Count 3-digit numbers that ‘detonate’ 314 (every digit strictly greater).
A three-digit natural number \textit{detonates} a three-digit natural number if each digit of is greater than the corresponding digit of . For example, detonates ; however, does not detonate because . How many three-digit numbers detonate ? (A) (B) (C) (D) (E)
Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF
Conta i numeri a 3 cifre che “detonano” 314 (ogni cifra è strettamente maggiore).
Un numero naturale a tre cifre \textit{detona} un numero naturale a tre cifre se ogni cifra di è maggiore della cifra corrispondente di . Ad esempio, detona ; tuttavia, non detona perché . Quanti numeri a tre cifre esplodono? (A) (B) (C) (D) (E)
Positive integers m,n with 15m=20n; mn is necessarily a multiple of which value.
The positive integers and satisfy . Then it is possible to affirm, with certainty, that is a multiple of: (A) (B) (C) (D) (E)
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF
Interi positivi m,n con 15m=20n; mn è necessariamente un multiple di cui il valore.
I numeri interi positivi e soddisfano . Poi è possibile affermare, con certezza, che è un multiple di: (A) (B) (C) (D) (E)
If x^2=x+3, find x^3.
If then is equal to: (A) (B) (C) (D) (E)
Topic: Algebra Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF
Se x^2=x+3, trovi x^3.
Se , allora è uguale a: (A) (B) (C) (D) (E)
Square A’B’C’D’ from a 25-degree clockwise rotation of ABCD about midpoint of AB; acute angle between AC and B’D’.
In the figure, the square was obtained from a clockwise rotation of the square by degrees about the midpoint of . What is the acute angle, in degrees, between the lines and ? (A) (B) (C) (D) (E)
Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF
A’B’C’D’ quadrato da una rotazione di 25 gradi in senso orario di ABCD circa il punto medio di AB; angolo acuto tra AC e B’D’.
Nella figura, il quadrato è stato ottenuto da una rotazione in senso orario del quadrato di gradi circa il punto medio di . Qual è l’angolo acuto, in gradi, tra le linee e ? (A) (B) (C) (D) (E)
One of five numbers divides the sum of the other four; which one.
One of the following five numbers is a divisor of the sum of the other four. Which is that number? (A) (B) (C) (D) (E)
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Lettura attenta, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF
Uno dei cinque numeri divide la somma degli altri quattro; quale uno.
Uno dei seguenti cinque numeri è un divisore della somma degli altri quattro. Qual e’ quel numero? (A) (B) (C) (D) (E)
Logic: Agilulfo is punished only if he gets a warning and his mother is home; given he was not punished, which statement is certainly true.
Whenever Agilulfo comes home from school with a warning (advertencia), if his mother is at home, she puts him under punishment. Knowing that yesterday afternoon Agilulfo was not put under punishment, which of the following statements is certainly true? (A) Agilulfo received a warning yesterday. (B) Agilulfo did not receive a warning yesterday. (C) Yesterday afternoon his mother was at home. (D) Yesterday afternoon his mother was not at home. (E) None of the above statements is certainly true.
Topic: Logica Abilita: Lettura attenta, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF
Logica: Agilulfo è punito solo se riceve un avvertimento e sua madre è a casa; dato che non è stato punito, questa affermazione è certamente vera.*
Ogni volta che Agilulfo torna a casa dalla scuola con un avvertimento, se sua madre è a casa, lo mette sotto punizione. Sapendo che ieri pomeriggio Agilulfo non è stato punito, quale delle seguenti affermazioni è certamente vera? A) Agilulfo ha ricevuto un avvertimento ieri. B) Agilulfo non ha ricevuto un avvertimento ieri. (C) Ieri pomeriggio sua madre era a casa. (D) Ieri pomeriggio sua madre non era a casa. (E) Nessuna delle affermazioni di cui sopra è certamente vera.
Smallest n>1 to place n pieces on n×n board with no two in same row, column, or diagonal.
What is the smallest value of for which it is possible to place pieces on an board so that no two pieces are in the same row, the same column, or the same diagonal? The figures show pairs of pieces in the same row, in the same column, and on the same diagonal, on several boards. (A) (B) (C) (D) (E)
Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF
Nel minimo n>1 per posizionare n pezzi su n×n tabella senza due nella stessa riga, colonna o diagonale.
Qual è il valore più piccolo di per il quale è possibile posizionare pezzi su una tavola in modo che non ci siano due pezzi nella stessa riga, nella stessa colonna o nella stessa diagonale? Le figure mostrano coppie di pezzi nella stessa riga, nella stessa colonna e sulla stessa diagonale, su diverse tavole. (A) (B) (C) (D) (E)
In square ABCD of side 4 with K on AD, L on AB, M on BC and KLM an isosceles right triangle with right angle at L, find the area of quadrilateral CDKM.
In the figure, is a square of side , belongs to side , belongs to side , belongs to side , and is an isosceles right triangle with the right angle at . Then the area of the quadrilateral is equal to: (A) (B) (C) (D) (E)
Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF
Nel quadrato ABCD del lato 4 con K su AD, L su AB, M su BC e KLM un triangolo rettangolo con angolo retto uguale a L, trovare l’area del CDKM quadrilaterale.
Nella figura, è un quadrato di lato , appartiene al lato , appartiene al lato , appartiene al lato , e è un triangolo rettangolare di uguali braccia con angolo retto a . Poi la superficie del quadrilaterale è uguale a: (A) (B) (C) (D) (E)
On a neighborhood map (houses A,B,C,D), count from how many houses one can start a route traversing every street exactly once.
The figure beside is the map of a neighborhood: the points , , and are houses and the segments are streets. From how many houses is it possible to make a route that passes exactly once through each of the streets? It is allowed to pass more than once through the same house. (A) (B) (C) (D) (E)
Topic: Combinatoria Metodo: Grafi, Casework Abilita: Lettura attenta, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF
Su una mappa del quartiere (case A, B, C, D), contare da quante case si può iniziare un percorso attraversando ogni strada esattamente una volta.
La figura accanto è la mappa di un quartiere: i punti , , e sono case e i segmenti sono strade. Da quante case è possibile fare un percorso che attraversa esattamente una volta ogni strada? È consentito passare più di una volta attraverso la stessa casa. (A) (B) (C) (D) (E)
From noon, when do the hour and minute hands first form a 145-degree angle.
The wall clock initially indicates noon. The hour and minute hands will form an angle of degrees for the first time: (A) between 12h and 12h10min. (B) between 12h10min and 12h15min. (C) between 12h15min and 12h20min. (D) between 12h20min and 12h25min. (E) after 12h25min.
Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF
Dal mezzogiorno, quando le mani dell’ora e del minuto formano per la prima volta un angolo di 145 gradi.
L’orologio della parete indica inizialmente mezzogiorno. Le mani dell’ora e del minuto formeranno per la prima volta un angolo di gradi: (A) tra le 12h e le 12h10min. (B) tra le 12.10 e le 12.15 min. (C) tra le 12.15 e le 12.20 min. D) tra le 12h20 e le 12h25. (E) dopo le 12h25min.
Positive integer n such that the number of divisors of 2n equals twice the number of divisors of n; conclude what n is.
Consider the positive integer such that the number of positive divisors of the double of is equal to the double of the number of positive divisors of . We can conclude that is (A) a prime number (B) an even number (C) an odd number (D) a perfect square (E) an integer power of
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF
Tutto il numero positivo n tale che il numero di divisori di 2n è uguale al doppio del numero di divisori di n; concludere quale è n.
Considera il numero intero positivo tale che il numero di divisori positivi del doppio di sia uguale al doppio del numero di divisori positivi di . Possiamo concludere che è (A) un numero primo (B) un numero pari (C) un numero odd (D) un quadrato perfetto (E) una potenza interiore di
Esmeralda’s 5 books are re-shelved with exactly two in their original place and the rest displaced; count the ways.
Esmeralda has five books about heraldry on a shelf. On the weekend, she cleaned the shelf and, upon replacing the books, she put two of them in the place where they were before and the others in places different from where they were. In how many ways could she have done this? (A) (B) (C) (D) (E)
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Inclusione-esclusione, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF
I 5 libri di Esmeralda sono riempiti con esattamente due al loro posto originale e il resto spostato; contare i modi.*
Esmeralda ha cinque libri sull’eraldia su uno scaffale. Il fine settimana, pulì lo scaffale e, dopo aver sostituito i libri, ne mise due nel posto in cui erano prima e gli altri in luoghi diversi da dove erano. In quanti modi avrebbe potuto farlo? (A) (B) (C) (D) (E)
6-question test for 18 students; each student got exactly 4 right and each question had the same number m of correct answers; find m.
Professor Piraldo applied a test of questions to students. Each question is worth or point; there are no partial scores. After the test, Piraldo made a table like the one below to organize the grades, in which each row represents a student and each column represents a question. Piraldo found that each student got exactly questions correct and that each question had the same number of correct answers. What is the value of ? (A) (B) (C) (D) (E)
Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Doppio conteggio Abilita: Lettura attenta, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF
6 domande test per 18 studenti; ogni studente ha ottenuto esattamente 4 corrette e ogni domanda ha avuto lo stesso numero di risposte corrette; trovare m.
Il professor Piraldo ha applicato un test di domande agli studenti . Ogni domanda vale o punti; non ci sono punteggi parziali. Dopo il test, Piraldo ha creato una tabella come quella di seguito per organizzare i voti, in cui ogni riga rappresenta uno studente e ogni colonna rappresenta una domanda. Piraldo ha scoperto che ogni studente ha ottenuto esattamente le domande corrette e che ogni domanda ha avuto lo stesso numero di risposte corrette. Qual è il valore di ? (A) (B) (C) (D) (E)
Function f:Z->Z with f(0)=0, f(1)=1, f(2)=2 and f(x+12)=f(x+21)=f(x); find f(2009).
Let be a function such that , , and for every . Then is: (A) (B) (C) (D) (E)
Topic: Equazioni funzionali, Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Ricorsione Abilita: Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF
Funzione f:Z->Z con f(0)=0, f(1)=1, f(2)=2 e f(x+12)=f(x+21)=f(x; trovare f(2009).
deve essere una funzione tale che , , e per ogni . Poi è: (A) (B) (C) (D)
Semicircle on diameter AB, center O, with CD=BC and angle BAD=72 degrees; find angle DEC.
In the figure, , , is the diameter and is the center of the semicircle. Determine the measure of the angle . (A) (B) (C) (D) (E)
Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF
Semicircolo sul diametro AB, centro O, con CD=BC e angolo BAD=72 gradi; trovare angolo DEC.
Nella figura, , , è il diametro e è il centro del semicircolo. Determinare la misura dell’angolo . (A) (B) (C) (D) (E)
Smallest real k such that 2x^2-12xy+ky^2>=0 for all real x,y.
It is known that for all real , . The smallest real value of is (A) (B) (C) (D) (E)
Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF
La minima k reale tale che 2x^2-12xy+ky^2>=0 per tutte le x,y reali.
È noto che per tutti i reali, . Il valore reale più piccolo di è (A) (B) (C) (D) (E)
Over all Goldbach representations of 126 as a sum of two primes, find the largest difference between the two primes.
The famous Goldbach Conjecture says that every even integer greater than can be written as the sum of two prime numbers. For example, can be represented as or, also, as . Considering all the possible representations of as a sum of two primes, what is the largest difference between the two primes that form it? (A) (B) (C) (D) (E)
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF
In tutte le rappresentazioni di Goldbach di 126 come somma di due numeri primi, trovi la differenza più grande tra i due numeri primi.
La famosa Conjectura di Goldbach dice che ogni numero intero pari maggiore di può essere scritto come la somma di due numeri primi. Ad esempio, può essere rappresentato come o, anche, come . Considerando tutte le possibili rappresentazioni di come somma di due numeri primi, qual è la più grande differenza tra i due numeri primi che lo formano? (A) (B) (C) (D) (E)
A subset of {1,…,20} is ‘superpar’ when any two of its elements have an even product; find the maximum number of elements.
A subset of is \textit{superpar} when any two of its elements have an even product. The largest number of elements of a superpar subset is: (A) (B) (C) (D) (E)
Topic: Combinatoria, Insiemi e funzioni Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF
Un sottoinsieme di {1,…,20} è ‘superpar’ quando due dei suoi elementi hanno un prodotto pari; trovare il numero massimo di elementi.
Un sottoinsieme di è \textit{superpar} quando due dei suoi elementi hanno un prodotto pari. Il maggior numero di elementi di un sottoinsieme superpar è: (A) (B) (C) (D) (E)
S_n is the sum of the first ten positive multiples of n; compute S_1+S_2+…+S_10.
For each natural number , let be the sum of the first ten positive multiples of . For example, . What is ? (A) (B) (C) (D) (E)
Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Conteggio Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF
S_n è la somma dei primi dieci multipli positivi di n; calcola S_1+S_2+…+S_10.
Per ogni numero naturale , è la somma dei primi dieci multipli positivi di . Ad esempio, . Che cos’ è ? (A) (B) (C) (D) (E)
Two externally tangent circles (radii 3 and 4) with common external tangents at P,Q and R,S and internal tangent meeting them at M,N; ratio of areas of quadrilaterals MNPQ and MNRS.
The circles and , of radii and respectively, are tangent externally at . The common external tangents touch at and and at and . The common internal tangent at cuts the external tangents at the points and , as the figure shows. The ratio between the areas of the quadrilaterals and is (A) (B) (C) (D) (E)
Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF
Due cerchi tangenti esternamente (radii 3 e 4) con tangenti esterni comuni a P,Q e R,S e tangente interna che li incontrano a M,N; rapporto tra le aree dei quadrilaterali MNPQ e MNRS.
I cerchi e , rispettivamente di raggio e , sono tangenti esternamente a . Le tangenti esterne comuni toccano a e e a e . La tangente interna comune a taglia le tangenti esterne ai punti e , come mostra la figura. Il rapporto tra le superfici dei quadrilaterali e è (A) (B) (C) (D) (E)
Two cars start at the same time from A and B toward each other on a straight road; given distances apart when each reaches midpoint M, find distance between cities.
Two cars leave the cities and simultaneously, going from one city toward the other, with constant velocities, in opposite directions. The two cities are connected by a straight road. When the faster car reaches the midpoint of , the distance between the two cars is km. When the slower car reaches the point , the cars are km apart. What is the distance, in km, between the two cities? (A) (B) (C) (D) (E)
Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF
Due auto partono contemporaneamente da A e B verso l’altra su una strada retta; date le distanze distanti quando ciascuna raggiunge il punto medio M, si trova la distanza tra le città.
Due auto lasciano contemporaneamente le città e , partendo da una città all’altra, con velocità costanti, in direzioni opposte. Le due città sono collegate da una strada dritta. Quando l’auto più veloce raggiunge il punto medio di , la distanza tra le due auto è km. Quando l’auto più lenta raggiunge il punto , le auto sono a km di distanza. Qual è la distanza, in km, tra le due città? (A) (B) (C) (D) (E)
N is a power tower of 2009 eights; repeatedly sum digits to a single digit (digital root); find it.
Let , in which there appear number ‘s (a tower of eights). Agilulfo, under punishment, must write the sum of the digits of , obtaining a number ; then he must calculate the sum of the digits of ; and he must repeat the procedure until obtaining a number with a single digit. Let us help Agilulfo: that digit is (A) (B) (C) (D) (E)
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Invarianti Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF
N è una torre di potenza di otto del 2009; sommare ripetutamente i numeri a una singola cifra (radice digitale); trovarla.
Let , in cui figurano numeri (una torre di otto). Agilulfo, sotto punizione, deve scrivere la somma delle cifre di , ottenendo un numero ; quindi deve calcolare la somma delle cifre di ; e deve ripetere la procedura fino a ottenere un numero con una singola cifra. Aiutiamo Agilulfo: quella cifra è (A) (B) (C) (D) (E)
Cubes stacked into a block; given its left view and front view, determine which of the figures cannot be the top view.
Some cubes were stacked forming a block. The figures beside represent the view from the left and the view from the front of this block. Looking at the block from above, which of the figures below can \textbf{not} be seen? (Each option shows a configuration labeled with ‘left’ (esquerda) and ‘front’ (frente) directions.)
Topic: Geometria solida, Logica Metodo: Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta, Astrazione Area: Geometria, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF
Cubbi impilati in un blocco; data la sua vista sinistra e la sua vista anteriore, determinare quale delle figure non può essere la vista superiore.
Alcuni cubetti erano impilati formando un blocco. Le figure di fianco rappresentano la vista da sinistra e la vista dalla parte anteriore di questo blocco. Guardando il blocco dall’alto, quale delle figure di sotto può essere visto? (Ogni opzione mostra una configurazione etichettata con le direzioni “sinistra” (esquerda) e “front” (frente).
Rectangular notebook sheet with yellow borders of 24 cm and red borders of 36 cm; each point painted the color of its nearest side; find the yellow area.
A sheet of Carlos’s notebook is a rectangle with two yellow sides (borders) of cm and two red sides (borders) of cm. Carlos paints each point of the rectangle in the same color as the side nearest to that point. What is the area of the region painted yellow? (A) cm (B) cm (C) cm (D) cm (E) cm
Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri PDF
Lappe di notebook rettangolare con confini gialli di 24 cm e confini rossi di 36 cm; ciascun punto dipingue il colore del suo lato più vicino; trova la zona gialla.
Un foglio del quaderno di Carlos è un rettangolo con due lati gialli (frontieri) di cm e due lati rossi (frontieri) di cm. Carlos dipinge ogni punto del rettangolo nello stesso colore del lato più vicino a quel punto. Qual è l’area della regione dipinta di giallo? (A) cm (B) cm (C) cm (D) cm (E) cm
The sides of a triangle form an arithmetic progression with common difference t; find the distance between incenter and centroid.
The sides of a triangle form an arithmetic progression with common difference (ratio) . Then the distance between the incenter and the barycenter (centroid) of this triangle is: (A) (B) (C) (D) (E) data is insufficient
Topic: Geometria piana, Algebra Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF
I lati di un triangolo formano una progressione aritmetica con differenza comune t; trovare la distanza tra incentro e centroide.
I lati di un triangolo formano una progressione aritmetica con differenza comune (ratio) . Quindi la distanza tra l’incentro e il baricentro (centroid) di questo triangolo è: (A) (B) (C) (D) (E) i dati non sono sufficienti