Olimpíada Brasileira de Matemática 2010 — Nível 1 — Fase 1

Which number is NOT a multiple of 15?

Which of the following numbers is NOT a multiple of $15$?

(A) $135$ \quad (B) $315$ \quad (C) $555$ \quad (D) $785$ \quad (E) $915$

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Lettura attenta, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: D Fonte: apri PDF

Quale numero NON è un multiple di 15?

Quale dei seguenti numeri NON è un multiple di $15$?

(A) $135$ \quad (B) $315$ \quad (C) $555$ \quad (D) $785$ \quad (E) $915$

Risposta: D src_obm_2010_n1_f1__Q01

Find Lucia’s reais given pairwise sums

Ana, Esmeralda, and L’{u}cia together have $33$ reais. Ana and Esmeralda together have $19$ reais, and Esmeralda and L’{u}cia together have $21$ reais. How many reais does L’{u}cia have?

(A) $6$ \quad (B) $7$ \quad (C) $10$ \quad (D) $12$ \quad (E) $14$

Topic: Algebra Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Risposta: E Fonte: apri PDF

*Ricerca il real di Lucia dato in coppie *

Ana, Esmeralda e L’Ucia insieme hanno REAL. Ana e Esmeralda insieme hanno $19$ reais, e Esmeralda e L’{u}cia insieme hanno $21$ reais. Quanti reais ha l’U.C.?

(A) $6$ \quad (B) $7$ \quad (C) $10$ \quad (D) $12$ \quad (E) $14$

Risposta: E src_obm_2010_n1_f1__Q02

2% increase of integer equals successor; find their sum

Increasing a positive integer by $2\%$ of itself yields its successor (the next integer). What is the sum of these two numbers?

(A) $43$ \quad (B) $53$ \quad (C) $97$ \quad (D) $101$ \quad (E) $115$

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Abilita: Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: D Fonte: apri PDF

*2% aumento dei numeri interi uguali al successore; trovare la loro somma *

Aumentare un intero positivo di $2\%$ di se stesso produce il suo successore (il prossimo intero). Qual è la somma di questi due numeri?

(A) $43$ \quad (B) $53$ \quad (C) $97$ \quad (D) $101$ \quad (E) $115$

Risposta: D src_obm_2010_n1_f1__Q03

Max tokens in 5x5 grid with row and column counts multiples of 3

What is the maximum number of tokens that can be placed in a $5\times 5$ table, with at most one token per cell, such that the number of tokens in each row and in each column is a multiple of $3$?

(A) $3$ \quad (B) $9$ \quad (C) $12$ \quad (D) $15$ \quad (E) $24$

Topic: Combinatoria Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: B Fonte: apri PDF

Max token in griglia 5x5 con conteggio di righe e colonne multipli di 3

Qual è il numero massimo di token che può essere inserito in una tabella $5\times 5$, con un token al massimo per cella, in modo tale che il numero di token in ogni riga e in ogni colonna sia un multiple di $3$?

(A) $3$ \quad (B) $9$ \quad (C) $12$ \quad (D) $15$ \quad (E) $24$

Risposta: B src_obm_2010_n1_f1__Q04

Height of column built from 2010 rectangular blocks

Carlos has $2010$ identical blocks, each $10\text{cm}$ long, $20\text{cm}$ wide, and $1.5\text{cm}$ thick. He stacks them into a column $20\text{cm}$ wide and $40\text{cm}$ long, as shown in the figure. Which of the following values is closest to the height of the column, in metres?

(A) $7$ \quad (B) $7.5$ \quad (C) $8$ \quad (D) $8.5$ \quad (E) $9$

Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Modellizzazione, Stima Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: D Fonte: apri PDF

Altezza della colonna costruita a partire da blocchi rettangolari del 2010

Carlos ha $2010$ blocchi identici, ognuno lungo $10\text{cm}$, largo $20\text{cm}$ e spessore $1.5\text{cm}$. Le stacca in una colonna $20\text{cm}$ di larghezza e $40\text{cm}$ di lunghezza, come mostra la figura. Quale dei seguenti valori è più vicino all’altezza della colonna, in metri?

(A) $7$ \quad (B) $7.5$ \quad (C) $8$ \quad (D) $8.5$ \quad (E) $9$

Risposta: D src_obm_2010_n1_f1__Q05

Which option is a divisor of 3^3 times 4^4 times 5^5?

Which of the following is a divisor of $3^3\cdot 4^4\cdot 5^5$?

(A) $42$ \quad (B) $45$ \quad (C) $52$ \quad (D) $85$ \quad (E) $105$

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: B Fonte: apri PDF

Quale opzione è un divisore di 3^3 per 4^4 per 5

Qual è il divisore di $3^3\cdot 4^4\cdot 5^5$?

(A) $42$ \quad (B) $45$ \quad (C) $52$ \quad (D) $85$ \quad (E) $105$

Risposta: B src_obm_2010_n1_f1__Q06

Simplify 4^(4^4) divided by 4^4

Dividing $4^{\left(4^4\right)}$ by $4^4$, we obtain:

(A) $2$ \quad (B) $4^1$ \quad (C) $4^4$ \quad (D) $4^{4^3}$ \quad (E) $4^{4^4-4}$

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: E Fonte: apri PDF

Semplificare 4^(4^4) diviso per 4^4

Dividendo $4^{\left(4^4\right)}$ per $4^4$, otteniamo:

(A) $2$ \quad (B) $4^1$ \quad (C) $4^4$ \quad (D) $4^{4^3}$ \quad (E) $4^{4^4-4}$

Risposta: E src_obm_2010_n1_f1__Q07

Which total cannot be a sum of visible faces of two tetrahedral dice joined at one face?

The four faces of a die are equilateral triangles, numbered $1$ to $4$, as shown in the figure. We roll two identical dice and place them so that two faces coincide (showing the same or different numbers). Which of the following numbers CANNOT be the sum of all the visible face numbers?

(A) $12$ \quad (B) $14$ \quad (C) $17$ \quad (D) $18$ \quad (E) $19$

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: C Fonte: apri PDF

Quale totale non può essere la somma delle facce visibili di due dadi tetraedrali uniti a una faccia?

Le quattro facce di un dado sono triangoli equilaterali, numerati $1$ a $4$, come mostrato nella figura. Rotoliamo due dadi identici e li posizioniamo in modo che due volti coincidano (mostrando gli stessi o diversi numeri). Quale dei seguenti numeri NON può essere la somma di tutti i numeri visibili?

(A) $12$ \quad (B) $14$ \quad (C) $17$ \quad (D) $18$ \quad (E) $19$

Risposta: C src_obm_2010_n1_f1__Q08

Count positive divisors of 120 that are multiples of 6

How many positive divisors of $120$ are multiples of $6$?

(A) $4$ \quad (B) $5$ \quad (C) $6$ \quad (D) $8$ \quad (E) $12$

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio, Fattorizzazione Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: C Fonte: apri PDF

Contare i divisori positivi di 120 che sono multipli di 6

Quanti divisori positivi di $120$ sono multipli di $6$?

(A) $4$ \quad (B) $5$ \quad (C) $6$ \quad (D) $8$ \quad (E) $12$

Risposta: C src_obm_2010_n1_f1__Q09

Perimeter of figure formed by two overlapping squares

The figure shows two squares overlapping: one with side $5\text{cm}$ and one with side $6\text{cm}$. What is the perimeter of the resulting figure (the thick outline), in centimetres?

(A) $31$ \quad (B) $34$ \quad (C) $36$ \quad (D) $38$ \quad (E) $41$

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Risposta: C Fonte: apri PDF

Perimetro della figura formata da due quadrati che si sovrappongono

La figura mostra due quadrati sovrapposti: uno con lato $5\text{cm}$ e uno con lato $6\text{cm}$. Qual è il perimetro della figura risultante (il contorno spessore), in centimetri?

(A) $31$ \quad (B) $34$ \quad (C) $36$ \quad (D) $38$ \quad (E) $41$

Risposta: C src_obm_2010_n1_f1__Q10

Days for a clock losing 5 min/hour to show correct time again

The clock shown indicates the correct time right now, but it begins to lose exactly $5$ minutes for every real hour that passes. After how many days will the clock show the correct time again?

(A) $1$ \quad (B) $2$ \quad (C) $4$ \quad (D) $6$ \quad (E) $12$

Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: D Fonte: apri PDF

Die per un orologio che perde 5 minuti/ora per mostrare di nuovo l’ora corretta

L’orologio mostrato indica l’ora corretta in questo momento, ma inizia a perdere esattamente $5$ minuti per ogni vera ora che passa. Dopo quanti giorni l’orologio mostrerà di nuovo l’ora corretta?

(A) $1$ \quad (B) $2$ \quad (C) $4$ \quad (D) $6$ \quad (E) $12$

Risposta: D src_obm_2010_n1_f1__Q11

Area of shaded polygonal region in a 1 cm dot grid

In the grid shown, neighbouring points (vertically or horizontally) are $1\text{cm}$ apart. What is the area of the shaded region, in ${\text{cm}}^2$?

(A) $7$ \quad (B) $8$ \quad (C) $8.5$ \quad (D) $9$ \quad (E) $9.5$

Topic: Geometria piana Metodo: Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico Area: Geometria Risposta: D Fonte: apri PDF

Area di regione poligonale ombrata in una griglia a punti di 1 cm

Nella griglia mostrata, i punti vicini (verticalmente o orizzontalmente) sono $1\text{cm}$ separati. Qual è la superficie della regione ombrata, in ${\text{cm}}^2$?

(A) $7$ \quad (B) $8$ \quad (C) $8.5$ \quad (D) $9$ \quad (E) $9.5$

Risposta: D src_obm_2010_n1_f1__Q12

Find goals suffered by Esmeralda FC from incomplete championship table

A newspaper published the standings of a football championship with four teams, showing goals scored and goals suffered by each team. Due to a printing error, some entries are missing (shown as $\ast \ast \ast$):

\begin{array}{|l|c|c|}\hline \textbf{Team} & \textbf{Goals scored} & \textbf{Goals suffered} \\hline \text{Craques do Momento} & 8 & {} \\hline \text{Independentes} & 1 & 6 \\hline \text{EC Boleiros} & 4 & {} \\hline \text{Esmeralda FC} & 5 & {***} \\hline \end{array}

It is known that Esmeralda FC suffered two more goals than EC Boleiros. How many goals did Esmeralda FC suffer?

(A) $2$ \quad (B) $3$ \quad (C) $4$ \quad (D) $5$ \quad (E) $6$

Topic: Teoria dei Numeri, Logica Metodo: Casework Abilita: Lettura attenta, Modellizzazione, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: E Fonte: apri PDF

Ricerca i gol che ha colpito l’Esmeralda FC da una tabella di campionato incompleta

Un giornale pubblicò le classifiche di un campionato di calcio con quattro squadre, mostrando i gol segnati e i gol subiti da ciascuna squadra. A causa di un errore di stampa, mancano alcune voci (indicate come $\ast \ast \ast$):

Il gruppo di team ha segnato i gol e il team ha segnato i gol e il team ha segnato i gol.

È noto che l’Esmeralda FC ha colpito due gol in più di EC Boleiros. Quanti gol ha colpito Esmeralda FC?

(A) $2$ \quad (B) $3$ \quad (C) $4$ \quad (D) $5$ \quad (E) $6$

Risposta: E src_obm_2010_n1_f1__Q13

Fraction Beatriz still must climb after Ana finishes descending

Ana starts going down a staircase at exactly the same moment Beatriz starts going up. They cross each other when Ana has descended $\frac{3}{4}$ of the staircase. At the moment Ana finishes descending, what fraction of the staircase does Beatriz still have to climb?

(A) $\frac{1}{4}$ \quad (B) $\frac{1}{3}$ \quad (C) $\frac{1}{12}$ \quad (D) $\frac{5}{12}$ \quad (E) $\frac{2}{3}$

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: C Fonte: apri PDF

Frazione Beatriz deve ancora salire dopo che Ana ha finito di scendere

Ana inizia a scendere una scala esattamente nello stesso momento in cui Beatriz inizia a salire. Si incrociano quando Ana scende da una scala. Nel momento in cui Ana finisce di scendere, quale frazione della scala deve ancora salire Beatriz?

(A) $\frac{1}{4}$ \quad (B) $\frac{1}{3}$ \quad (C) $\frac{1}{12}$ \quad (D) $\frac{5}{12}$ \quad (E) $\frac{2}{3}$

Risposta: C src_obm_2010_n1_f1__Q14

Smallest number in a set with sum 83 and product 1024

Some positive integers (not necessarily distinct) are written on a board. Their sum is $83$ and their product is $1024$. What is the smallest possible value of the smallest number among all those on the board?

(A) $1$ \quad (B) $2$ \quad (C) $4$ \quad (D) $8$ \quad (E) $16$

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Fattorizzazione, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: A Fonte: apri PDF

Numero più piccolo in un insieme con somma 83 e prodotto 1024

Alcuni numeri interi positivi (non necessariamente distinti) sono scritti su una lavagna. La loro somma è $83$ e il loro prodotto è $1024$. Qual è il minimo valore possibile del numero più piccolo tra tutti quelli sulla lavagna?

(A) $1$ \quad (B) $2$ \quad (C) $4$ \quad (D) $8$ \quad (E) $16$

Risposta: A src_obm_2010_n1_f1__Q15

Students liking both Math and Portuguese in class of 56

In a $6^{\text{th}}$-grade class, every student likes at least one of the following two subjects: Mathematics or Portuguese. Fewer than $\frac{3}{4}$ of the students like Mathematics, and $\frac{5}{7}$ of the students like Portuguese. The class has $56$ students. How many students like both subjects at the same time?

(A) $8$ \quad (B) $13$ \quad (C) $24$ \quad (D) $26$

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Inclusione-esclusione Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: B Fonte: apri PDF

Gli studenti che amano sia la matematica che il portoghese nella classe 56

In una classe di grado $6^{\text{th}}$, ogni studente ama almeno una delle due materie seguenti: matematica o portoghese. Meno di $\frac{3}{4}$ degli studenti come la matematica e $\frac{5}{7}$ degli studenti come il portoghese. La classe ha studenti $56$. Quanti studenti amano entrambi i soggetti allo stesso tempo?

(A) $8$ \quad (B) $13$ \quad (C) $24$ \quad (D) $26$

Risposta: B src_obm_2010_n1_f1__Q16

Area of rectangular tiling with 17 white unit squares in corner pattern

The figure represents a corner of a rectangular tiling made of unit squares (side $1\text{cm}$). In this tiling $17$ squares are white. What is the area of the tiling, in ${\text{cm}}^2$?

(A) $29$ \quad (B) $34$ \quad (C) $35$ \quad (D) $40$ \quad (E) $150$

Topic: Teoria dei Numeri, Geometria piana Metodo: Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Geometria Risposta: B Fonte: apri PDF

*Area di piastrelle rettangolari con 17 quadrati di unità bianche in angolo *

La figura rappresenta un angolo di una piastra rettangolare fatta di quadrati unitari (lato $1\text{cm}$). In questo tessuto $17$ i quadrati sono bianchi. Qual è la superficie della piastrella, in ${\text{cm}}^2$?

(A) $29$ \quad (B) $34$ \quad (C) $35$ \quad (D) $40$ \quad (E) $150$

Risposta: B src_obm_2010_n1_f1__Q17

Which first break guarantees Fabio gets the almond square

The figure represents a chocolate bar that has a single chocolate-covered almond in one square. Neither Elias nor F’{a}bio likes almonds. They decide to share the chocolate by breaking it along the vertical or horizontal lines, one piece at a time, taking turns; by lottery, Elias goes first, and it is forbidden to take more than half the chocolate. Which choice guarantees that F’{a}bio will end up with the almond chocolate square?

• (A) Choose the first column on the left.
• (B) Choose the first two columns on the left.
• (C) Choose the third line from the top, counting downward.
• (D) Choose the last two lines from the bottom, counting upward.
• (E) Any break, since F’{a}bio will forcibly end up with the almond square.

Topic: Combinatoria, Logica Metodo: Backward, Invarianti Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta, Modellizzazione, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: E Fonte: apri PDF

Il primo passo che garantisce che Fabio ottiene il quadrato delle mandorle

La figura rappresenta una barra di cioccolato che ha una singola mandorla coperta di cioccolato in un quadrato. Ne’ Elias ne’ F’abio amano le mandorle. Decidono di dividere il cioccolato rompendolo lungo le linee verticali o orizzontali, un pezzo alla volta, a turno; per la lotteria, Elias va prima, e è vietato prendere più della metà del cioccolato. Quale scelta garantisce che F’a Bio finira’ con il quadrato di cioccolato alla mandorle?

• (A) Scegli la prima colonna a sinistra.
• (B) Scegliere le prime due colonne a sinistra.
• (C) Scegli la terza riga dall’alto, contando verso il basso.
• (D) Scegli le ultime due righe dal basso, contando verso l’alto.
• (E) Qualsiasi interruzione, dal momento che F’a Bio finira’ con la forza con il quadrato delle mandorle.

Risposta: E src_obm_2010_n1_f1__Q18

Identify who made the false statement in a card game

Four friends — Arnaldo, Bernaldo, Cernaldo, and Dernaldo — are playing cards. There are $20$ different cards in $4$ colours (blue, yellow, green, red, and purple) and numbered $1$ to $5$. Each friend receives $5$ cards so that all cards are distributed. They make the following statements:

Arnaldo: I have four cards with the same number.'' Bernaldo: I have five red cards.” Cernaldo: My five cards all start with the letter V.'' Dernaldo: I have three cards with one number and two cards with another number.”

It is known that exactly one of the statements is false. Who made the false statement?

(A) Arnaldo \quad (B) Bernaldo \quad (C) Cernaldo \quad (D) Dernaldo \quad (E) It is not possible to determine.

Topic: Logica, Combinatoria Metodo: Casework Abilita: Lettura attenta, Ragionamento geometrico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: B Fonte: apri PDF

Identificare chi ha fatto la dichiarazione falsa in un gioco di carte

Quattro amici Arnaldo, Bernaldo, Cernaldo e Dernaldo stanno giocando a carte. Esistono diverse schede $20$ in $4$ (blu, giallo, verde, rosso e viola) e numerate $1$ a $5$. Ogni amico riceve carte $5$ in modo che tutte le carte siano distribuite. Essi fanno le seguenti dichiarazioni:

Arnaldo: Ho quattro carte con lo stesso numero.'' Bernaldo: Ho cinque carte rosse.” Cernaldo: Le mie cinque carte iniziano tutte con la lettera V.'' Dernaldo: Ho tre carte con un numero e due carte con un altro numero.”

È noto che esattamente una delle affermazioni è falsa. Chi ha fatto la falsa dichiarazione?

(A) Arnaldo \quad (B) Bernaldo \quad (C) Cernaldo \quad (D) Dernaldo \quad (E) Non è possibile determinare.

Risposta: B src_obm_2010_n1_f1__Q19

Find the missing face number on an icosahedron net

The figure below is a net (plan) of an icosahedron (a solid all of whose faces are equilateral triangles). The faces are numbered $1$ to $5$ in such a way that around each vertex of the solid the numbers $1$ to $5$ all appear. What number is on the face marked with “?”?

(A) $1$ \quad (B) $2$ \quad (C) $3$ \quad (D) $4$ \quad (E) $5$

Topic: Combinatoria, Geometria solida Metodo: Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: D Fonte: apri PDF

Ricerca il numero del viso mancante su una rete di icosaedro

La figura seguente è una rete (piano) di un icosaedro (un solido la cui faccia è triangolare equilaterale). Le facce sono numerate da $1$ a $5$ in modo tale che intorno a ogni vertice del solido appaiano tutti i numeri $1$ a $5$. Qual è il numero sul volto contrassegnato con “?’?

(A) $1$ \quad (B) $2$ \quad (C) $3$ \quad (D) $4$ \quad (E) $5$

Risposta: D src_obm_2010_n1_f1__Q20