Olimpíada Brasileira de Matemática 2010 — Nível 3

Divide a power tower by 4 to a power.

Dividing the number $4^{(4^{4})}$ by $4^{4}$ we obtain the number:

(A) $2$

(B) $4^{4}$

(C) $4^{8}$

(D) $4^{48}$

(E) $4^{52}$

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: E Fonte: apri PDF

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Dividere una torre di potenza per 4 a potenza.

Dividendo il numero $4^{(4^{4})}$ per $4^{4}$ otteniamo il numero:

(A) $2$

(B) $4^{4}$

(C) $4^{8}$

(D) $4^{48}$

(E) $4^{52}$

Risposta: E src_obm_2010_n3_f1__Q01

Which of the given numbers divides a product of powers.

Which of the following numbers is a divisor of $3^{5} \cdot 4^{4} \cdot 5^{3}$ ?

(A) $42$

(B) $45$

(C) $52$

(D) $85$

(E) $105$

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: B Fonte: apri PDF

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Quale dei numeri dati divide un prodotto delle potenze.

Quale dei seguenti numeri è un divisore di $3^{5} \cdot 4^{4} \cdot 5^{3}$ ?

(A) $42$

(B) $45$

(C) $52$

(D) $85$

(E) $105$

Risposta: B src_obm_2010_n3_f1__Q02

Numbered triangular faces of a solid; count placements with distinct visible faces.

The four faces of a solid are equilateral triangles, numbered from $1$ to $4$ , as in the figure. Colouring two of the faces blue and another two yellow, in how many different ways can the faces be coloured so that no two faces with the same colour have a common edge? (The solid may be turned so that one of the numbers stays underneath, i.e. one face is not visible.) In how many ways is this possible?

(A) $12$

(B) $14$

(C) $17$

(D) $18$

(E) $19$

Topic: Combinatoria, Geometria solida Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF

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Facce triangolari numerate di un solido; posizioni di conteggio con facce visibili distinte.

Le quattro facce di un solido sono triangoli equilaterali, numerati da $1$ a $4$ , come nella figura. Colorazione di due facce blu e di altre due gialle, in quanti modi diversi possono essere colorati i facci in modo che due facce dello stesso colore non abbiano un margine comune? (Il solido può essere girato in modo che uno dei numeri rimanga sotto, cioè In quanti modi è possibile?

(A) $12$

(B) $14$

(C) $17$

(D) $18$

(E) $19$

src_obm_2010_n3_f1__Q03

Ana descends and Beatriz climbs a staircase; find remaining fractions on crossing/finishing.

Ana started to descend a staircase one instant after Beatriz started to climb it. Beatriz had climbed $\frac{3}{4}$ of the staircase when she crossed Ana. At that moment, what fraction did Ana still have to descend? Knowing that Ana’s speed is double Beatriz’s speed, what fraction of the staircase will Ana still have to descend when Beatriz finishes?

(A) $\frac{1}{4}$

(B) $\frac{1}{3}$

(C) $\frac{1}{12}$

(D) $\frac{5}{12}$

(E) $\frac{2}{3}$

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

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Ana scende e Beatriz sale una scala; trova le frazioni rimanenti al passaggio/finitura.

Ana cominciò a scendere una scala un istante dopo che Beatriz iniziò a salire. Beatriz era salita $\frac{3}{4}$ delle scale quando ha attraversato Ana. In quel momento, quale frazione di Ana doveva ancora discendere? Sapendo che la velocità di Ana è doppia di Beatriz, quale frazione della scala dovrà ancora scendere quando Beatriz finirà?

(A) $\frac{1}{4}$

(B) $\frac{1}{3}$

(C) $\frac{1}{12}$

(D) $\frac{5}{12}$

(E) $\frac{2}{3}$

src_obm_2010_n3_f1__Q04

Square PQRS, T midpoint of QR, U foot of perpendicular from Q onto line PT; find TU.

A square $P QR S$ has sides measuring $x$ . $T$ is the midpoint of $QR$ and $U$ is the foot of the perpendicular drawn from $Q$ onto the line $P T$ (the line $P T$ passing through $T$ ). What is the measure of $T U$ ?

(A) $\frac{x}{2}$

(B) $\frac{x}{3}$

(C) $\frac{x}{2}$

(D) $\frac{x}{2 2}$

(E) $\frac{x}{4}$

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

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PQRS quadrato, T punto medio di QR, U piede di perpendicolare da Q alla linea PT; trovare TU.

Un quadrato $P QR S$ ha lati di misura $x$ . $T$ è il punto medio di $QR$ e $U$ è il piede della perpendicolare tratto da $Q$ sulla linea $P T$ (la linea $P T$ che attraversa $T$ ). Qual è la misura di $T U$ ?

(A) $\frac{x}{2}$

(B) $\frac{x}{3}$

(C) $\frac{x}{2}$

(D) $\frac{x}{2 2}$

(E) $\frac{x}{4}$

src_obm_2010_n3_f1__Q05

Distinct x and y satisfy x - 1/x = y - 1/y; find xy.

The numbers $x$ and $y$ are distinct and satisfy $x - \frac{1}{x} = y - \frac{1}{y}$ . Then $x y$ is equal to

(A) $4$

(B) $1$

(C) $- 1$

(D) $- 4$

(E) it is necessary to have more data

Topic: Algebra Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: C Fonte: apri PDF

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X e y distinte soddisfano x - 1/x = y - 1/y; trovare xy.

I numeri $x$ e $y$ sono distinti e soddisfano $x - \frac{1}{x} = y - \frac{1}{y}$ . Quindi $x y$ è uguale a

(A) $4$

(B) $1$

(C) $- 1$

(D) $- 4$

(E) è necessario avere maggiori dati

Risposta: C src_obm_2010_n3_f1__Q06

Count three-digit numbers, distinct digits from {0,1,2,3}, that are multiples of 6.

Consider all three-digit numbers with $d i s t in c t$ digits, each one equal to $0$ , $1$ , $2$ or $3$ . How many of these numbers are multiples of $6$ ?

(A) $4$

(B) $7$

(C) $10$

(D) $15$

(E) $20$

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

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Contare i numeri a tre cifre, cifre distinte da {0,1,2,3}, che sono multipli di 6.

Considerate tutti i numeri a tre cifre con cifre $d i s t in c t$ , ognuno uguale a $0$ , $1$ , $2$ o $3$ . Quanti di questi numeri sono multipli di $6$ ?

(A) $4$

(B) $7$

(C) $10$

(D) $15$

(E) $20$

src_obm_2010_n3_f1__Q07

Greatest common divisor of all products of three consecutive odd positive numbers.

The greatest common divisor of all numbers that are the product of three consecutive odd positive numbers is

(A) $1$

(B) $3$

(C) $5$

(D) $15$

(E) $105$

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Casework Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: B Fonte: apri PDF

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Il più grande divisore comune di tutti i prodotti di tre numeri positivi dispari consecutivi.

Il più grande divisore comune di tutti i numeri che sono il prodotto di tre numeri positivi dispari consecutivi è

(A) $1$

(B) $3$

(C) $5$

(D) $15$

(E) $105$

Risposta: B src_obm_2010_n3_f1__Q08

Regular polygon: PQ and TS extended meet at X with angle QXS = 140 degrees; find number of sides.

The points $P$ , $Q$ , $R$ , $S$ and $T$ are vertices of a regular polygon. The sides $P Q$ and $T S$ are extended until they meet at $X$ , as in the figure, and $Q \hat{X} S$ measures $14 0^{\circ}$ . How many sides does the polygon have?

(A) $9$

(B) $18$

(C) $24$

(D) $27$

(E) $40$

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

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Poligono regolare: PQ e TS estesi si incontrano a X con angolo QXS = 140 gradi; trovare numero di lati.

I punti $P$ , $Q$ , $R$ , $S$ e $T$ sono vertici di un poligono regolare. I lati $P Q$ e $T S$ sono estesi fino a quando non si incontrano a $X$ , come nella figura, e $Q \hat{X} S$ misura $14 0^{\circ}$ . Quanti lati ha il poligono?

(A) $9$

(B) $18$

(C) $24$

(D) $27$

(E) $40$

src_obm_2010_n3_f1__Q09

Four friends make statements about their cards; determine the false statement.

Four friends, Arnaldo, Bernaldo, Cernaldo and Dernaldo distribute cards. There are $20$ different cards, each card has one among four colours (yellow, green, red and another) and a number from $1$ to $5$ . Each friend receives five cards. They make the following statements:

Arnaldo: “I have no card with a number equal to that of another of my cards.” Bernaldo: “My five cards have five consecutive numbers.” Cernaldo: “My five cards are of colours that begin with the letter V.” Dernaldo: “My five cards are all of an odd number.”

It is known that only one of the statements is false. Who made the false statement?

(A) Arnaldo

(B) Bernaldo

(C) Cernaldo

(D) Dernaldo

(E) It is not possible to determine.

Topic: Logica, Combinatoria Metodo: Casework Abilita: Lettura attenta, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

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Quattro amici fanno dichiarazioni sulle loro carte; determinano la dichiarazione falsa.

Quattro amici, Arnaldo, Bernaldo, Cernaldo e Dernaldo distribuiscono carte. Esistono diverse carte $20$ , ciascuna carta ha uno dei quattro colori (giallo, verde, rosso e un altro) e un numero da $1$ a $5$ . Ogni amico riceve cinque carte. Essi fanno le seguenti dichiarazioni:

Arnaldo: “Non ho una carta con un numero uguale a quello di un’altra delle mie carte”. Bernaldo: “Le mie cinque carte hanno cinque numeri consecutivi”. Cernaldo: “Le mie cinque carte sono di colori che iniziano con la lettera V. ” Dernaldo: “Le mie cinque carte sono tutte di un numero odd”.

È noto che solo una delle affermazioni è falsa. Chi ha fatto la falsa dichiarazione?

(A) Arnaldo

(B) Bernaldo

(C) Cernaldo

(D) Dernaldo

(E) Non è possibile determinarlo.

src_obm_2010_n3_f1__Q10

Esmeralda draws y=2x+6 but swaps the axes; identify the resulting graph.

Esmeralda was going to draw the graph of $y = 2 x + 6$ but swapped the axes (drew with the axes interchanged). What is the relation of the graph she drew to the graph with the axes swapped of place? Choose the correct graph.

(A), (B), (C), (D), (E): five candidate coordinate-plane sketches (see figure).

Topic: Geometria analitica, Algebra Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Astrazione Area: Geometria, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

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Esmeralda disegna y=2x+6 ma scambia gli assi; identifica il grafico risultante.

Esmeralda stava per disegnare il grafico di $y = 2 x + 6$ ma ha scambiato gli assi (disegna con gli assi scambiati). Qual è la relazione tra il grafico che ha disegnato e il grafico con gli assi scambiati di luogo? Scegli il grafico giusto.

(A), (B), (C), (D), (E): cinque schizzi di piano di coordinate candidati (cfr. figura).

src_obm_2010_n3_f1__Q11

Which fraction is closest to the square root of 7.

Which of the following fractions is closest to $7$ ?

(A) $\frac{3}{1}$

(B) $\frac{5}{2}$

(C) $\frac{8}{3}$

(D) $\frac{13}{5}$

(E) $\frac{18}{7}$

Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Stima Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: E Fonte: apri PDF

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Quale frazione è più vicina alla radice quadrata di 7.

Qual è la frazione più vicina a $7$ ?

(A) $\frac{3}{1}$

(B) $\frac{5}{2}$

(C) $\frac{8}{3}$

(D) $\frac{13}{5}$

(E) $\frac{18}{7}$

Risposta: E src_obm_2010_n3_f1__Q12

Triangle ABC with angle BAC=140; M midpoint of BC, P on AC with MP perpendicular to AC; find an angle.

In triangle $A B C$ , $m (B \hat{A} C) = 14 0^{\circ}$ . With $M$ the midpoint of $B C$ and $P$ a point on side $A C$ such that $M P$ is perpendicular to $A C$ , what is the measure of the angle $N \hat{M} P$ ?

(A) $4 0^{\circ}$

(B) $5 0^{\circ}$

(C) $7 0^{\circ}$

(D) $9 0^{\circ}$

(E) $10 0^{\circ}$

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

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Triangolo ABC con angolo BAC=140; M punto medio di BC, P su AC con MP perpendicolare a AC; trovare un angolo.

In triangolo $A B C$ , $m (B \hat{A} C) = 14 0^{\circ}$ . Con $M$ il punto medio di $B C$ e $P$ un punto sul lato $A C$ tale che $M P$ sia perpendicolare a $A C$ , qual è la misura dell’angolo $N \hat{M} P$ ?

(A) $4 0^{\circ}$

(B) $5 0^{\circ}$

(C) $7 0^{\circ}$

(D) $9 0^{\circ}$

(E) $10 0^{\circ}$

src_obm_2010_n3_f1__Q13

Count ways to draw a figure in one stroke from P without retracing edges.

In how many ways is it possible to draw the figure below without lifting the pencil from the paper (or any other utensil you prefer), starting at $P$ and passing over the same point more than once only at the common point of the three triangles?

(A) $48$

(B) $24$

(C) $16$

(D) $108$

(E) $27$

Topic: Combinatoria, Logica Metodo: Grafi, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

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Contare i modi per disegnare una figura in un tratto da P senza tracciare i bordi.

In quanti modi è possibile disegnare la figura di seguito senza sollevare la matita dalla carta (o qualsiasi altro utensile che si preferisce), partendo da $P$ e passando oltre lo stesso punto più di una volta solo al punto comune dei tre triangoli?

(A) $48$

(B) $24$

(C) $16$

(D) $108$

(E) $27$

src_obm_2010_n3_f1__Q14

Net of an icosahedron with vertex constraints; find the number on the question-marked face.

The figure below was cut from cardboard and then folded to form an icosahedron. The faces have numbers from $1$ to $5$ such that at each vertex (point) of the solid the numbers $1$ to $5$ all appear. Which number is on the face with the question mark?

(A) $1$

(B) $2$

(C) $3$

(D) $4$

(E) $5$

Topic: Geometria solida, Combinatoria, Logica Metodo: Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Casework accurato Area: Geometria, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

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Net di un icosaedro con limitazioni di vertice; trovare il numero sulla faccia segnata con la domanda.

La figura sottostante è stata tagliata in cartone e poi piegata per formare un icosaedro. Le facce hanno numeri da $1$ a $5$ in modo tale che ad ogni vertice (punto) del solido appaiano tutti i numeri $1$ a $5$ . Quale numero c’è sul viso con il segno di domanda?

(A) $1$

(B) $2$

(C) $3$

(D) $4$

(E) $5$

src_obm_2010_n3_f1__Q15

Non-negative reals a, b with a^3 + a < b - b^3; deduce the ordering.

The numbers $a$ and $b$ are non-negative reals such that $a^{3} + a < b - b^{3}$ . Then

(A) $b < a < 1$

(B) $a = b = 1$

(C) $a < 1 < b$

(D) $a < b < 1$

(E) $1 < a < b$

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: D Fonte: apri PDF

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Reali non negativi a, b con a^3 + a < b - b^3; dedurre l’ordine.

I numeri $a$ e $b$ sono reali non negativi, come $a^{3} + a < b - b^{3}$ . Allora…

(A) $b < a < 1$

(B) $a = b = 1$

(C) $a < 1 < b$

(D) $a < b < 1$

(E) $1 < a < b$

Risposta: D src_obm_2010_n3_f1__Q16

Count ordered pairs (x,y) of positive integers with x^2 - y^2 = 2^2010.

How many pairs $(x, y)$ of positive integers are there such that $x^{2} - y^{2} = 2^{2010}$ ?

(A) $1000$

(B) $1001$

(C) $1002$

(D) $1003$

(E) $1004$

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

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Contare le coppie ordinate (x,y) di integri positivi con x^2 - y^2 = 2^2010.

Quante coppie $(x, y)$ di integri positivi sono tali da $x^{2} - y^{2} = 2^{2010}$ ?

(A) $1000$

(B) $1001$

(C) $1002$

(D) $1003$

(E) $1004$

src_obm_2010_n3_f1__Q17

Chocolate bar game; choose Elias’s first cut so Fabio ends with the peanut piece.

The figure represents a chocolate bar that has a peanut in only one piece. Elias and Fábio are going to share the chocolate, but neither wants the peanut. They decide to divide the chocolate by breaking it along its straight lines, horizontally or vertically, each time breaking off and throwing away one piece and keeping the rest, alternating who breaks; whoever leaves the other with only the piece containing the peanut loses (i.e. the loser is the one left with the peanut). Elias begins the division. What should be Elias’s first division to guarantee that Fábio ends up with the peanut at the end?

(A) Choose the first column on the left.

(B) Choose the first two rows from the top.

(C) Choose the third row, from the top down.

(D) Choose the last two rows from the bottom.

(E) Any cut, since Fábio will inevitably end up with the peanut.

Topic: Combinatoria, Logica Metodo: Backward, Invarianti, Casework Abilita: Modellizzazione, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

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Gioco della barra di cioccolato; scegli il primo taglio di Elias così Fabio termina con il pezzo di arachidi.

La figura rappresenta una barra di cioccolato che ha una arachidica in un solo pezzo. Elias e Fábio condivideranno il cioccolato, ma nessuno vuole la arachidica. Decidono di dividere il cioccolato rompendolo lungo le sue linee rette, orizzontale o verticale, ogni volta rompendo e gettando via un pezzo e mantenendo il resto, alternando chi rompe; chi lascia l’altro con solo il pezzo che contiene la arachidica perde (cioè Il perdente è colui che rimane con la arachidica). Elias inizia la divisione. Qual dovrebbe essere la prima divisione di Elias per garantire che Fábio finisca con la arachidica alla fine?

(A) Scegli la prima colonna a sinistra.

(B) Scegli le prime due righe dall’alto.

(C) Scegli la terza fila, dall’alto in basso.

(D) Scegli le ultime due righe dal basso.

(E) Qualsiasi taglio, visto che Fábio finirà inevitabilmente con la arachidica.

src_obm_2010_n3_f1__Q18

Triangle ABC with X,Y,Z on sides at ratio 2; ratio of area XYZ to triangle of medians.

Let $A B C$ be a triangle and $X$ , $Y$ , $Z$ points on the sides $B C$ , $C A$ , $A B$ such that $\frac{C X}{X B} = \frac{A Y}{Y C} = \frac{B Z}{Z A} = 2$ . What is the ratio between the area of triangle $X Y Z$ and the area of the triangle whose sides are congruent to the medians of $A B C$ ? (Note: the medians of a triangle are the segments joining the vertices to the midpoints of the opposite sides.)

(A) $\frac{2}{3}$

(B) $\frac{1}{2}$

(C) $\frac{4}{9}$

(D) $\frac{1}{3}$

(E) $\frac{1}{4}$

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

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Triangolo ABC con X,Y,Z sui lati a rapporto 2; rapporto tra superficie XYZ e triangolo di media.

Il $A B C$ è un triangolo e $X$ , $Y$ , $Z$ puntano sui lati $B C$ , $C A$ , $A B$ in modo tale che $\frac{C X}{X B} = \frac{A Y}{Y C} = \frac{B Z}{Z A} = 2$ . Qual è il rapporto tra l’area del triangolo $X Y Z$ e l’area del triangolo i cui lati sono congruenti alle medie di $A B C$ ? (Nota: i media di un triangolo sono i segmenti che uniscono i vertici ai punti medi dei lati opposti.)

(A) $\frac{2}{3}$

(B) $\frac{1}{2}$

(C) $\frac{4}{9}$

(D) $\frac{1}{3}$

(E) $\frac{1}{4}$

src_obm_2010_n3_f1__Q19

Sum of products p(A) over all subsets A of {1,…,10}.

For each subset $A$ of ${1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}$ , let $p (A)$ be the product of its elements. For example, $p ({1, 2, 4, 5}) = 40$ and $p (A) = 10! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \dots 10$ (when $A$ is the whole set). By convention, $p (\emptyset) = 1$ . The sum of all $2^{10}$ products $p (A)$ is equal to

(A) $2^{11}$

(B) $11!$

(C) $1 1^{11}$

(D) $2^{11}!$

(E) $1 1^{11!}$

Topic: Combinatoria, Algebra, Insiemi e funzioni Metodo: Doppio conteggio Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Risposta: B Fonte: apri PDF

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Summa di prodotti p(A) su tutti i sottosetti A di {1,…,10}.

Per ogni sottoinsieme $A$ di ${1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}$ , $p (A)$ deve essere il prodotto dei suoi elementi. Ad esempio, $p ({1, 2, 4, 5}) = 40$ e $p (A) = 10! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \dots 10$ (quando $A$ è l’intero insieme). Per convenzione, $p (\emptyset) = 1$ . La somma di tutti i prodotti $2^{10}$ $p (A)$ è pari a

(A) $2^{11}$

(B) $11!$

(C) $1 1^{11}$

(D) $2^{11}!$

(E) $1 1^{11!}$

Risposta: B src_obm_2010_n3_f1__Q20

With n=2010^2010 and log n defined, order the three quantities n!, n^{log n}, (log n)^n.

Let $n = 201 0^{2010}$ and let $lo g n$ be the number $m$ such that $1 0^{m} = n$ . Then

(A) $n! < n^{l o g n} < (lo g n)^{n}$

(B) $n^{l o g n} < n! < (lo g n)^{n}$

(C) $(lo g n)^{n} < n^{l o g n} < n!$

(D) $(lo g n)^{n} < n! < n^{l o g n}$

(E) $n^{l o g n} < (lo g n)^{n} < n!$

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Estratto/tradotto da verificare con la fonte.

Con n=2010^2010 e log n definito, ordinare le tre quantità n!, n^{log n}, (log n)^n.

Il numero $n = 201 0^{2010}$ e il numero $lo g n$ sono $m$ in modo tale che $1 0^{m} = n$ . Allora…

(A) $n! < n^{l o g n} < (lo g n)^{n}$

(B) $n^{l o g n} < n! < (lo g n)^{n}$

(C) $(lo g n)^{n} < n^{l o g n} < n!$

(D) $(lo g n)^{n} < n! < n^{l o g n}$

(E) $n^{l o g n} < (lo g n)^{n} < n!$

src_obm_2010_n3_f1__Q21

Smallest largest element among distinct positive integers with a divisibility/difference condition.

Among distinct positive integers $a < b < c < d$ satisfying a stated condition relating their pairwise differences, what is the smallest possible value of the largest, $d$ ?

(A) $10$

(B) $12$

(C) $15$

(D) $30$

(E) $105$

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Casework accurato, Stima Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

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L’elemento più piccolo e più grande tra i numeri interi positivi distinti con condizione di divisibilità/differenza.

Tra i diversi integri positivi $a < b < c < d$ che soddisfano una condizione dichiarata relativa alle loro differenze in coppia, quale è il minimo valore possibile del più grande, $d$ ?

(A) $10$

(B) $12$

(C) $15$

(D) $30$

(E) $105$

src_obm_2010_n3_f1__Q22

Largest value of x^2+x+1 (or similar) under a condition on real x (statement garbled).

What is the largest value of $x y^{2}$ where $x$ and $y$ are positive reals with $x + y = 3$ ?

(A) $3$

(B) $4$

(C) $5$

(D) $6$

(E) $7$

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

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Il valore più basso di x^2+x+1 (o simile) in una condizione su x reale (dichiarazione confusa).

Qual è il valore più grande di $x y^{2}$ dove $x$ e $y$ sono valori reali positivi con $x + y = 3$ ?

(A) $3$

(B) $4$

(C) $5$

(D) $6$

(E) $7$

src_obm_2010_n3_f1__Q23

Random point P in square QRST; probability that angle RPQ is acute.

A point $P$ is chosen in the interior of the square $QR S T$ . What is the probability that the angle $R \hat{P} Q$ is acute?

(A) $\frac{3}{4}$

(B) $2 - 1$

(C) $\frac{1}{2}$

(D) $\frac{π}{4}$

(E) $1 - \frac{π}{8}$

Topic: Probabilità, Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: E Fonte: apri PDF

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Punto casuale P in quadrato QRST; probabilità che l’angolo RPQ sia acuto.

Si sceglie un punto $P$ all’interno del quadrato $QR S T$ . Qual è la probabilità che l’angolo $R \hat{P} Q$ sia acuto?

(A) $\frac{3}{4}$

(B) $2 - 1$

(C) $\frac{1}{2}$

(D) $\frac{π}{4}$

(E) $1 - \frac{π}{8}$

Risposta: E src_obm_2010_n3_f1__Q24

Smallest positive value of 21 m^2 - n^2 for positive integers m, n.

What is the smallest positive value of $21 m^{2} - n^{2}$ with $m$ and $n$ positive integers?

(A) $1$

(B) $2$

(C) $3$

(D) $5$

(E) $7$

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Casework, Congruenze Abilita: Casework accurato, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

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Il minimo valore positivo di 21 m^2 - n^2 per gli integri positivi m, n.

Qual è il valore positivo più piccolo di $21 m^{2} - n^{2}$ con $m$ e $n$ integri positivi?

(A) $1$

(B) $2$

(C) $3$

(D) $5$

(E) $7$

src_obm_2010_n3_f1__Q25

competition	Olimpíada Brasileira de Matemática 2010 — Nível 3 — Fase 1
year	2010
level	OBM Nível 3

Raccolta Gare di Matematica

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Olimpíada Brasileira de Matemática 2010 — Nível 3 — Fase 1

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