Olimpíada Brasileira de Matemática 2009 — Nível 2 — Fase 3

Count positive 4-digit integers that are ‘abestado’

We say that a positive integer $n$ is abestado (“beasted”) if reading its digits from right to left gives a number greater than $n$. For example, $2009$ is abestado because $9002>2009$; on the other hand, $2010$ is not abestado because reading $2010$ from right to left gives $0102$, which equals $102$, which is less than $2010$; and $3443$ is not abestado because reading it from right to left gives $3443$, which is exactly equal to the original. How many positive integers with exactly four digits are abestado?

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Conta i numeri interi a 4 cifre positivi che sono “abestado”

Diciamo che un intero positivo $n$ è abestado (“bestia”) se leggendo i suoi numeri da destra a sinistra dà un numero maggiore di $n$. Ad esempio, $2009$ è abestado perché $9002>2009$; d’altra parte, $2010$ non è abestado perché la lettura $2010$ da destra a sinistra dà $0102$, che equivale a $102$, che è inferiore a $2010$; e $3443$ non è abestado perché la lettura da destra a sinistra dà $3443$, che è esattamente uguale all’originale. Quanti numeri interi positivi con esattamente quattro cifre sono abestado?

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Circumcenter of triangle CEF lies on circumcircle of triangle ABD

Let $ABCD$ be a parallelogram and $\Gamma$ the circumscribed circle of triangle $ABD$. Let $E$ and $F$ be the intersections of $\Gamma$ with lines $BC$ and $CD$, respectively. Prove that the circumcenter of triangle $CEF$ lies on $\Gamma$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Il centro del circolo del triangolo CEF si trova sul circolo del triangolo ABD

Si deve $ABCD$ essere un parallelo e $\Gamma$ il cerchio circonscritto del triangolo $ABD$. $E$ e $F$ siano rispettivamente le intersezioni di $\Gamma$ con le linee $BC$ e $CD$. Prove che il centro circoncentrale del triangolo $CEF$ si trova su $\Gamma$.

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Chess-knight game on m×n board; determine winner

Arnaldo and Bernaldo play the following game on an $m\times n$ board, $m,n\ge 2$. Arnaldo starts by choosing a square and placing a chess knight on it; then Arnaldo and Bernaldo alternately move the knight, starting with Bernaldo, with the restriction that the knight may not land on a square that has already been visited. The player who cannot move the knight loses. Determine, in terms of $m$ and $n$, which player has a winning strategy, regardless of the other player’s moves, and show how he should play to win.

Remark: Each move of a chess knight consists of two squares in the vertical or horizontal direction followed by one square in the perpendicular direction.

Topic: Combinatoria, Logica Metodo: Invarianti, Colorazione, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Riconoscimento di pattern, Astrazione, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Gioco di scacchi-cavaliere su m×n tavola; determinare il vincitore

Arnaldo e Bernaldo giocano il seguente gioco su una tavola $m\times n$, $m,n\ge 2$. Arnaldo inizia scegliendo una piazza e mettendo su di essa un cavaliere di scacchi; poi Arnaldo e Bernaldo spostano alternativamente il cavaliere, a partire da Bernaldo, con la restrizione che il cavaliere non può atterrare su una piazza già visitata. Il giocatore che non può muovere il cavaliere perde. Determinare, in termini di $m$ e $n$, quale giocatore abbia una strategia vincente, indipendentemente dalle mosse dell’altro giocatore, e mostrare come dovrebbe giocare per vincere.

*Nota: * Ogni mossa di un cavaliere di scacchi consiste di due quadrati nella direzione verticale o orizzontale seguiti da un quadrato nella direzione perpendicolare.

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Given a²(b+c)=b²(c+a)=2010, compute c²(a+b)

Let $a$, $b$, and $c$ be real numbers such that $a\ne b$ and $a^2(b+c)=b^2(c+a)=2010$. Compute $c^2(a+b)$.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 2010 Fonte: apri PDF

Dato che a2(b+c)=b2(c+a)=2010, calcolare c2(a+b)

$a$, $b$ e $c$ siano numeri reali come $a\ne b$ e $a^2(b+c)=b^2(c+a)=2010$. Calcolare $c^2(a+b)$.

Risposta: 2010 src_obm_2009_n2_f3__Q04

Circumscribed circles of AOB and COD meet BC and AD at M,N,P,Q; prove MNPQ cyclic with center O

The diagonals of a cyclic quadrilateral $ABCD$ meet at $O$. The circumscribed circles of triangles $AOB$ and $COD$ intersect lines $BC$ and $AD$ for a second time at points $M$, $N$, $P$, and $Q$, respectively. Prove that the quadrilateral $MNPQ$ is inscribed in a circle with center $O$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Circoli circoscritti di AOB e COD incontrano BC e AD a M,N,P,Q; dimostrano che MNPQ è ciclico con centro O

Le diagonali di un quadrilaterale ciclico $ABCD$ si incontrano a $O$. I cerchi circoscritti dei triangoli $AOB$ e $COD$ intersecano per la seconda volta le linee $BC$ e $AD$ ai punti $M$, $N$, $P$ e $Q$, rispettivamente. Prove che il quadrilaterale $MNPQ$ è inserito in un cerchio con il centro $O$.

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Minimum area of triangle with all integer sides and integer area

The three sides and the area of a triangle are all integers. What is the minimum possible value of the area of such a triangle?

Topic: Teoria dei Numeri, Geometria piana Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta, Stima, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Geometria Risposta: 6 Fonte: apri PDF

L’area minima del triangolo con tutti i lati interi e l’area interi

I tre lati e l’area di un triangolo sono tutti numeri interi. Qual è il valore minimo possibile dell’area di un triangolo?

Risposta: 6 src_obm_2009_n2_f3__Q06