Olimpíada Brasileira de Matemática 2010 — Nível 2 — Fase 2

Smallest N so that 33N has all digits equal to 7; find digit sum of N

Let $N$ be the smallest positive integer such that $N\times 33$ yields a number whose digits are all equal to $7$. Find the sum of the digits of $N$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Lettura attenta, Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

*N più piccolo in modo che 33N abbia tutte le cifre uguali a 7; trovare la somma di N *

$N$ sia il numero intero positivo più piccolo in modo tale che $N\times 33$ produca un numero i cui numeri sono tutti uguali a $7$. Trova la somma delle cifre di $N$.

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Right triangles ABC and ABD share hypotenuse AB; find area of triangle ABE

In the figure, triangles $ABC$ and $ABD$ are right-angled at $C$ and $D$, respectively. Given that $AC=15$ cm, $AB=16$ cm, and $BD=12$ cm, find the area, in ${\text{cm}}^2$, of triangle $ABE$, where $E$ is the intersection point of $AD$ and $BC$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

I triangoli retti ABC e ABD condividono l’ipotenuza AB; trovare l’area del triangolo ABE

Nella figura, i triangoli $ABC$ e $ABD$ sono rettangolari rispettivamente a $C$ e $D$. Dato che $AC=15$ cm, $AB=16$ cm e $BD=12$ cm, si trova l’area, in ${\text{cm}}^2$, del triangolo $ABE$, dove $E$ è il punto di intersezione di $AD$ e $BC$.

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Real p,q satisfy two quadratics with pq≠1; find (pq+p+1)/q

Let $p,q$ be real numbers satisfying the relations $2p^2-3p-1=0$, $q^2+3q-2=0$, and $pq\ne 1$. Find the value of $\frac{pq+p+1}{q}$.

Topic: Algebra Metodo: Fattorizzazione, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Real p,q soddisfa due quadratici con pq≠1; trovare (pq+p+1)/q

$p,q$ siano numeri reali che soddisfano le relazioni $2p^2-3p-1=0$, $q^2+3q-2=0$ e $pq\ne 1$. Trova il valore di $\frac{pq+p+1}{q}$.

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Lottery tickets 100–999; prize = digit sum; minimum tickets to guarantee super-prize

In a city, the mayor organized a lottery with tickets numbered from $100$ to $999$. The prize for each ticket is determined by the sum of the digits of the ticket number. To ensure that no one receives more than three prizes, it was established that whoever draws three tickets with equal sums is entitled to a super-prize. What is the minimum number of tickets a citizen must buy to be certain of receiving a super-prize?

Topic: Combinatoria Metodo: Principio dei cassetti, Estremalità Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Billeti da lotteria 100999; premio = somma di cifre; biglietti minimi per garantire il super-premi

In una città, il sindaco ha organizzato una lotteria con biglietti numerati da $100$ a $999$. Il premio per ciascun biglietto è determinato dalla somma dei numeri del numero del biglietto. Per garantire che nessuno riceva più di tre premi, è stato stabilito che chi prende tre biglietti con pari importi ha diritto a un super premio. Qual è il numero minimo di biglietti che un cittadino deve acquistare per essere sicuro di ricevere un super premio?

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Integer r,s; quadratic with integer roots; count possible values of |r−s|

Let $r$ and $s$ be integers. It is known that the quadratic equation $x^2-(r+s)x+rs+2010=0$ has two integer solutions. How many are the possible values of $|r-s|$?

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

*Integer r,s; quadratico con radici interi; contare i possibili valori di ̊r−s di *

$r$ e $s$ siano numeri interi. È noto che l’equazione quadratica $x^2-(r+s)x+rs+2010=0$ ha due soluzioni integrali. Quanti sono i valori possibili di $|r-s|$?

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Count legal 2×2010 two-colorings avoiding monochromatic L-tromino

Joãozinho wants to color a $2\times 2010$ board with two colors $A$ and $B$. A coloring is called \emph{legal} if it is not possible to find an L-tromino (L-shaped tromino), as in the figure below, with all its squares the same color. Determine the number of legal colorings.

(An L-tromino consists of three unit squares forming an L-shape, as illustrated.)

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Ricorsione, Invarianti Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Count legal 2×2010 bicolori che evitano il monocromatico L-tromino

Joãozinho vuole colorare una lavagna $2\times 2010$ con due colori $A$ e $B$. Un colore è chiamato \emph{legal} se non è possibile trovare un tromino L (tromino a forma di L), come nella figura seguente, con tutti i suoi quadrati dello stesso colore. Determina il numero di coloranti legali.

(Un L-tromino è costituito da tre quadrati unitari che formano una forma L, come illustrato).

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Find all prime pairs m<n with 2m+n, m+2n, m+n−18 all prime

Find all prime numbers $m$ and $n$ such that $0<m<n$ and the three numbers $2m+n,m+2n,m+n-18$ are also prime.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Congruenze Abilita: Lettura attenta, Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Ricerca tutte le coppie prime m<n con 2m+n, m+2n, m+n−18 tutte prime

Trova tutti i numeri primi $m$ e $n$ in modo tale che $0<m<n$ e i tre numeri $2m+n,m+2n,m+n-18$ siano anche primi.

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Two-digit numbers equal to their digit-reversal image sum being a perfect square

We call the \emph{image} of a two-digit natural number the number obtained by reversing the order of its digits. For example, the image of $34$ is $43$. Which two-digit numbers, when added to their image, give a perfect square?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Lettura attenta, Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Numeri a due cifre uguali alla loro somma di immagine inversa a cifre essendo un quadrato perfetto

Chiamiamo l’immagine di un numero naturale a due cifre il numero ottenuto invertendo l’ordine delle sue cifre. Ad esempio, l’immagine di $34$ è $43$. Quali numeri a due cifre, aggiunti alla loro immagine, danno un quadrato perfetto?

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Triangle ABC with angle bisectors meeting at I; AI=BC and angle ICA=2·angle IAC; find angle ABC

The internal bisectors of angles $\hat{A}$ and $\hat{C}$ of triangle $ABC$ meet at point $I$. It is known that $AI=BC$ and $m(\widehat{ICA})=2m(\widehat{IAC})$. Find the measure of angle $\widehat{ABC}$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo ABC con bisettori angolari che si incontrano a I; AI=BC e angolo ICA=2·angolo IAC; trovare angolo ABC

I bisettori interni degli angoli $\hat{A}$ e $\hat{C}$ del triangolo $ABC$ si incontrano al punto $I$. È noto che $AI=BC$ e $m(\widehat{ICA})=2m(\widehat{IAC})$. Trova la misura dell’angolo $\widehat{ABC}$.

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