
Diciamo che un intero positivo è abutted (abestado) se, leggendolo da destra a sinistra, otteniamo un intero maggiore di . Ad esempio, è abuttato perché ; d’altra parte, non è abuttato perché, leggendo da destra a sinistra, , che non è superiore a ; e non è abuttato perché, quando è letto da destra a sinistra, dà esattamente , che equivale all’originale.
Quanti numeri interi positivi con quattro cifre sono abuttati?
Existence of integers ≤1000 or ≤11000 with many divisors
a) Show that there exists a positive integer less than or equal to with at least positive divisors.
b) Does there exist a positive integer less than or equal to with at least positive divisors? Do not forget to justify your answer.
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Conteggio, Fattorizzazione, Estremalità Abilita: Modellizzazione, Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica, Stima Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF
Esistenza di numeri interi ≤1000 o ≤11000 con molti divisori
a) Indicare che esiste un numero intero positivo inferiore o uguale a con almeno divisori positivi.
b) Esiste un numero intero positivo inferiore o uguale a con almeno divisori positivi? Non dimenticate di giustificare la vostra risposta.