Olimpíada Brasileira de Matemática 2010 — Nível 3 — Fase 2

Smallest N whose product by 3 has all digits 7; find digit sum of N

Let $N$ be the smallest positive integer such that multiplying $N$ by $3$ gives a number whose digits are all equal to $7$. Determine the sum of the digits of $N$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Congruenze Abilita: Lettura attenta, Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

*N più piccolo il cui prodotto per 3 ha tutte le cifre 7; trovare la somma di N *

Che $N$ sia il numero intero positivo più piccolo in modo tale che moltiplicando $N$ per $3$ si ottiene un numero il cui numero è uguale a $7$. Determinare la somma delle cifre di $N$.

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Integer quadratic with parameters r,s; count possible values of |r-s|

Let $r$ and $s$ be integers. Suppose that the equation of the second degree $x^2-(r+s)x+rs+2010=0$ has two integer solutions. How many possible values does $|r-s|$ have?

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Conteggio sistematico Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

*Integro quadratico con parametri r,s; contare i possibili valori di ̊r-s> *

$r$ e $s$ siano numeri interi. Supponiamo che l’equazione del secondo grado $x^2-(r+s)x+rs+2010=0$ abbia due soluzioni integrali. Quanti valori possibili ha $|r-s|$?

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Three mutually tangent circles and quadrilateral; find inscribed circle radius

In the figure below, three circles drawn in continuous trace are all tangent to both lines $r$ and $s$ passing through points $A$, $B$, $C$, $D$. Moreover, the smaller circle is also tangent to $AD$, the larger circle is also tangent to $BC$, and the inscribed circle in the quadrilateral $ABCD$ is also tangent to $AD$. The radii of the two external circles tangent to the quadrilateral $ABCD$ are $8$ and $18$. Calculate the radius $R$ of the circle inscribed in $ABCD$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Tre cerchi e quadrilaterali reciprocamente tangenti; trovare il raggio del cerchio inscritto

Nella figura seguente, tre cerchi tracciati in traccia continua sono tutti tangenti alle due linee $r$ e $s$ che attraversano i punti $A$, $B$, $C$, $D$. Inoltre, il cerchio più piccolo è anche tangente a $AD$, il cerchio più grande è anche tangente a $BC$, e il cerchio inserito nel quadrilaterale $ABCD$ è anche tangente a $AD$. I radii dei due cerchi esterni tangenti al quadrilaterale $ABCD$ sono $8$ e $18$. Calcolare il raggio $R$ del cerchio inserito in $ABCD$.

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2×4 grid painted with 3 colors; count paintings with exactly one cut column

Each of the eight cells of a $2$-row, $4$-column rectangle is painted with one of three colors. A column is called a \emph{cut} if its two cells are the same color. In how many ways is it possible to paint the rectangle so that there is exactly one cut?

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio, Inclusione-esclusione Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato, Manipolazione algebrica Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

2×4 griglie dipinte con 3 colori; contare le pitture con esattamente una colonna tagliata

Ciascuna delle otto celle di un rettangolo di colonna $2$ riga, $4$ è dipinta con uno dei tre colori. Una colonna si chiama \emph{cut} se le sue due celle sono dello stesso colore. In quanti modi è possibile dipingere il rettangolo in modo che ci sia esattamente un solo taglio?

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Compute telescoping product of (n^4+n^2+1) for even over odd indices

Compute $\frac{(2^4+2^2+1)(4^4+4^2+1)(6^4+6^2+1)\cdots (32^4+32^2+1)}{(1^4+1^2+1)(3^4+3^2+1)(5^4+5^2+1)\cdots (31^4+31^2+1)}.$

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Telescoping, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Prodotto di telescopio di calcolo di (n^4+n^2+1) per anche indici odd

Calcolo $\frac{(2^4+2^2+1)(4^4+4^2+1)(6^4+6^2+1)\cdots (32^4+32^2+1)}{(1^4+1^2+1)(3^4+3^2+1)(5^4+5^2+1)\cdots (31^4+31^2+1)}.$

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Angle bisectors of triangle meet at I; find angle ABC given AI=BC and m(ICA)=2m(IAC)

The internal angle bisectors of angles $\hat{A}$ and $\hat{C}$ of triangle $ABC$ meet at point $I$. Suppose that $AI=BC$ and $m(\angle ICA)=2m(\angle IAC)$. Determine the measure of angle $\angle ABC$.

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Trigonometria, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

*I bisettori angolari del triangolo si incontrano a I; trovare l’angolo ABC dato AI=BC e m(ICA)=2m(IAC) *

I bisettori di angolo interno $\hat{A}$ e $\hat{C}$ del triangolo $ABC$ si incontrano al punto $I$. Supponiamo che $AI=BC$ e $m(\angle ICA)=2m(\angle IAC)$. Determinare la misura dell’angolo $\angle ABC$.

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Diamantino’s football schedule: how many ways to choose 2 of 10 days avoiding two consecutive

Diamantino likes to play football, but if he plays two days in a row he gets muscle pain. In how many ways can Diamantino choose which of ten days he will play football so that after playing he does not get muscle pain? (One way is to not play football on any of the days.)

Topic: Combinatoria Metodo: Ricorsione, Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

L’orario di calcio di Diamantino: quanti modi per scegliere 2 dei 10 giorni evitando due consecutivi

A Diamantino piace giocare a calcio, ma se gioca due giorni di fila, gli fanno male i muscoli. In quanti modi può Diamantino scegliere quale di dieci giorni giocherà a calcio in modo che dopo aver giocato non abbia dolore muscolare? (Un modo è non giocare a calcio in nessuno dei giorni.)

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Solve integer system x+y+z=77, xy+yz+2x+xyz=946 with x≤y≤z non-negative

Solve the system $\{\begin{array}{l}x+y+z=77\\ xy+yz+2x+xyz=946\end{array}$ where $x\le y\le z$ are non-negative integers.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Solvi sistema di numeri interi x+y+z=77, xy+yz+2x+xyz=946 con x≤y≤z non negativo

Risolvere il sistema $\{\begin{array}{l}x+y+z=77\\ xy+yz+2x+xyz=946\end{array}$ dove $x\le y\le z$ sono integri non negativi.

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Billiard ball on ABCD square table; find angles for ball to return to vertex after 2010 bounces

A billiard table has the shape of a square $ABCD$. SuperPablo has a special mission: starting from vertex $A$ with a billiard ball, he must shoot it so that, after bouncing exactly $2010$ times on the sides of the square, the ball arrives for the first time at a vertex of the square.

What are the possible values of the angle formed by side $AB$ with the initial trajectory of the ball?

\emph{Observation}: When hitting the sides, the ball undergoes a perfect reflection, that is, the angle of incidence equals the angle of reflection. Also assume that the ball is a point.

Topic: Geometria piana, Combinatoria Metodo: Invarianti, Casework, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern Area: Geometria, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Bolla da biliardo su tabella quadrata ABCD; trovare angoli per la palla per tornare al vertice dopo i rimbalzi del 2010

Un tavolo da biliardo ha la forma di un quadrato $ABCD$. SuperPablo ha una missione speciale: partendo dal vertice $A$ con una palla da biliardo, deve spararla in modo che, dopo aver rimbalzato esattamente $2010$ volte sui lati del quadrato, la palla arrivi per la prima volta a un vertice del quadrato.

Quali sono i valori possibili dell’angolo formato dal lato $AB$ con la traiettoria iniziale della palla?

\emph{Osservazione}: Quando la palla colpisce i lati, subisce una perfetta riflessione, cioè l’angolo di incidenza è uguale all’angolo di riflessione. Supponiamo anche che la palla sia un punto.

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