Olimpíada Brasileira de Matemática 2009 — Nível 3 — Fase 2

CRT table: sum of highlighted cells (mod 3 × mod 7)

Let $m$ and $n$ be two positive integers that are coprime. The Chinese Remainder Theorem states that, for any integers $i$ and $j$ with $0\le i<m$ and $0\le j<n$, there exists exactly one integer $a$ with $0\le a<mn$ such that the remainder of the division of $a$ by $m$ equals $i$ and the remainder of the division of $a$ by $n$ equals $j$. For example, for $m=3$ and $n=7$, the number $19$ is the unique integer in $\{0,1,\dots ,20\}$ that leaves remainders $1$ and $5$ when divided by $3$ and $7$, respectively.

In the table below (rows = remainder mod $3$, columns = remainder mod $7$), each integer from $0$ to $20$ appears exactly once:

\text{Res mod 3} \backslash \text{Res mod 7} & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline 0 & 0 & 15 & 9 & 3 & 18 & 12 & 6 \\ 1 & 7 & 1 & 16 & 10 & 4 & 19 & 13 \\ 2 & 14 & 8 & 2 & 17 & 11 & 5 & 20 \end{array}$$ Certain cells in the table are highlighted (shaded). What is the sum of the highlighted numbers?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze Abilita: Lettura attenta, Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

*tabella CRT: somma delle celle evidenziate (mod 3 × mod 7) *

Lasciate che $m$ e $n$ siano due integri positivi che sono coprimi. Il teorema del rimanente cinese afferma che, per qualsiasi numero intero $i$ e $j$ con $0\le i<m$ e $0\le j<n$, esiste esattamente un numero intero $a$ con $0\le a<mn$ in modo tale che il resto della divisione di $a$ da $m$ è uguale a $i$ e il resto della divisione di $a$ da $n$ è uguale a $j$. Per esempio, per $m=3$ e $n=7$, il numero $19$ è il numero intero unico in $\{0,1,\dots ,20\}$ che lascia i rimanenti $1$ e $5$ quando diviso rispettivamente da $3$ e $7$.

Nella tabella seguente (linee = rest mod $3$, colonne = rest mod $7$), ogni numero intero da $0$ a $20$ appare esattamente una volta:

$\begin{array}{cccccccc}\text{Res mod 3}\backslash \text{Res mod 7}& 0& 1& 2& 3& 4& 5& 6\\ 0& 0& 15& 9& 3& 18& 12& 6\\ 1& 7& 1& 16& 10& 4& 19& 13\\ 2& 14& 8& 2& 17& 11& 5& 20\end{array}$

Alcune celle della tabella sono evidenziate (ombrate). Qual è la somma dei numeri evidenziati?

src_obm_2009_n3_f2__Q01

Incenter distance CI in right triangle ABC

In triangle $ABC$, $\angle A=90^{\circ }$, $AB=5$ cm and $BC=9$ cm. Let $I$ be the incenter of $ABC$. Determine the length of segment $CI$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

IC di distanza al centro nel triangolo rettangolo ABC

In triangolo $ABC$, $\angle A=90^{\circ }$, $AB=5$ cm e $BC=9$ cm. Che $I$ sia il centro di $ABC$. Determinare la lunghezza del segmento $CI$.

src_obm_2009_n3_f2__Q02

Largest c for quadratic inequality; nearest integer to 2009c

Let $c$ be the largest real constant such that $x^2+3y^2\ge c(x^2+xy+4y^2)$ for all real numbers $x$ and $y$. Determine the integer nearest to $2009c$.

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

La più grande c per la disuguaglianza quadrata; numero intero più vicino a 2009c

$c$ sia la costante reale più grande tale che $x^2+3y^2\ge c(x^2+xy+4y^2)$ per tutti i numeri reali $x$ e $y$. Determinare il numero intero più vicino a $2009c$.

src_obm_2009_n3_f2__Q03

Maximum probability of winning a car in Toto Bola; find m+n

On the game show Toto Bola, the host Ciço Magalhães has two identical boxes. A volunteer from the audience is invited to participate in the following game: he receives ten green balls and two red balls and distributes them among the two boxes (without the host seeing), in such a way that each box contains at least one ball. Then the host chooses one of the boxes and draws one ball. If the ball is RED, the volunteer wins a car. If it is GREEN, the volunteer wins a banana. The maximum probability of winning a car equals $\frac{m}{n}$, where $m$ and $n$ are positive integers with $\gcd (m,n)=1$. Determine the value of $m+n$.

Topic: Probabilità, Combinatoria Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Modellizzazione, Stima, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Massima probabilità di vincere una vettura in Toto Bola; trovare m+n

Nel game show Toto Bola, l’host Ciço Magalhães ha due scatole identiche. Un volontario del pubblico è invitato a partecipare al seguente gioco: riceve dieci palle verdi e due palle rosse e le distribuisce tra le due scatole (senza che l’ospite veda), in modo che ciascuna scatola contenga almeno una palla. Poi l’ospite sceglie una delle scatole e disegna una palla. Se la palla è RED, il volontario vince una macchina. Se è VERDE, il volontario vince una banana. La probabilità massima di vincere una vettura è pari a $\frac{m}{n}$, dove $m$ e $n$ sono numeri interi positivi con $\gcd (m,n)=1$. Determinare il valore di $m+n$.

src_obm_2009_n3_f2__Q04

Largest n < 10000 with 2^n + n divisible by 5

Determine the largest integer $n$ less than $10000$ such that $2^n+n$ is divisible by $5$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Ricorsione Abilita: Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

La più piccola n < 10000 con 2^n + n divisibile per 5

Determinare il numero intero più grande $n$ inferiore a $10000$ in modo tale che $2^n+n$ sia divisibile da $5$.

src_obm_2009_n3_f2__Q05

Count 6-digit numbers from distinct digits satisfying two conditions

Determine the number of 6-digit integers $n=\overline{a_1{a}_2{a}_3{a}_4{a}_5{a}_6}$ that can be formed using six distinct digits from $\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ such that the following conditions are satisfied simultaneously: \begin{enumerate} \item[(i)] $a_1+a_2=a_3+a_4=a_5+a_6$; \item[(ii)] $n$ is divisible by $9$. \end{enumerate}

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Conteggio, Congruenze Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Conta i numeri a 6 cifre da cifre distinte che soddisfano due condizioni

Determinare il numero di enti enti a 6 cifre $n=\overline{a_1{a}_2{a}_3{a}_4{a}_5{a}_6}$ che possono essere formati utilizzando sei cifre distinte da $\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ in modo tale che siano soddisfatte contemporaneamente le seguenti condizioni: \begin{enumerate} \item[(i)] $a_1+a_2=a_3+a_4=a_5+a_6$; \item[(ii) $n$ è divisibile per $9$. \end{enumere}

src_obm_2009_n3_f2__Q06

Find all positive integer solutions to 4·3^a = 11 + 5^b

Find all integers $a>0$ and $b>0$ such that $4\cdot 3^a=11+5^b.$

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca tutte le soluzioni integrali positive a 4·3^a = 11 + 5^b

Trova tutti gli integri $a>0$ e $b>0$ in modo tale che $4\cdot 3^a=11+5^b.$

src_obm_2009_n3_f2__Q07

Count elements of union of sets A_n defined via floor function

For each positive integer $n$, let $A_n=\{x\in {\mathbb{R}}_{+}:\lfloor x\rfloor \le n\},$ where ${\mathbb{R}}_{+}$ is the set of positive real numbers and $\lfloor x\rfloor$ denotes the greatest integer less than or equal to $x$.

Determine the number of elements of the set $A_1\cup A_2\cup A_3\cup \cdots \cup A_{2009}.$

Topic: Insiemi e funzioni, Combinatoria Metodo: Conteggio Abilita: Lettura attenta, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Conteggio di elementi di unione di gruppi A_n definiti tramite funzione pavimento

Per ogni numero intero positivo $n$, $A_n=\{x\in {\mathbb{R}}_{+}:\lfloor x\rfloor \le n\},$ dove ${\mathbb{R}}_{+}$ è l’insieme dei numeri reali positivi e $\lfloor x\rfloor$ indica il numero intero più grande inferiore o uguale a $x$.

Determinare il numero di elementi del set $A_1\cup A_2\cup A_3\cup \cdots \cup A_{2009}.$

src_obm_2009_n3_f2__Q08

Distance between midpoints of BC and KL in triangle with incircle and diameter circle

In triangle $ABC$, we have $\angle A=120^{\circ }$ and $BC=12$ cm. The inscribed circle (incircle) of triangle $ABC$ is tangent to sides $AB$ and $AC$ at points $D$ and $E$, respectively. Let $K$ and $L$ be the points where line $DE$ intersects the circle with diameter $BC$. Determine the distance between the midpoints of segments $BC$ and $KL$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Distanza tra i punti di centro di BC e KL in triangolo con circolo incircolare e di diametro circolare

Nel triangolo $ABC$, abbiamo $\angle A=120^{\circ }$ e $BC=12$ cm. Il cerchio (cerchio) inscritto del triangolo $ABC$ è tangente ai lati $AB$ e $AC$ rispettivamente nei punti $D$ e $E$. $K$ e $L$ siano i punti in cui la linea $DE$ interseca il cerchio con il diametro $BC$. Determinare la distanza tra i punti medi dei segmenti $BC$ e $KL$.

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