Olimpíada Brasileira de Matemática 2009 — Nível 3 — Fase 3

2009×2009 table; can all 4018 row/column sums be distinct perfect squares?

Esmeralda writes $2009^2$ integers in a table with 2009 rows and 2009 columns, placing one number in each cell. She correctly sums the numbers in each row and in each column, obtaining 4018 results. She notices that all the results are distinct. Is it possible that all these results are perfect squares?

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: method_casework, Casework Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

2009×2009 tabella; tutte le somme di 4018 righe/colonne possono essere distinte quadrate perfette?

Esmeralda scrive $2009^2$ numeri interi in una tabella con righe 2009 e colonne 2009, inserendo un numero in ogni cella. Somma correttamente i numeri in ogni riga e in ogni colonna, ottenendo risultati 4018. Si accorge che tutti i risultati sono diversi. È possibile che tutti questi risultati siano quadrati perfetti?

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Safe prime q=2p+1; prove q has a multiple with digit sum ≤3

Let $q$ be a prime of the form $2p+1$, where $p>0$ is also a prime. Prove that there exists a multiple of $q$ whose sum of digits in base ten is less than or equal to 3.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Prima sicura q=2p+1; prova che q ha un multiplo con somma digitali ≤3

$q$ sia un primo della forma $2p+1$, dove $p>0$ è anche un primo. Prova che esiste un multiple di $q$ la cui somma di cifre nella base dieci è inferiore o uguale a 3.

src_obm_2009_n3_f3__Q02

Chip-firing on integer lattice with 2009 stones; prove termination and confluence

2009 stones are placed at some points $(x,y)$ with integer coordinates in the Cartesian plane. An operation consists of choosing a point $(a,b)$ that has four or more stones, removing four stones from $(a,b)$, and placing one stone at each of the four points $(a-1,b),(a,b+1),(a-1,b),(a+1,b).$ (Note: the four target points as listed in the original source are $(a-1,b)$, $(a,b+1)$, $(a-1,b)$, $(a+1,b)$; the third is almost certainly a misprint for $(a,b-1)$, giving the four cardinal neighbors $(a-1,b)$, $(a,b+1)$, $(a,b-1)$, $(a+1,b)$.)

Show that, after a finite number of operations, every point will have at most three stones. Moreover, prove that the final configuration does not depend on the order in which the operations are performed.

Topic: Combinatoria Metodo: Invarianti, method_invarianti Abilita: Modellizzazione, Astrazione, Lettura attenta, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Chip-fire su rete di numeri interi con pietre del 2009; prova di terminazione e confluenza

Le pietre del 2009 sono posizionate in alcuni punti $(x,y)$ con coordinate interi nel piano cartesiano. Un’operazione consiste nel scegliere un punto $(a,b)$ che abbia quattro o più pietre, nel rimuovere quattro pietre da $(a,b)$ e nel posizionare una pietra in ciascuno dei quattro punti $(a-1,b),(a,b+1),(a-1,b),(a+1,b).$ (Nota: i quattro punti bersaglio elencati nella fonte originale sono $(a-1,b)$, $(a,b+1)$, $(a-1,b)$, $(a+1,b)$; il terzo è quasi certamente un errore di stampa per $(a,b-1)$, dando ai quattro cardinali vicini $(a-1,b)$, $(a,b+1)$, $(a,b-1)$, $(a+1,b)$.)

Mostrare che, dopo un numero finito di operazioni, ogni punto avrà al massimo tre pietre. Inoltre, dimostrare che la configurazione finale non dipende dall’ordine di esecuzione delle operazioni.

src_obm_2009_n3_f3__Q03

Prove there exists n₀ such that a cube can be dissected into n smaller cubes for all n≥n₀

Show that there exists a positive integer $n_0$ with the following property: for any integer $n\ge n_0$, it is possible to partition a cube into $n$ smaller (not necessarily equal) cubes.

Topic: Geometria solida, Combinatoria Metodo: Induzione, method_casework Abilita: Modellizzazione, Ragionamento geometrico, Riconoscimento di pattern Area: Geometria, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Prove che esiste un n0 tale che un cubo possa essere dissezionato in n cubetti più piccoli per tutti n≥n0

Mostrare che esiste un intero positivo $n_0$ con la seguente proprietà: per qualsiasi intero $n\ge n_0$, è possibile dividere un cubo in cubi $n$ più piccoli (non necessariamente uguali).

src_obm_2009_n3_f3__Q04

Circumcircles of OBC, OAC, OAB yield six points; three joining lines are concurrent

Let $ABC$ be a triangle and $O$ its circumcenter. Lines $AB$ and $AC$ meet the circumcircle of triangle $OBC$ again at $B_1\ne B$ and $C_1\ne C$, respectively; lines $BA$ and $BC$ meet the circumcircle of triangle $OAC$ again at $A_2\ne A$ and $C_2\ne C$, respectively; and lines $CA$ and $CB$ meet the circumcircle of triangle $OAB$ again at $A_3\ne A$ and $B_3\ne B$, respectively. Prove that the lines $A_2{A}_3$, $B_1{B}_3$, and $C_1{C}_2$ are concurrent.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

I cerchi di OBC, OAC, OAB producono sei punti; tre linee di connessione sono simultanee

Lasciate che $ABC$ sia un triangolo e $O$ il suo centro circonda. Le linee $AB$ e $AC$ incontrano di nuovo il circoncircolo del triangolo $OBC$ rispettivamente a $B_1\ne B$ e $C_1\ne C$; le linee $BA$ e $BC$ incontrano di nuovo il circoncircolo del triangolo $OAC$ rispettivamente a $A_2\ne A$ e $C_2\ne C$; e le linee $CA$ e $CB$ incontrano di nuovo il circoncircolo del triangolo $OAB$ rispettivamente a $A_3\ne A$ e $B_3\ne B$. Prove che le linee $A_2{A}_3$, $B_1{B}_3$ e $C_1{C}_2$ sono simultanee.

src_obm_2009_n3_f3__Q05

Find all values of cyclic sum x_i/(x_{i-1}+x_i+x_{i+1}) for positive reals, n>3 fixed

Let $n>3$ be a fixed integer and let $x_1,x_2,\dots ,x_n$ be positive real numbers. Find, in terms of $n$, all possible real values of $S=\frac{x_1}{x_n+x_1+x_2}+\frac{x_2}{x_1+x_2+x_3}+\frac{x_3}{x_2+x_3+x_4}+\cdots +\frac{x_{n-1}}{x_{n-2}+x_{n-1}+x_n}+\frac{x_n}{x_{n-1}+x_n+x_1}.$

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Estremalità, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca tutti i valori della somma ciclica x_i/(x_{i-1}+x_i+x_{i+1}) per i reali positivi, n>3 fissi

Che $n>3$ sia un numero intero fisso e che $x_1,x_2,\dots ,x_n$ sia un numero reale positivo. Trova, in termini di $n$, tutti i possibili valori reali di $S=\frac{x_1}{x_n+x_1+x_2}+\frac{x_2}{x_1+x_2+x_3}+\frac{x_3}{x_2+x_3+x_4}+\cdots +\frac{x_{n-1}}{x_{n-2}+x_{n-1}+x_n}+\frac{x_n}{x_{n-1}+x_n+x_1}.$

src_obm_2009_n3_f3__Q06