Olimpíada Brasileira de Matemática 2009 — Nível 2 — Fase 2

Add water to dilute 9L alcohol mixture to 30% alcohol

Esmeralda has a bottle containing 9 liters of a mixture that is 50% alcohol and 50% water. She wants to add water to the bottle so that the resulting mixture is only 30% alcohol. How many liters of water should she add?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Aggiungere acqua per diluire la miscela di alcol da 9L al 30% di alcol

Esmeralda ha una bottiglia contenente 9 litri di una miscela che è di 50% alcol e 50% acqua. Vuole aggiungere acqua alla bottiglia in modo che la miscela risultante sia solo alcol del 30%. Quanti litri di acqua dovrebbe aggiungere?

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Max value of ab+bc+cd+da for a,b,c,d a permutation of 1,2,3,4

If $a$, $b$, $c$, and $d$ are, in some order, the numbers $1$, $2$, $3$, and $4$, what is the largest possible value of $ab+bc+cd+da?$

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Valore massimo di ab+bc+cd+da per a,b,c,d con una permutazione di 1,2,3,4

Se $a$, $b$, $c$ e $d$ sono, in un certo ordine, i numeri $1$, $2$, $3$ e $4$, quale è il più grande valore possibile di $ab+bc+cd+da?$

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Largest family of 3-digit numbers sharing at least one digit pairwise

We say that two or more numbers, each having the same number of digits, belong to the same family when every pair of them shares at least one digit in common. For example, $32$, $25$, and $22$ belong to the same family, because $32$ and $25$ share the digit $2$, $25$ and $22$ share the digit $2$, and $32$ and $22$ share the digit $2$. On the other hand, $123$, $245$, and $568$ do not belong to the same family, since $123$ and $568$ share no common digit. What is the largest number of members a family of three-digit numbers can have?

Topic: Combinatoria Metodo: Estremalità, Casework, Conteggio Abilita: Ragionamento geometrico, Astrazione, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

La più grande famiglia di numeri a 3 cifre che condividono almeno una cifra in coppia

Diciamo che due o più numeri, ognuno con lo stesso numero di cifre, appartengono alla stessa famiglia quando ogni coppia di loro condivide almeno una cifra in comune. Ad esempio, $32$, $25$ e $22$ appartengono alla stessa famiglia, perché $32$ e $25$ condividono il numero $2$, $25$ e $22$ condividono il numero $2$, e $32$ e $22$ condividono il numero $2$. D’altra parte, $123$, $245$ e $568$ non appartengono alla stessa famiglia, poiché $123$ e $568$ non condividono una cifra comune. Qual è il maggior numero di membri che una famiglia di numeri a tre cifre può avere?

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Count two-digit integers divisible by each of their digits

Determine how many two-digit integers are divisible by both of their digits.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Contare i numeri interi a due cifre divisibili da ciascuno dei loro cifre

Determina quanti numeri interi a due cifre sono divisibili da entrambi i loro cifre.

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Overlapping squares ABCD and EFGH side 48; find highlighted intersection area

In the figure below, $ABCD$ and $EFGH$ are squares with side length $48\text{cm}$. Knowing that $A$ is the midpoint of $EF$ and $G$ is the midpoint of $DC$, determine the area of the shaded (highlighted) region in ${\text{cm}}^2$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Quadrate sovrapposte ABCD e EFGH lato 48; trovare la zona di intersezione evidenziata

Nella figura seguente, $ABCD$ e $EFGH$ sono quadrati con lunghezza laterale $48\text{cm}$. Sapendo che $A$ è il punto medio di $EF$ e $G$ è il punto medio di $DC$, determinare l’area della regione ombreggiata (illustrata) in ${\text{cm}}^2$.

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Chinese Remainder Theorem table mod 7 and mod 3; sum highlighted cells

Let $m$ and $n$ be two positive integers with $\gcd (m,n)=1$ and $0\le j<m$, $0\le i<n$. The Chinese Remainder Theorem states that there exists exactly one integer $a$ with $0\le a<mn$ such that the remainder of dividing $a$ by $m$ equals $j$ and the remainder of dividing $a$ by $n$ equals $i$. For example, with $m=7$ and $n=3$, we have $19$ as the unique number in $\{0,1,\dots ,20\}$ that leaves remainder $5$ when divided by $7$ and remainder $1$ when divided by $3$.

Thus, a table is formed where each cell $(i,j)$ (row $i$ for remainder mod $3$, column $j$ for remainder mod $7$) contains the unique value $a\in \{0,1,\dots ,20\}$ satisfying the two congruences. The table is partially filled as shown, with the number $19$ appearing in one of the highlighted cells.

What is the sum of the numbers in the highlighted cells?

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Congruenze, Conteggio Abilita: Riconoscimento di pattern, Lettura attenta, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Table della Teorema dei Rimanenti Cinesi mod 7 e mod 3; somma delle celle evidenziate

$m$ e $n$ siano due integri positivi con $\gcd (m,n)=1$ e $0\le j<m$, $0\le i<n$. Il teorema del rimanente cinese afferma che esiste esattamente un intero $a$ con $0\le a<mn$ in modo tale che il resto della divisione $a$ da $m$ equivale a $j$ e il resto della divisione $a$ da $n$ equivale a $i$. Ad esempio, con $m=7$ e $n=3$, abbiamo $19$ come numero unico in $\{0,1,\dots ,20\}$ che lascia il rimanente $5$ quando diviso da $7$ e il rimanente $1$ quando diviso da $3$.

Si forma quindi una tabella in cui ciascuna cella $(i,j)$ ( riga $i$ per mod restante $3$, colonna $j$ per mod restante $7$) contiene il valore unico $a\in \{0,1,\dots ,20\}$ che soddisfa le due congruenze. La tabella è parzialmente riempita come mostrato, con il numero $19$ presente in una delle celle evidenziate.

Qual è la somma dei numeri nelle celle evidenziate?

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Recurrence sequence S_k=ar^k+bs^k; find S_7 given S_1..S_4

Observe that $(x-r)(x-s)=x^2-(r+s)x+rs.$ Substituting $x$ by $r$ and then by $s$, we obtain: $\{\begin{array}{l}{r}^2-(r+s)r+rs=0\\ s^2-(r+s)s+rs=0.\end{array}$ Multiplying the first equation by $a{r}^{n-1}$ and the second by $b{s}^{n-1}$ and adding: $a{r}^{n+1}-(r+s)a{r}^n+rsa{r}^{n-1}=0\text{and}b{s}^{n+1}-(r+s)b{s}^n+rsb{s}^{n-1}=0.$ Summing these two equations and writing $S_k=a{r}^k+b{s}^k$, one verifies that $S_{n+1}=(r+s)S_n-rs{S}_{n-1}.$ Given $S_1=ar+bs=1,S_2=a{r}^2+b{s}^2=2,S_3=a{r}^3+b{s}^3=5,S_4=a{r}^4+b{s}^4=6,$ determine $S_7$.

Topic: Algebra Metodo: Ricorsione, skill_manipolazione_algebrica Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Sequenza di ricorrenza S_k=ar^k+bs^k; trovare S_7 data S_1..S_4

Si osserva che $(x-r)(x-s)=x^2-(r+s)x+rs.$ Sostituendo $x$ da $r$ e poi da $s$, otteniamo: $\{\begin{array}{l}{r}^2-(r+s)r+rs=0\\ s^2-(r+s)s+rs=0.\end{array}$ Moltiplicando la prima equazione da $a{r}^{n-1}$ e la seconda da $b{s}^{n-1}$ e aggiungendo: $a{r}^{n+1}-(r+s)a{r}^n+rsa{r}^{n-1}=0\text{and}b{s}^{n+1}-(r+s)b{s}^n+rsb{s}^{n-1}=0.$ Sommando queste due equazioni e scrivendo $S_k=a{r}^k+b{s}^k$, si verifica che $S_{n+1}=(r+s)S_n-rs{S}_{n-1}.$ Dato $S_1=ar+bs=1,S_2=a{r}^2+b{s}^2=2,S_3=a{r}^3+b{s}^3=5,S_4=a{r}^4+b{s}^4=6,$ $S_7$ determina.

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Triangle median geometry: find MN perpendicular to AB given AN=2NC, AC=12

Let $N$ be a point on side $AC$ of triangle $ABC$ such that $AN=2NC$, and let $M$ be a point on side $AB$ such that $MN\perp AB$. Given that $AC=12\text{cm}$ and that $G$ is the centroid of triangle $ABC$ (the intersection point of the medians), determine the length of segment $MN$.

\textit{Note: The centroid (baricentro) is the intersection point of the medians of the triangle.}

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Geometria mediana triangolare: trovare MN perpendicolare a AB data AN=2NC, AC=12

Che $N$ sia un punto sul lato $AC$ del triangolo $ABC$ tale che $AN=2NC$, e che $M$ sia un punto sul lato $AB$ tale che $MN\perp AB$. Dato che $AC=12\text{cm}$ e $G$ è il centroide del triangolo $ABC$ (il punto di intersezione dei mediani), determinare la lunghezza del segmento $MN$.

\textit{Nota: il centroide (baricentro) è il punto di intersezione dei mediani del triangolo.}

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Chess tournament 8 players 7 rounds: score possibilities and minimum leader score

A chess championship has 7 rounds. In each round, each player scores one point for a win, half a point for a draw, and no points for a loss. There are 8 participants, and each pair of players faces each other exactly once.

(a) After the third round, is it possible that all players have distinct scores? Justify your answer.

(b) At the end of the championship, what is the minimum number of points that the first-place player could have obtained? Justify your answer.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Estremalità, Casework, Doppio conteggio Abilita: Modellizzazione, Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Torneo a scacchi 8 giocatori 7 round: possibilità di punteggio e punteggio minimo del leader

Un campionato di scacchi ha 7 round. In ogni round, ogni giocatore fa un punto per una vittoria, mezzo punto per un pareggio e nessun punto per una sconfitta. Ci sono otto partecipanti, e ogni coppia di giocatori si affronterà esattamente una volta.

(a) Dopo il terzo round, è possibile che tutti i giocatori abbiano punteggi distinti? Giustifica la tua risposta.

b) Al termine del campionato, qual è il numero minimo di punti che il giocatore di primo posto avrebbe potuto ottenere? Giustifica la tua risposta.

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